Bài 111: Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (M, N là hai tiếp điểm).
- Chứng minh: $ OA\bot MN$
- Vẽ đường kính NOC. Chứng minh: MC // AO
- Tính độ dài các cạnh của $ \Delta AMN$ biết OM = 3cm, OA = 5cm
Bài 112: Cho đường tròn (O) và điểm A cách O một khoảng bằng 2R, kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (B là tiếp điểm)
- Tính số đo các góc của tam giác OAB
- Gọi C là điểm đối xứng với B qua OA. Chứng minh điểm C nằm trên đường tròn O và AC là tiếp tuyến của đường tròn (O)
- AO cắt đường tròn (O) tại G. Chứng minh G là trọng tâm tam giác ABC.
Bài 113: Cho đường tròn (O) và dây BC cố định. Điểm A di động trên cung lớn BC. Gọi M là trung điểm của dây AC. Vẽ đường kính BD của (O)
- Chứng minh: M thuộc một đường tròn cố định. Xác định tâm I của đường tròn này.
- Gọi K là trung điểm của BC, đường tròn (I) cắt CD tại J. Chứng minh: K, I, J thẳng hàng
- Gọi H là hình chiếu của M trên AB, chứng tỏ đường thẳng HM luôn đi qua trung điểm của dây CD khi A thay đổi.
- Chứng minh: khi A di động thì H luôn di động trên một đường tròn cố định
Bài 114: Cho đường tròn (O) đường kính BC và 1 điểm A nằm trên đường tròn (A khác B và C). Qua O, kẻ tia Ox song song với AC, tia Ox cắt AB tại D.
- Chứng minh: $ OD\bot AB$ và từ đó suy ra D là trung điểm của AB
- Tiếp tuyến tại B của (O) cắt tia Ox tại E. Chứng minh: EA cũng là tiếp tuyến của (O)
- Tia CA cắt tia BE tại F. Chứng minh: tia CE đi qua trung điểm I của đường cao AH của $ \Delta ABC$
Bài 115: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax và By. Qua một điểm E thuộc nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax và By lần lượt ở C và D. Chứng minh rằng:
- CD = AC + BD
- Tam giác COD là tam giác vuông. Và $ AC.BD={{R}^{2}}$
Bài 116: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Từ A và B kẻ 2 tiếp tuyến Ax, By. Từ một điểm C (khác A, B) trên đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba, tiếp tuyến này cắt Ax tại E và By tại F.
- Chứng minh AE + BF = EF
- AC cắt EO tại M; BC cắt OF tại N. Chứng minh: MN // AB
- Chứng minh: OF // AC
- Chứng minh MC.OE = EM.OF
Bài 117: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Dây CD cắt đường kính AB tại I. Gọi H và K lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến CD. Chứng minh: CH=DK
Bài 118: Cho đường tròn (O) đường kính AB, vẽ các tiếp tuyến Ax, By. Từ M trên đường tròn khác A và B) vẽ tiếp tuyến thứ 3 cắt Ax tại C, cắt By tại D và cắt đường thẳng BA tại E. Gọi N là giao điểm của BC và AD. Chứng minh rằng:
- $ MN\bot AB$
- $ \widehat{{COD}}={{90}^{o}}$
- $ \frac{{DM}}{{DE}}=\frac{{CM}}{{CE}}$
- N là trung điểm của MH
- Cho OD = d, OB = R. Tính MH theo d và R
Bài 119: Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên đó một điểm C sao cho OC = 2R. Từ C kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với đường tròn (O) tại D.
- Tính AC theo R.
- Chứng minh CO là đường trung trực của AD và CO // BD
- Tiếp tuyến ở B cắt tia CD tại E. Chứng minh: CE = AC + BE và $ AC.BE={{R}^{2}}$ không đổi.
- Tính chu vi và diện tích tam giác ACD theo R.
Bài 120: Cho đường tròn (O; R) và hai điểm A, B thuộc đường tròn. Tiếp tuyến tại A và B của (O) cắt nhau tại C. Tia CO cắt (O) tại E và F $ (E\in OC)$. Gọi I là trung điểm của AB
- Cho biết $ \widehat{{AOB}}={{120}^{o}}$
- i) Tính OI theo R và chứng minh I thuộc một đường thẳng cố định khi A, B di động trên (O) sao cho $ \widehat{{AOB}}$ luôn có số đo bằng $ {{120}^{o}}$
- ii) Lấy $ K\in AC$ (AK < AC). Vẽ đường tròn đường kính OK cắt cung AB của (O) tại M (M khác A). Tia KM cắt BC tại H. Chứng minh: KH là tiếp tuyến của (O)
iii) Lấy $ T\in AB$ sao cho $ \widehat{{KOT}}={{60}^{o}}$ (A, T nằm khác phía đối với OK). Chứng minh: O, T, H thẳng hàng.
- Chứng minh: EI.FC = FI.EC
Bài 121: Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng xy cố định ở ngoài (O). Từ điểm M bất kỳ trên xy kẻ hai tiếp tuyến MB, MC đến đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm)
- Xác định tâm O’ của đường tròn đi qua M, B, O, C
- Chứng minh: (O’) luôn đi qua một điểm cố định H khác O
- Dây cung BC cắt OH tại I và cắt OM tại K. Chứng minh: OI.OH=OK.OM =$ {{R}^{2}}$ Suy ra khi M thay đổi trên xy thì BC luôn đi qua một điểm cố định
Bài 122: Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng (d) cắt đường tròn tại E, F. Từ điểm A bất kì trên (d) và ở ngoài đường tròn (O), vẽ các tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của EF và BC cắt OA, OH lần lượt tại I, K. Chứng minh:
- 5 điểm A, B, C, O, H thuộc một đường tròn.
- OA = OH.OK = $ {{R}^{2}}$
- Khi A thay đổi, đường thẳng BC luôn đi qua một điểm cố định
- I luôn thuộc một đường tròn cố định khi A thay đổi.
- KE, KF là các tiếp tuyến của (O; R)
Bài 123: Cho đường tròn (O; R) và đoạn thẳng OA = 2R. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn (O)
- Chứng minh: OA là đường trung trực của đoạn thẳng BC
- Chứng minh: $ \Delta ABC$ đều
- Tính theo R độ dài BC và diện tích $ \Delta ABC$
- Đoạn OA cắt (O) tại D. Tứ giác OBDI là hình gì? Vì sao?
- BO cắt AC kéo dài tại I. Tính theo R độ dài các cạnh của $ \Delta ABI$
- Từ O kẻ đường vuông góc với OC cắt AB tại K. Tính khoảng cách từ K đến OA.
Bài 124: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Một tiếp tuyến tại M của (O) cắt hai tiếp tuyến Ax, By theo thứ tự tại C và D. Chứng minh: đường tròn đường kính CD tiếp xúc với AB.
Bài 125: Cho đường tròn (O; R) AB. Vẽ dây CD của (O) vuông góc với OA tại trung điểm của M của OA. Gọi E là trung điểm của BC
- Chứng minh: O, M, C, E cùng thuộc một đường tròn
- Tính BC theo R
- Tiếp tuyến tại B của (O) cắt OE tại N. Chứng minh: NC là tiếp tuyến của (O).
- Chứng minh: NA chia MC hai phần bằng nhau.
- Chứng minh: $ M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}+M{{D}^{2}}=4{{R}^{2}}$
Bài 126: Cho đường tròn (O; 3cm) và điểm A có OA = 6cm. Kẻ các tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC
- Tính độ dài OH
- Qua điểm M bất kì thuộc cung nhỏ BC, kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt AB và AC theo thứ tự tại E và F. Tính chu vi tam giác ADE
- Tính số đo góc DOE
Bài 127: Cho đường tròn (I; r) nội tiếp $ \Delta ABC$. Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu của I trên các cạnh BC, CA, AB. Cho BC = a, AC = b, AB = c. Chứng mình:
- S = p.r (với S là diện tích và p là nửa chu vi của $ \Delta ABC$
- AE = p – a; BF = p – b; CD = p – c
- $ \frac{1}{r}=\frac{1}{{{{h}_{1}}}}+\frac{1}{{{{h}_{2}}}}+\frac{1}{{{{h}_{3}}}}$ (với $ {{h}_{1}};{{h}_{2}},{{h}_{3}}$ là các đường cao của $ \Delta ABC$)
Bài 128: Cho đoạn thẳng AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB kẻ hai tia bất kì Ax và By song song với nhau. Một đường tròn tâm M tiếp xúc với AB tại C, với Ax tại D, với By tại E.
- Nêu cách dựng đường tròn tâm M
- Chứng minh: AD + BE không phụ thuộc vào vị trí của Ax và By
- Chứng minh: E, M, D thẳng hàng
- Chứng minh: M thuộc một đường tròn cố định khi Ax và By thay đổi.
Bài 129: Cho đoạn thẳng AB với trung điểm O. Trên nửa mặt phẳng bờ AB kẻ các tia Ax, By vuông góc với AB. Một góc vuông POQ quay xung quanh O cắt Ax, By tại P, Q. Gọi P’ là giao điểm của các tia đối của các tia OP, By
- Tam giác OPP’ là tam giác gì, tại sao?
- Chứng minh rằng đường thẳng PQ luôn luôn tiếp xúc với đường tròn (O; OA)
- Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp $ \Delta OPQ$ luôn luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định.
Bài 130: Cho đoạn thẳng AB vs O là trung điểm. Vẽ về một phía của AB các tia Ax, By vuông góc với AB. Các điểm M và N theo thứ tự di chuyển trên Ax và By sao cho $ \widehat{{MON}}={{90}^{o}}$. Gọi I là trung điểm của MN. Chứng minh:
- MN = AM + BN
- MN là tiếp tuyến của $ (O;\frac{{AB}}{2})$
- AB là tiếp tuyến của (I ; IO)
- Khi M, N di chuyển trên Ax, By thì AM.BN không đổi