Chuyên đề dãy số viết theo quy luật – Bồi dưỡng HSG Toán 6

Tài liệu Chuyên đề dãy số viết theo quy luật được Toán cấp 2 sưu tâm dành cho các em học sinh khối 6 luyện thi học sinh giỏi Toán.

I. Phương pháp dự đoán và quy nạp:

Trong một số trường hợp khi gặp bài toán tính tổng hữu hạn

Sn = a₁ + a₂ + …. a_n  (1)

Bằng cách nào đó ta biết được kết quả (dự đoán, hoặc bài toán chứng minh khi đã cho biết kết quả). Thì ta nên sử dụng phương pháp này và hầu như thế nào cũng chứng minh được.

Ví dụ 1: Tính tổng    S_n =1+3+5 +… + (2n -1)

Thử trực tiếp ta thấy : S₁ = 1

S₂ = 1 + 3 =2²

S₃ = 1+ 3+ 5 = 9 = 3²

…      …             …

Ta dự đoán Sn = n²

Với n = 1; 2; 3 ta thấy kết quả đúng

Giả sử với n = k (k  1) ta có   S_k = k ²    (2)

Ta cần phải chứng minh S_k + 1 = ( k +1 ) ² (3)

Thật vậy cộng 2 vế của (2) với 2k +1  ta có

1+3+5 +… + (2k – 1) + (2k +1) = k² + (2k +1)

Vì k² + (2k +1) = (k +1) ² nên ta có (3) tức là S_k+1  = ( k +1) ²

Theo nguyên lý quy nạp bài toán được chứng minh

Vậy Sn = 1+3 + 5 + … + ( 2n -1) = n²

Tương tự ta có thể chứng minh các kết quả sau đây bằng phương pháp quy nạp toán học.

Đọc full tài liệu ngay dưới đây: Chuyên đề dãy số viết theo quy luật