Bài tập: Điểm cố định – Số đo không đổi – Quỹ tích

Bài 1: Ở ngoài đường tròn (O,R), lấy điểm A sao cho OA=2R. Vẽ các tiếp tuyến AT, AT’. Điểm M di động trên cung nhỏ TT’. Tiếp tuyến với (O) tại M cắt AT ở B và cắt AT’ ở C

a. Chứng minh góc \displaystyle \widehat{BOC} có số đo không đổi

b. Chứng minh chu vi tam giác ABC không đổi

c. Gọi H là trực tâm tam giác TMT’. Chứng minh A, H, T, T’ cùng thuộc một đường tròn

d. Tìm quỹ tích điểm I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MTT’

Bài 2: Từ điểm C cố định ngoài (O,R) kẻ cát tuyến CDE bất kỳ và đường thẳng xy ⊥ OC tại C. Tia CO cắt (O,R) tại A và B (CA>CO). Tia AD cắt xy ở M, tia AE cắt xy ở P.

a. Chứng minh tứ giác EDMP nội tiếp

b Chứng minh tích số CM.CP không đổi

c. CM: CD.CE+AE.AP=AC2

d. Tìm quỹ tích điểm J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD

Bài 3: Cho đường thẳng d cố định nằm ngoài (O,R) và điểm A di động trên d. Dựng các tiếp tuyến AB và AC. OA cắt BC ở H và kẻ OE vuông góc với d tại E. Tia OE cắt BC tại J và OA cắt (O,R) tại J.

a. CM: J là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

b. CM: tích số OH.OA không đổi

c. CM: điểm I cố định khi A di động trên d

d. Tìm quỹ tích điểm K, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Bài 4: Cho điểm I cố định nằm trên đoạn thẳng cố định AB và đường thẳng d vuông góc với AB tại I. Điểm C lưu động trên d. Hai đường thẳng vuông góc với CA, CB tại A, B cắt nhau ở D. Kẻ DJ vuông góc với AB và O  là trung điểm của CD.

a. CM: OA=OB và OI=OJ

b. CM: điểm J cố định

c. Gọi H là điểm đối xứng của D qua trung điểm M của đoạn AB. Cm: H là trực tâm của tam giác ABC.

d. Tìm quỹ tích điểm O

Bài 5: Cho đường thẳng d cố định nằm ngoài đường tròn (O,R). Điểm A cố định thuộc (O), và B cố định thuộc d. Dựng đường tròn bất kì qua A, B. Đường tròn này cắt (O) ở C và cắt d ở E.

a. CM: góc \displaystyle \widehat{ACE} có số đo không đổi

b. CM: đường thẳng EC luôn đi qua điểm K cố định. Xác định điểm K

c. Đường thẳng AB cắt (O) tại F. CM: FK//d

d. Gọi M là trung điểm AC. Tìm quỹ tích điểm M

Bài 6: Cho đường thẳng d cố định cắt (O,R) cố định tại A, B. Tiếp tuyến với (O) tại A, B cắt nhau ở K. Điểm M lưu động trên d và nằm ngoài đường tròn (O). Kẻ các tiếp tuyến MN, MP với (O)

a. CM: đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP luôn đi qua 2 điểm cố định

b. Tìm tập hợp điểm J, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP

c. Xác định vị trí điểm M trên d để tam giác MNP đều

d. CM: đường thẳng PN luôn đi qua một điểm cố định

Bài 7: Cho tam giác ABC vuông tại A. Phía ngoài tam giác ABC, vẽ các nữa đường tròn đường kính AB, đường kính AC. Đường thẳng d di động qua A cắt các nửa đường tròn trên tại E, F.

a. CM: đường trung trực của EF luôn đi qua 1 điểm cố định

b. Tìm tập hợp điểm N, trung điểm của EF

c. Xác định vị trí của d để EF đạt giá trị lớn nhất

d. Giả sử \displaystyle \widehat{EBA}=\widehat{ABC}. CM: SABC=SABE+SACF

Bài 8: Cho điểm M di động trên đoạn AB. Kẻ tia Mx vuông góc với AB. Trên tia Mx lấy 2 điểm C, D sao cho MC=MA, MD=MB. Đường tròn tâm O1 đi qua 3 điểm A, M, C và đường tròn tâm O2 qua B, N, D cắt nhau ở N.

a. CM: BC và AD cắt nhau tại N

b. Có nhận xét gì về 4 điểm A, B, C, D?

c. CM: đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định

d. Tìm tập hợp điểm I, tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABN

Bài 9: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O,R) có \displaystyle AB=AC=R\sqrt{2}. Điểm M di động trên cung nhỏ AC. Tia AM cắt tia BC ở D. Tia BM cắt AO ở E. Trên tia đối tia MB lấy điểm K sao cho KM=KC

a. CM: các tích số BE.BM và AM.AD luôn có giá trị không đổi

b. Tìm tập hợp điểm K khi M di động trên cung AC

c. Đường thẳng d qua M và song song KC. CM: đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định.

d. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD. CM: IC ⊥ IA, tìm quỹ tích điểm I.

Bài 10: Cho 2 đường tròn (O) và (O’) cắt nhau ở A và B. Đường thẳng d di động qua A cắt (O) ở C và cắt (O’) ở D. Kẻ OP ⊥ CD, O’Q ⊥ CD. Gọi E là giao điểm của OC và O’D.

a. CM: góc \displaystyle \widehat{CBD} có số đo không đổi

b. CM: 4 điểm O, E, B, O’ cùng thuộc một đường tròn.

c. CM: đường trung trực của CD luôn đi qua một điểm cố định

d. Tìm tập hợp điểm J, trung điểm của PQ

Bài 11: Cho đường tròn (O,R) và hai đường kinh AC, BD vuông góc nhau. Điểm E di động trên AD. Tia EO cắt BC tại F. Kẻ tia Ex//BD. Tia Ex cắt AB tại I. Kẻ IH vuông góc với EF.

a. CM: DI vuông góc với BE và IF//AC

b, CM: \displaystyle A\widehat{HE}=\widehat{BHF}

c. Tìm tập hợp điểm H khi E di động trên AD

d. CM: đường thẳng IH luôn đi qua một điểm cố định

Bài 12: Cho tam giác ABC vuông tại A và phân giác AI. Điểm D bất kì trên BC. Kẻ DE vuông góc với AB, DF vuông góc với AC. Qua A, kẻ đường thẳng d bất kì. Gọi B’, C’ lần lượt là hình chiếu của B, C lên d (d ở phía ngoài tam giác ABC)

a. CM: \displaystyle \frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{AI}

b. CM: EA.EB+FA.FC=DB.DC

c. CM: đường tròn đường kính B’C’ luôn đi qua một điểm cố định dù d quay xung quanh A ở phía ngoài tam giác ABC

d. Tìm tập hợp điểm J, trung điểm của B’C’

Toán cấp 2 © 2012 Toán cấp 2