Bài 51. Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Gọi D là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại D cắt Ax và By theo thứ tự tại M và N.
- Tứ giác AMNB là hình gì? Vì sao?
- Tính số đo góc MON
- Chứng minh: MN = AM + BN
- Chứng minh: AM.BN = $ {{R}^{2}}$
- Đường tròn đường kính MN tiếp xúc với AB tại O
- AN và BM cắt nhau tại Q, DQ cắt AB tại H. Chứng minh $ DQ\bot AB$ và
QH = QD
- Tìm vị trí của D để tứ giác AMNB có chu vi nhỏ nhất.
- Cho R = 2cm. Tìm vị trí của M và N để chu vi tứ giác AMNB có chu vi bằng 14cm.
Bài 52: Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. M là điểm nằm trên nửa đường tròn, tiếp tuyến tại M cắt các tiếp tuyến tại A và B ở C và D
- Chứng minh: CD = AC + DB và $ \Delta COD$ vuông
- Chứng minh: AC.BD = $ {{R}^{2}}$
- Chứng minh: AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD
- Cho biết BM = R. Tính diện tích $ \Delta ACM$
Bài 53: Cho nửa (O) đường kính AB. Từ A, B vẽ hai tiếp tuyến Ax, By với đường tròn. C là điểm bất kỳ trên nửa đường tròn, qua C vẽ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By thứ tự tại M, N
- Chứng minh: AM + BN = MN
- Gọi K là giao của AN và BM. Chứng minh: $ CK\bot AB$
- Xác định vị trí của C để diện tích $ \Delta AKB$ đạt giá trị lớn nhất
Bài 54: Cho hình vuông ABCD. Vẽ đường tròn (D; DC) và đường tròn (O) đường kính BC, chúng cắt nhau tại một điểm thứ hai là E. Tia CE cắt AB tại M, BE cắt AD tại N. Chứng minh rằng:
- N là trung điểm của AD
- M là trung điểm của AB
Bài 55: Cho hai đường tròn đồng tâm (O; R) và (O; r). Dây AB của (O; R) tiếp xúc với (O; r). Trên tia AB lấy điểm E sao cho B là trung điểm của đoạn AE. Từ E vẽ tiếp tuyến thứ hai của (O; r) cắt (O; R) tại C và D (D ở giữa E và C)
- Chứng minh: EA = EC
- Chứng minh: EO vuông góc vơi BD
- Điểm E chạy trên đường nào khi dây AB của (O; R) thay đổi nhưng luôn tiếp xúc với (O; r) ?
Bài 56: Cho hai đường tròn (O; R) và (O; R’) tiếp xúc ngoài nhau tại M. Hai đường tròn (O) và (O’) cùng tiếp xúc trong với đường tròn lớn (O’’; R’’) lần lượt tại E và F. Tính bán kính R’’ biết chu vi tam giác OO’O’’ là 20cm.
Bài 57: Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài tại A (R > R’). Vẽ các đường kính AOB, AO’C. Dây DE của đường tròn (O) vuông góc với BC tại trung điểm K của BC.
- Chứng minh : tứ giác BDCE là hình thoi.
- Gọi I là giao điểm của EC và đường tròn (O). Chứng minh: ba điểm D, A, I thẳng hàng.
- Chứng minh: KI là tiếp tuyến của (O)
Bài 58: Cho hai đường tròn (O; R’) và (O’; R’) có R = 8, R’ = 6 và OO’ = 10.
- Chứng tỏ (O; R) và (O’; R’) cắt nhau tại 2 điểm A và B và OO’ là đường trung trực của AB.
- Chứng minh AO là tiếp tuyến của (O’) và AO’ là tiếp tuyến của (O).
- Gọi I là giao điểm OO’ và AB. Tính độ dài của IA, IO
- Xác định tâm và tính bán kính của đường tròn qua 4 điểm A, O, B, O’
- Tìm điều kiện về bán kính của đường tròn (O) sao cho đường tròn này không có điểm chung nào với (O’; R’)
Bài 59: Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) cắt nhau tại A và B sao cho đường thẳng OA là tiếp tuyến của đường tròn (O’; R’). Biết R = 12c, R’ = 5cm
- Chứng minh: O’A là tiếp tuyến của đường tròn (O; R)
- Tính độ dài các đoạn thẳng OO’, AB
Bài 60: Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài với nhau tại B. Vẽ đường kính AB của đường tròn (O) và đường kính BC của đường tròn (O’). Đường tròn đường kính OC cắt (O) tại M và N
- Đường thẳng CM cắt (O’) tại P. Chứng minh OM // BP
- Từ C kẻ đường thẳng vuông góc với CM cắt tia ON tại D. Chứng minh: Tam giác OCD là tam giác cân.
Bài 61: Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài MN với M thuộc (O) và N thuộc (O’). Gọi P là điểm đối xứng với M qua OO’, Q là điểm đối xứng với N qua OO’. Chứng minh rằng:
- MNQP là hình thang cân.
- PQ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’)
- MN + PQ = MP + NQ
Bài 62: Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Gọi CD là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn (với $ C\in (O)$và $ D\in (O’)$)
- Tính số đo góc CAD
- Tính độ dài CD biết OA = 4,5cm, O’A = 2cm
Bài 63: Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài với nhau tại B. Vẽ đường kính AB của đường tròn (O) và đường kính BC của đường tròn (O’). Đường tròn đường kính OC cắt (O) tại M và N.
- Đường thẳng CM cắt (O’) tại P. Chứng minh: OM // BP
- Từ C vẽ đường thẳng vuông góc với CM cắt tia ON tại D. Chứng minh tam giác OCD là tam giác cân.
Bài 64: Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài nhau tại A. Vẽ hai đường kính AOB và AO’C. Gọi E là tiếp tuyến chung của hai đường tròn, $ D\in (O);E\in (O’)$. Gọi M là giao điểm của BD và CE
- Tính $ \widehat{{DAE}}$
- Tứ giác ADME là hình gì? Vì sao ?
- Chứng minh: MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn.
Bài 65: Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài nhau tại A. Gọi M là giao điểm một trong hai tiếp tuyến chung ngoài BC và tiếp tuyến chung trong. Chứng minh BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính OO’ tại M
Bài 66: Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài nhau tại A. Bán kính của (O) là R = 5cm, bán kính của (O’) là r = 3cm. Một đường thẳng qua A hợp với OO’ một góc $ {{30}^{o}}$ cắt (O) tại B, cắt đường tròn (O’) tại C.
- Chứng minh: $ \widehat{{AO’C}}=\widehat{{AOB}}$ và O’C // OB
- Chứng minh: tiếp tuyến của (O) tại B và tiếp tuyến của (O’) tại C song song với nhau.
- Tiếp tuyến của (O’) tại C cắt đường thẳng OO’ tại D. Tính CD và O’D
- Đường thẳng CD cắt đường thẳng BO tại E. Tính diện tích $ \Delta ABE$
Bài 67: Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài DE, $ D\in (O),E\in (O’)$. Kẻ tiếp tuyến chung trong tại A, cắt DE ở I. Gọi M là giao điểm của OI và AD, N là giao điểm của O’I và AE.
- Tứ giác AMIN là hình gì ? Vì sao ?
- Chứng minh: IM.IO = IN.IO’
- Chứng minh: OO’ là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là DE.
- Biết OA = 5cm, O’A = 3,2cm. Tính DE
Bài 68: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Vẽ cát tuyến chung MAN sao cho MA = AN. Đường vuông góc với MN cắt OO’ tại I. Chứng minh I là trung điểm của OO’
Bài 69: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Dây AC của đường tròn (O) tiếp xúc với đường tròn (O’) tại A. Dây AD của đường tròn (O’) tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. Gọi K là điểm đối xứng với A qua trung điểm của I của OO’. E là điểm đối xứng với A qua B. Chứng minh:
- $ AB\bot KB$
- Bốn điểm A, C, E, D nằm trên một đường tròn.
Bài 70: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B, trong đó O’ nằm trên (O). Kẻ đường kính O’OC của đường tròn (O).
- Chứng minh: CA, CB là các tiếp tuyến của (O’)
- Đường vuông góc với AO’ tại O’ cắt CB ở I. Đường vuông góc với AC tại C cắt đường thẳng O’B ở K. Chứng minh O, I, K thẳng hàng.