Bài 71: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau ở A và B. Gọi C và D lần lượt là điểm đối xứng của A qua O và O’. Một đường thẳng (d) bất kì qua A cắt (O) và (O’) tại M và N
- Chứng minh: C, B, D thẳng hàng.
- AC cắt (O) tại E, AD cắt (O’) tại F. Chứng minh: C, D, E, F cùng thuộc một đường tròn.
- Chứng minh: trung trực của MN luôn đi qua trung điểm của CD khi (d) thay đổi. Suy ra trung điểm của MN luôn di động trên một đường tròn cố định.
- Định vị trí của đường thẳng (d) để MN có độ dài lớn nhất.
Bài 72: Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài tại A. Gọi BC là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn $ (B\in (O))$
- Chứng minh: $ \widehat{{BAC}}={{90}^{o}}$
- Gọi D là điểm đối xứng của C qua O’. Chứng minh: B, A, D thẳng hàng.
- Chứng minh: BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính OO’
- Chứng minh: $ BC=2\sqrt{{RR’}}$
Bài 73: Cho góc vuông xOy. Lấy các điểm I và K lần lượt trên các tia Ox và Oy. Vẽ đường tròn (I; OK) cắt tia Ox tại M (I nằm giữa O và M). Vẽ đường tròn (K; OI) cắt tia Oy tại N (K nằm giữa O và N)
- Chứng minh hai đường tròn (I) và (K) luôn cắt nhau.
- Tiếp tuyến tại M của đường tròn (I) và tiếp tuyến tại N của đường tròn (K) cắt nhau tại C. Chứng minh tứ giác OMCN là hình vuông
- Gọi giao điểm của hai đường tròn (I), (K) là A và B. Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng.
- Giả sử I và K theo thứ tự di động trên các tia Ox và Oy sao cho OI + OK = a (không đổi). Chứng minh rằng đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 74: Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax và By với đường tròn (Ax, By cùng thuộc mặt phẳng bờ AB). Qua điểm E (E không trùng với A và B) kẻ tiếp tuyến với (O) cắt tia Ax, tai By lần lượt tại M và N.
- Chứng minh tam giác MON vuông
- Gọi tia BE cắt tia Ax tại C. Chứng minh M là trung điểm AC
- Gọi tia AE cắt By tại D. Xác định vị trí của điểm E để diện tích tứ giác MNDC đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 75: Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi H là trung điểm OA. Dây CD vuông góc với OA tại H.
- Tứ giác ACOD là hình gì? Vì sao ?
- Chứng minh các tam giác OAC và CBD là các tam giác đều.
- Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh ba điểm D, O, M thằng hàng
- Chứng minh đẳng thức $ C{{D}^{2}}=4AH.HB$
Bài 76: Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Đường thẳng (d) tiếp xúc với nửa đường tròn tại C. Gọi D và E theo thứ tự là hình chiếu của A và B trên (d). Chứng minh:
- C là trung điểm của DE
- (A; AD) và (B; BE) tiếp xúc ngoài nhau tại một điểm H thuộc đường kính AB.
Bài 77: Cho đường tròn tâm O đường kính AB, điểm M thuộc đường tròn. Gọi N là điểm đối xứng với A qua M, BN cắt đường tròn ở C. Gọi E là giao điểm của AC và BM.
- Chứng minh: $ NE\bot AB$
- Gọi F là điểm đối xứng với E qua M. Chứng minh: FA là tiếp tuyến của (O)
- Chứng minh: FN là tiếp tuyến của đường tròn (B; BA)
Bài 78: Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax và By. Từ một điểm E trên đường tròn, kẻ tiếp tuyến với đường tròn đó gặp Ax và By lần lượt tại C và D. Tia CO cắt tia DB ở F.
- Tính số đo ODA và chứng tỏ rằng OD song song với BC
- Tiếp tuyến tại A của (O) cắt tia OD tại E. Chứng minh: EC là tiếp tuyến của (O)
- Đường thẳng BC cắt tiếp tuyến tại A của (O) tại điểm M.
- Chứng minh rằng OE là trung tuyến của $ \Delta AOM$
Bài 79: Cho đườn tròn tâm O đường kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax và By. Từ một điểm E trên đường tròn, kẻ tiếp tuyến với đường tròn đó gặp Ax và By lần lượt tại C và D. Tia CO cắt tia DB ở F.
- Chứng minh góc COD vuông và tam giác DCF cân
- Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác COD
- Cho $ AC=\frac{R}{2}$. Tính diện tích tam giác DCF theo R.
Bài 80: Cho đường tròn tâm O bán kính R = 6cm và một điểm A cách O một khoảng 10cm. Từ A vẽ tiếp tuyến AB (B là tiếp điểm)
- Tính độ dài đoạn tiếp tuyến AB
- Vẽ cát tuyến ACD, gọi I là trung điểm của đoạn CD. Hỏi khi C chạy trên đường tròn (O) thì I chạy trên đường nào ?
Bài 81: Cho đường tròn tâm (O; R) đường kính AB và điểm M trên đường tròn sao cho $ \widehat{{MAB}}={{60}^{o}}$. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại H
- Chứng minh AM và AN là các tiếp tuyến của đường tròn (B, BM)
- Chứng minh $ M{{N}^{2}}=4AH.HB$
- Chứng minh tam giác BMN là tam giác đều và điểm O là trọng tâm của nó.
- Tia MO cắt đường tròn (O) tại E, tia MB cắt (B) tại F. Chứng minh ba điểm N, E, F thẳng hàng.
Bài 82: Cho đường tròn đường kính AB. Gọi C là điểm bất kì trên đường tròn và H là hình chiếu của C trên AB. Từ A và B kẻ các tiếp tuyến AD và BE đến đường tròn (C;CH). Chứng minh :
- D, C, E thẳng hàng
- DE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC
- Xác định vị trí của điểm C để diện tích tứ giác ABED lớn nhất.
Bài 83: Cho đường tròn đường kính 10cm, một đường thẳng d cách tâm O một khoảng bằng 3cm.
- Xác định vị trí tương đối của đường thẳng d và đường tròn (O)
- Đường thẳng d cắt đường tròn (O) tại điểm A và B. Tính độ dài dây AB
- Kẻ đường kính AC của đường tròn (O). Tính độ dài BC và số đo $ \widehat{{CAB}}$ (làm tròn đến độ)
- Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại C cắt tia AB tại M. Tính độ dài BM
Bài 84: Cho đường tròn (O; R). Vẽ hai bán kính OA, OB. Trên các bán kính OA, OB lần lượt lấy các điểm M, N sao cho OM = ON. Vẽ dây CD đi qua M, N (M ở giữa C và N)
- Chứng minh CM = DN
- Giả sử $ \widehat{{AOB}}={{90}^{o}}$ . Tính OM theo R sao cho CM = MN = ND
Bài 85: Cho đường tròn (O; R), H là điểm bên trong (O) (H khác O). CD là đường kính qua H (HC > HD), AB là dây cung vuông góc với CD tại H.
- Chứng tỏ CD là đường trung trực của AB
- Chứng minh: $ \widehat{{CAD}}=\widehat{{CBD}}={{90}^{o}}$
- Chứng minh: HA.HB = HC.HD theo 2 cách:
- Dùng 2 tam giác đồng dạng
- Dùng hệ thức lượng trong tam giác vuông
- Trường hợp OH = R/2, chứng minh $ \Delta ABC$ đều và cạnh có độ dài $ R\sqrt{3}$. Suy ra cách vẽ tam giác đều có 3 đỉnh nằm trên đường tròn (O; R) cho trước
Bài 86: Cho đường tròn (O; R) và tiếp tuyến xy tại điểm A cố định trên đường tròn. Từ điểm B tùy ý trên (O) (khác A), kẻ $ BH\bot xy$. Đường phân giác trong góc AOB cắt BH tại C và cắt xy tại M. Chứng minh:
- BA là tia phân giác của OBH
- MB là tiếp tuyến của (O; R)
- C luôn luôn thuộc một đường tròn cố định khi B thay đổi.
Bài 87: Cho đường tròn (O; R) và một điểm A nằm ngoài (O). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN của (O) (M, N là hai tiếp điểm)
- $ \Delta AMN$là tam giác gì? Vì sao ?
- Đường thẳng vuông góc với OM tại O cắt đường thẳng AN tại P. Chứng minh: AP = PO
- Gọi H là giao điểm của AO và MN. Chứng minh OH.OA = $ {{R}^{2}}$
Bài 88: Cho đường tròn (O; R) và một điểm A cố định trên đường tròn đó. Qua A vẽ tiếp tuyến xy. Từ một điểm M trên xy vẽ tiếp tuyến MB với đường tròn (O). Hai đường cao AD và BE của tam giác MAB cắt nhau tại H
- Chứng minh rằng ba điểm M, H, O thẳng hàng
- Chứng minh rằng tứ giác AOBH là hình thoi.
- Khi điểm M di động trên xy thì điểm H di động trên đường nào ?
Bài 89: Cho đường tròn (O; R) và điểm I trong (O) (I khác O)
- Hãy vẽ dây cung AB qua I và nhận I làm trung điểm
- Gọi (I) là đường tròn tâm I có đường kính AB, đường thẳng OI cắt đường tròn (O) tại C và D, cắt đường tròn (I) tại E và F. Chứng tỏ C, D, E và F cách đều A và B
- Chứng minh: AEBF là hình vuông
- So sánh 2 tích IE.IF và IC.ID
- Biết OI = R/2, tính độ dài các cạnh và diện tích của $ \Delta ACD$ và hình vuông AEBF theo R.
Bài 90: Cho đường tròn (O; R) và điểm I cố định với OI = R/2. AB là dây cung quay quanh I.
- Tìm vị trí C, D của A (hay B) tương ứng lúc độ dài IA (hay IB) dài nhất, ngắn nhất.
- Chứng tỏ tập hợp các trung điểm M của dây cung AB là một đường tròn, tìm tâm và bán kính đường tròn này.
- Gọi EF là vị trí giới hạn của dây cung AB lúc M tiến dần đến I. Chứng minh:
- $ EF\bot CD$
- EF là độ dài ngắn nhất của dây cung AB và CD là độ dài lớn nhất của AB.