ĐỀ SỐ 4
Câu 1:
a) Cho x và y là 2 số thực thoả mãn x2 + y2 = 4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
A = $ \frac{\text{xy}}{\text{x + y + 2}}$.
b) Cho x, y, z là 3 số thực dương thoả mãn x2 + y2 + z2 = 2. Chứng minh:
$ \frac{2}{{{\text{x}}^{2}}\text{ + }{{\text{y}}^{2}}}\text{ + }\frac{2}{{{\text{y}}^{2}}\text{ +}\text{ }{{\text{z}}^{2}}}\text{ +}\frac{2}{{{\text{z}}^{2}}\text{ + }{{\text{x}}^{2}}}\text{ }\le \text{ }\frac{{{\text{x}}^{3}}\text{ + }{{\text{y}}^{3}}\text{ + }{{\text{z}}^{3}}}{\text{2 xyz}}\text{ +}\text{ 3}$
Câu 2:
a) Giải phương trình: x2 + 9x + 20 = 2$ \sqrt{\text{3x + 10}}$ .
b) Tìm x, y thoả mãn: $ \left\{ \begin{array}{l}{{\text{x}}^{2}}{{\text{y}}^{2}}\text{ – 2x +}\text{ }{{\text{y}}^{2}}\text{ = 0}\\2{{\text{x}}^{2}}\text{ – 4x + 3 = – }{{\text{y}}^{3}}\end{array} \right.$ .
Câu 3:
a) Chứng minh rằng nếu: $ \sqrt{{{\text{x}}^{2}}\text{ + }\sqrt[3]{{{\text{x}}^{4}}{{\text{y}}^{2}}}}\text{ + }\sqrt{{{\text{y}}^{2}}\text{ + }\sqrt[3]{{{\text{x}}^{2}}{{\text{y}}^{4}}}}\text{ = a}$ thì $ \sqrt[3]{{{\text{x}}^{2}}}\text{ + }\sqrt[3]{{{\text{y}}^{2}}}\text{ = }\sqrt[3]{{{\text{a}}^{2}}}$ .
b) Chứng minh rằng nếu phương trình x4 + ax3 + bx2 + ax +1 = 0 có nghiệm thì 5(a2 + b2) ≥ 4.
Câu 4: Cho nửa đường tròn tâm (O) đường kính AB = 2R và bán kính OC vuông góc với AB. Tìm điểm M trên nửa đường tròn sao cho 2MA2 = 15MK2, trong đó K là chân đường vuông góc hạ từ M xuống OC.
Câu 5: Cho hình thang ABCD (AB//CD). Gọi E và F lần lượt là trung điểm của BD và AC. Gọi G là giao điểm của đường thẳng đi qua F vuông góc với AD với đường thẳng đi qua E vuông góc với BC. So sánh GD và GC.