Cách chứng minh một số là số chính phương – Bồi dưỡng HSG lớp 6

Toán cấp 2 giới thiệu với các bạn phương pháp, cách chứng minh một số là số chính phương qua các bài toán minh họa có lời giải.

Các bạn đã được giới thiệu các phương pháp chứng minh một số không phải là số chính phương trong TTT2 số 9. Bài viết này, tôi muốn giới thiệu với các bạn bài toán chứng minh một số là số chính phương.

Phương pháp 1:  Dựa vào định nghĩa

Ta biết rằng, số chính phương là bình phương của một số tự nhiên. Dựa vào định nghĩa này, ta có thể định hướng giải quyết các bài toán.

Bài toán 1:  Chứng minh:  Với mọi số tự nhiên n thì  an = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chính phương.

Lời giải:  Ta có:
an = n(n + 1) (n + 2) (n + 3) + 1

= (n2 + 3n) (n2 + 3n + 2) + 1

= (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + 1

= (n2 + 3n + 1)2

Với n là số tự nhiên thì n2 + 3n + 1 cũng là số tự nhiên, theo định nghĩa, an là số chính phương.

Bài toán 2:  Chứng minh số: Cách chứng minh một số là số chính phương là số chính phương.

Lời giải:
Ta có:

Cách chứng minh một số là số chính phương-1

Vậy: Cách chứng minh một số là số chính phương là số chính phương.

Phương pháp 2:  Dựa vào tính chất đặc biệt

Ta có thể chứng minh một tính chất rất đặc biệt:  “Nếu a, b là hai số tự nhiên nguyên tố cùng nhau và a.b là một số chính phương thì a và b đều là các số chính phương”.

Bài toán 3:  Chứng minh rằng:  Nếu m, n là các số tự nhiên thỏa mãn 3m2 + m = 4n2 + n thì m – n và 4m + 4n + 1 đều là số chính phương.

Lời giải:

Ta có:  3m2 + m = 4n2 + n
tương đương với 4(m2 – n2) + (m – n) = m2
hay là (m – n)(4m + 4n + 1) = m2 (*)

Gọi d là ước chung lớn nhất của m – n và 4m + 4n + 1 thì (4m + 4n + 1) + 4(m – n) chia hết cho d => 8m + 1 chí hết cho d.

Mặt khác, từ (*) ta có:  m2 chia hết cho d2 => m chia hết cho d.

Từ 8m + 1 chia hết cho d và m chia hết cho d ta có 1 chia hết cho d => d = 1.

Vậy m – n và 4m + 4n + 1 là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau, thỏa mãn (*) nên chúng đều là các số chính phương. Cuối cùng xin gửi tới các bạn một số bài toán thú vị về số chính phương:

Cách chứng minh một số là số chính phương-2

1) Chứng minh các số sau đây là số chính phương:

2) Cho các số nguyên dương a, b, c đôi một nguyên tố cùng nhau, thỏa mãn:  1/a + 1/b = 1/c. Hãy cho biết a + b có là số chính phương hay không ?

3) Chứng minh rằng, với mọi số tự nhiên n thì 3n + 4 không là số chính phương.

4) Tìm số tự nhiên n để n2 + 2n + 2004 là số chính phương.

5) Chứng minh:  Nếu: \displaystyle a=2+2\sqrt{{12{{n}^{2}}+1}} và n là hai số tự nhiên thì a là số chính phương.

Fanpage Toán cấp 2:

Nhóm Giải toán cấp 2

 

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Toán cấp 2 © 2012 Toán cấp 2