Chuyên đề: Nhân chia căn thức bậc 2 – Toán lớp 9

Chuyên đề Nhân chia căn thức bậc hai với các dạng bài: Thực hiện phép tính, Rút gọn biểu thức, Giải phương trình, Tìm GTLN, GTNN của biểu thức, Chứng minh biểu thức.

Bài viết nêu lại lý thuyết cần ghi nhớ và các dạng bài tập, phần cuối là hướng dẫn giải, đáp án.

A – LÝ THUYẾT

I. Liên hệ giữa phép nhân, phép chia với phép khai phương:
1. Với A ≥ 0, B ≥ 0 thì:
Khai phương một tích
\displaystyle \sqrt{A.B}=\sqrt{A}.\sqrt{B}
Nhân các căn thức bậc hai
2. Với A ≥ 0, B > 0 thì:
Khai phương một thương
\displaystyle \sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}
Chia hai căn thức bậc hai
II. Bổ sung:
1. Với A1, A2, …, An ≥ 0 thì: \displaystyle \sqrt{{{A}_{1}}.{{A}_{2}}...{{A}_{n}}}=\sqrt{{{A}_{1}}}.\sqrt{{{A}_{2}}}...\sqrt{{{A}_{n}}}

2. Với a ≥ 0; b ≥ 0 thì: \displaystyle \sqrt{a+b}\le \sqrt{a}+\sqrt{b} (dấu “=” xảy ra ⇔ a = 0 hoặc b = 0)

3. Với a ≥ 0; b ≥ 0 thì: \displaystyle \sqrt{a-b}\ge \sqrt{a}-\sqrt{b} (dấu “=” xảy ra ⇔ a = b hoặc b = 0)

4. Công thức “căn phức tạp”
\displaystyle \sqrt{A\pm B}=\sqrt{\frac{A+\sqrt{{{A}^{2}}-B}}{2}}\pm \sqrt{\frac{A-\sqrt{{{A}^{2}}-B}}{2}}
Trong đó A > 0; B > 0 và A2 > B.

5. BĐT Cô-si (còn gọi là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân)
Với a ≥ 0, b ≥ 0 thì: \displaystyle \frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab} (dấu “=” xảy ra ⇔ a = b).
Vài dạng khác của bất đẳng thức Cô-si:
• Dạng có chứa dấu căn:
\displaystyle a+b\ge 2\sqrt{ab} với a ≥ 0; b ≥ 0;
\displaystyle \frac{1}{\sqrt{ab}}\ge \frac{2}{a+b} với a > 0; b > 0.
• Dạng không có chứa dấu căn:
\displaystyle \frac{{{(a+b)}^{2}}}{2}\ge ab; \displaystyle {{(a+b)}^{2}}\ge 4ab; \displaystyle {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge 2ab;

6. BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki (đối với hai bộ số)

• Mỗi bộ có hai số (a1 ; a2) và (b1 ; b2)
\displaystyle {{({{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}})}^{2}}\le (a_{1}^{2}+a_{2}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2});
• Mỗi bộ có ba số (a1 ; a2 ; a3) và (b1 ; b2 ; b3)
\displaystyle {{({{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}+{{a}_{3}}{{b}_{3}})}^{2}}\le (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2});
• Mỗi bộ có n số (a1 ; a2 ; …; an) và (b1 ; b2 ; …; bn)
\displaystyle {{({{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}+...+{{a}_{n}}{{b}_{n}})}^{2}}\le (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+...+b_{n}^{2});
(dấu “=” xảy ra ⇔ \displaystyle \frac{{{a}_{1}}}{{{b}_{1}}}=\frac{{{a}_{2}}}{{{b}_{2}}}=...=\frac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}} với quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử bằng 0)

B – BÀI TẬP

DẠNG 1: Thực hiện phép tính

Bài tập 1: Tính:
a) A = \displaystyle \sqrt{3+\sqrt{5+2\sqrt{3}}}.\sqrt{3-\sqrt{5+2\sqrt{3}}};
b) B = \displaystyle \sqrt{4+\sqrt{8}}.\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}.\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}.

Bài tập 2: Thực hiện phép tính:
a) \displaystyle (\sqrt{12}+3\sqrt{15}-4\sqrt{135}).\sqrt{3}; b) \displaystyle \sqrt{252}-\sqrt{700}+\sqrt{1008}-\sqrt{448};
c) \displaystyle 2\sqrt{40\sqrt{12}}-2\sqrt{\sqrt{75}}-3\sqrt{5\sqrt{48}}.

Bài tập 3: Thực hiện phép tính:
a) \displaystyle (\sqrt{12}+\sqrt{75}+\sqrt{27}):\sqrt{15}; c) \displaystyle \left( \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{7}}-\sqrt{\frac{16}{7}}+\sqrt{\frac{9}{7}} \right):\sqrt{7}.
b) \displaystyle (12\sqrt{50}-8\sqrt{200}+7\sqrt{450}):\sqrt{10};

Bài tập 4: Cho a = \displaystyle \sqrt{\frac{3}{5}}+\sqrt{\frac{5}{3}}. Tính giá trị của biểu thức: M = \displaystyle \sqrt{15{{a}^{2}}-8a\sqrt{15}+16}.

Bài tập 5: Tính:
a) \displaystyle \frac{\sqrt{99999}}{\sqrt{11111}}; b) \displaystyle \frac{\sqrt{{{84}^{2}}-{{37}^{2}}}}{\sqrt{47}}; c) \displaystyle \sqrt{\frac{5({{38}^{2}}-{{17}^{2}})}{8({{47}^{2}}-{{19}^{2}})}}; d) \displaystyle \sqrt{\frac{0,2\,\,.\,\,1,21\,\,.\,\,0,3}{7,5\,\,.\,\,3,2\,\,.\,\,0,64}}.

Bài tập 6: Biến đổi biểu thức dưới dấu căn về dạng tích rồi tính:
a) \displaystyle \sqrt{{{27}^{2}}-{{23}^{2}}}; b) \displaystyle \sqrt{{{37}^{2}}-{{35}^{2}}};
c) \displaystyle \sqrt{{{65}^{2}}-{{63}^{2}}}; d) \displaystyle \sqrt{{{117}^{2}}-{{108}^{2}}}.
Bài tập 7: Cho hai số có tổng bằng \displaystyle \sqrt{19} và có hiệu bằng \displaystyle \sqrt{7}. Tính tích của hai số đó.
Bài tập 8: Tính \displaystyle \sqrt{A} biết:
a) A = \displaystyle 13-2\sqrt{42}; b) A = \displaystyle 46+6\sqrt{5};
c) A = \displaystyle 12-3\sqrt{15}.

Bài tập 9: Tính:
a) \displaystyle \sqrt{3+\sqrt{5}}-\sqrt{3-\sqrt{5}}-\sqrt{2}; b) \displaystyle \sqrt{4-\sqrt{7}}-\sqrt{4+\sqrt{7}}+\sqrt{7};
c) \displaystyle \sqrt{6,5+\sqrt{12}}+\sqrt{6,5-\sqrt{12}}+2\sqrt{6}.

Bài tập 10: Thực hiện các phép tính:
a) \displaystyle (4+\sqrt{15})(\sqrt{10}-\sqrt{6})\sqrt{4-\sqrt{15}}; c) \displaystyle \frac{\sqrt{\sqrt{5}+2}+\sqrt{\sqrt{5}-2}}{\sqrt{\sqrt{5}+1}}-\sqrt{3-2\sqrt{2}}.
b) \displaystyle \sqrt{3-\sqrt{5}}(\sqrt{10}-\sqrt{2})(3+\sqrt{5});

Bài tập 11: Biết x = \displaystyle (\sqrt{10}-\sqrt{6}).\sqrt{4+\sqrt{15}}.
Tính giá trị của biểu thức: M = \displaystyle \frac{\sqrt{4x+4+\frac{1}{x}}}{\sqrt{x}\left| 2{{x}^{2}}-x-1 \right|}

Bài tập 12: Tính:
a) Q = \displaystyle (3-\sqrt{5})\sqrt{3+\sqrt{5}}+(3+\sqrt{5})\sqrt{3-\sqrt{5}};
b) R = \displaystyle \sqrt{2+\sqrt{3}}.\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}.\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}.\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}.

Bài tập 13: So sánh:
a) \displaystyle 3+\sqrt{5}\displaystyle 2\sqrt{2}+\sqrt{6}; b) \displaystyle 2\sqrt{3}+4\displaystyle 3\sqrt{2}+\sqrt{10};
c) 18 và \displaystyle \sqrt{15}.\sqrt{17}.

Bài tập 14*: a) Nêu một cách tính nhẩm 9972;
b) Tính tổng các chữ số của A, biết rằng \displaystyle \sqrt{A} = 99…96 (có 100 chữ số 9).

DẠNG 2: Rút gọn biểu thức

Bài tập 15: Rút gọn biểu thức M = \displaystyle \sqrt{4+\sqrt{7}}-\sqrt{4-\sqrt{7}}.

Bài tập 16: Rút gọn biểu thức:
a) \displaystyle \sqrt{11-2\sqrt{10}}; b) \displaystyle \sqrt{9-2\sqrt{14}};
c) \displaystyle \sqrt{4+2\sqrt{3}}-\sqrt{4-2\sqrt{3}}; d) \displaystyle \sqrt{9-4\sqrt{5}}-\sqrt{9+4\sqrt{5}};
e) \displaystyle \sqrt{4-\sqrt{7}}-\sqrt{4+\sqrt{7}}; f) \displaystyle \frac{\sqrt{3}+\sqrt{11+6\sqrt{2}}-\sqrt{5+2\sqrt{6}}}{\sqrt{2}+\sqrt{6+2\sqrt{5}}-\sqrt{7+2\sqrt{10}}};
g) \displaystyle \sqrt{5\sqrt{3}+5\sqrt{48-10\sqrt{7+4\sqrt{3}}}};
h) \displaystyle \sqrt{4+\sqrt{10+2\sqrt{5}}}+\sqrt{4-\sqrt{10+2\sqrt{5}}}; i) \displaystyle \sqrt{94-42\sqrt{5}}-\sqrt{94+42\sqrt{5}}.

Bài tập 17: Rút gọn các biểu thức:
a) A = \displaystyle \frac{\sqrt{6}+\sqrt{14}}{2\sqrt{3}+\sqrt{28}}; b) B = \displaystyle \frac{9\sqrt{5}+3\sqrt{27}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}};
c) C = \displaystyle \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{8}+4}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}}; d) D = \displaystyle \frac{3\sqrt{8}-2\sqrt{12}+\sqrt{20}}{3\sqrt{18}-2\sqrt{27}+\sqrt{45}}.

Bài tập 18: Rút gọn biểu thức: M = \displaystyle \frac{\sqrt{\sqrt{7}-\sqrt{3}}-\sqrt{\sqrt{7}+\sqrt{3}}}{\sqrt{\sqrt{7}-2}}.

Bài tập 19: Rút gọn các biểu thức:
a) A = \displaystyle \sqrt{6+2\sqrt{2}.\sqrt{3-\sqrt{4+2\sqrt{3}}}}; b) B = \displaystyle \sqrt{5}-\sqrt{3-\sqrt{29-12\sqrt{5}}};
c) C = \displaystyle \sqrt{3-\sqrt{5}}.(\sqrt{10}-\sqrt{2})(3+\sqrt{5}).

Bài tập 20: Rút gọn biểu thức: A = \displaystyle \sqrt{x+\sqrt{2x-1}}-\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}.

Bài tập 21: Rút gọn biểu thức: P = \displaystyle \sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}.

Bài tập 22: Rút gọn biểu thức: A = \displaystyle \sqrt{x+2\sqrt{2x-4}}+\sqrt{x-2\sqrt{2x-4}}.

Bài tập 23: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức:

a) A = \displaystyle \sqrt{\frac{{{(x-6)}^{4}}}{{{(5-x)}^{2}}}}-\frac{{{x}^{2}}-36}{x-5} (x < 5), tại x = 4;
b) B = \displaystyle 5x-\sqrt{125}+\frac{\sqrt{{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}}}{\sqrt{x+5}} (x ≥ 0), tại x = \displaystyle \sqrt{5}.

Bài tập 24: Rút gọn biểu thức:
a) A = \displaystyle \frac{2}{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}.\sqrt{\frac{3{{x}^{2}}+6xy+3{{y}^{2}}}{4}}; b) B = \displaystyle \frac{1}{2a-1}.\sqrt{5{{a}^{4}}(1-4a+4{{a}^{2}})}.

Bài tập 25: Cho a > 0, hãy so sánh \displaystyle \sqrt{a+1}+\sqrt{a+3} với \displaystyle 2\sqrt{a+2}.

Bài tập 26: Rút gọn biểu thức:
M = \displaystyle \frac{\sqrt{1+\sqrt{1-{{x}^{2}}}}\left[ \sqrt{{{(1+x)}^{3}}}-\sqrt{{{(1-x)}^{3}}} \right]}{2+\sqrt{1-{{x}^{2}}}}.

Bài tập 27: Cho biểu thức: A = \displaystyle \sqrt{\frac{{{({{x}^{2}}-3)}^{2}}+12{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}}}+\sqrt{{{(x+2)}^{2}}-8x}.
a) Rút gọn A;
b) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của A là một số nguyên.

Bài tập 28: Cho biểu thức: A = \displaystyle \frac{x+\sqrt{{{x}^{2}}-2x}}{x-\sqrt{{{x}^{2}}-2x}}-\frac{x-\sqrt{{{x}^{2}}-2x}}{x+\sqrt{{{x}^{2}}-2x}}.
a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức A;
b) Rút gọn biểu thức A;
c) Tìm giá trị của x để A < 2.

Bài tập 29: Lập một phương trình bậc hai với các hệ số nguyên, trong đó:
a) \displaystyle 2+\sqrt{3} là một nghiệm của phương trình;
b) \displaystyle 6-4\sqrt{2} là một nghiệm của phương trình.

Bài tập 30*: a) Rút gọn biểu thức A = \displaystyle \sqrt{1+\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{(a+1)}^{2}}}} với a > 0;
b) Tính giá trị của tổng:
B = \displaystyle \sqrt{1+\frac{1}{{{1}^{2}}}+\frac{1}{{{2}^{2}}}}+\sqrt{1+\frac{1}{{{2}^{2}}}+\frac{1}{{{3}^{2}}}}+\sqrt{1+\frac{1}{{{3}^{2}}}+\frac{1}{{{4}^{2}}}}+...+\sqrt{1+\frac{1}{{{99}^{2}}}+\frac{1}{{{100}^{2}}}}.

DẠNG 3: Giải phương trình

Bài tập 31: Giải phương trình:
a) \displaystyle \sqrt{5{{x}^{2}}}=2x+1; b) \displaystyle \frac{\sqrt{2x-3}}{\sqrt{x-1}}=2.

Bài tập 32: Giải phương trình:
a) \displaystyle 1+\sqrt{3x+1}=3x; b) \displaystyle \sqrt{2+\sqrt{3x-5}}=\sqrt{x+1};
c) \displaystyle \sqrt{\frac{5x+7}{x+3}}=4; d) \displaystyle \frac{\sqrt{5x+7}}{\sqrt{x+3}}=4.
Bài tập 33: Tìm x và y biết rằng x + y + 12 = \displaystyle 4\sqrt{x}+6\sqrt{y-1}.

Bài tập 34: Tìm x, y, z biết: \displaystyle \sqrt{x-a}+\sqrt{y-b}+\sqrt{z-c}=\frac{1}{2}\left( x+y+z \right) trong đó a+b+c = 3.

Bài tập 35: Giải phương trình: \displaystyle \sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+8+6\sqrt{x-1}}=5.

Bài tập 36: Giải phương trình: \displaystyle \sqrt{{{x}^{2}}-5x+6}+\sqrt{x+1}=\sqrt{x-2}+\sqrt{{{x}^{2}}-2x-3}.

DẠNG 4: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

Bài tập 37: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = \displaystyle \sqrt{x-5}+\sqrt{13-x}.

Bài tập 38: a) Tìm GTLN của biểu thức A = \displaystyle \sqrt{x+1}-\sqrt{x-8};
b) Tìm GTNN của biểu thức B = \displaystyle \sqrt{x-3}+\sqrt{5-x}.

Bài tập 39: Cho biểu thức: M = \displaystyle \frac{{{x}^{2}}-\sqrt{2}}{{{x}^{4}}+(\sqrt{3}-\sqrt{2}){{x}^{2}}-\sqrt{6}}
Rút gọn rồi tìm giá trị của x để M có giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó.

DẠNG 5: Chứng minh biểu thức

Bài tập 40: Có tồn tại các số hữu tỉ dương a, b hay không nếu:
a) \displaystyle \sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{2}; b) \displaystyle \sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{\sqrt{2}}.

Bài tập 41: Cho ba số x, y, \displaystyle \sqrt{x}+\sqrt{y} là các số hữu tỉ. Chứng minh rằng mỗi số \displaystyle \sqrt{x}, \displaystyle \sqrt{y} đều là số hữu tỉ.

Bài tập 42: Cho a, b, c, d là các số dương. Chứng minh rằng tồn tại một số dương trong hai số \displaystyle 2a+b-2\sqrt{cd}\displaystyle 2c+d-2\sqrt{ab}.

Bài tập 43: a) Chứng minh rằng với a > 0 thì, b > 0 thì \displaystyle \sqrt{a+b}<\sqrt{a}+\sqrt{b};
b) So sánh \displaystyle \sqrt{2017+2018} với \displaystyle \sqrt{2017}+\sqrt{2018}.

Bài tập 44: Cho a, b, x, y > 0. Chứng minh rằng \displaystyle \sqrt{ax}+\sqrt{by}\le \sqrt{(a+b)(x+y)}.

Bài tập 45: Cho a, b, c là các số thực không âm.
Chứng minh: \displaystyle a+b+c\ge \sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}.

Bài tập 46: Chứng minh bất đẳng thức: \displaystyle \sqrt{n+a}+\sqrt{n-a}<2\sqrt{n} với 0 < |a| ≤ n.
Áp dụng (không dùng máy tính hoặc bảng số): chứng minh rằng: \displaystyle \sqrt{101}-\sqrt{99}>0,1.

Bài tập 47: Cho A, B . Chứng minh rằng số 99999 + \displaystyle 11111\sqrt{3} không thể biểu diễn dưới dạng \displaystyle {{(A+B\sqrt{3})}^{2}}.

Bài tập 48: Cho A = \displaystyle a\sqrt{a}+\sqrt{ab} và B = \displaystyle b\sqrt{b}+\sqrt{ab} với a > 0, b > 0.
Chứng minh rằng nếu và đều là các số hữu tỉ thì A + B và A.B cũng là các số hữu tỉ.

Bài tập 49: Chứng minh các hằng đẳng thức sau với b ≥ 0, a ≥ \displaystyle \sqrt{b}:
a) \displaystyle \sqrt{a+\sqrt{b}}\pm \sqrt{a-\sqrt{b}}=\sqrt{2(a\pm \sqrt{{{a}^{2}}-b})};
b) \displaystyle \sqrt{a\pm \sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{{{a}^{2}}-b}}{2}}\pm \sqrt{\frac{a-\sqrt{{{a}^{2}}-b}}{2}}.

Bài tập 50: Chứng minh rằng: \displaystyle 2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})<\frac{1}{\sqrt{n}}<2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}) với n ∈ \displaystyle {{\mathbb{N}}^{*}}.
Áp dụng: cho S = \displaystyle 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}. Chứng minh rằng 18 < S < 19.

Bài tập 51: Chứng minh rằng: \displaystyle \frac{1}{2\sqrt{n+1}}<\sqrt{n+1}-\sqrt{n} với n ∈ \displaystyle \mathbb{N}.
Áp dụng chứng minh rằng: \displaystyle 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2500}}<100.

Bài tập 52: Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện xy + yz + xz = 1. Tính tổng:

S = \displaystyle x\sqrt{\frac{(1+{{y}^{2}})(1+{{z}^{2}})}{1+{{x}^{2}}}}+y\sqrt{\frac{(1+{{x}^{2}})(1+{{z}^{2}})}{1+{{y}^{2}}}}+z\sqrt{\frac{(1+{{x}^{2}})(1+{{y}^{2}})}{1+{{z}^{2}}}}.

Bài tập 53: Cho a, b, c là ba số hữu tỉ đôi một khác nhau. Chứng minh rằng:
A = \displaystyle \sqrt{\frac{1}{{{(a-b)}^{2}}}+\frac{1}{{{(b-c)}^{2}}}+\frac{1}{{{(c-a)}^{2}}}} là số hữu tỉ.
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si. Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki.

Bài tập 54: Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng x + y + z ≥ \displaystyle \sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}.

Bài tập 55: Cho A = \displaystyle \sqrt{x+3}+\sqrt{5-x}. Chứng minh rằng A ≤ 4.

Bài tập 56: Cho B = \displaystyle \frac{{{x}^{3}}}{1+y}+\frac{{{y}^{3}}}{1+x} trong đó x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện xy = 1. Chứng minh rằng B ≥ 1.

Bài tập 57: Cho x, y, z là ba số dương thỏa mãn điều kiện \displaystyle \frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}=2.
Chứng minh rằng xyz ≤ \displaystyle \frac{1}{8}.

Bài tập 58: Tìm các số dương x, y, z sao cho x + y + z = 3 và x4 + y4 + z4 = 3xyz.

Bài tập 59: Cho \displaystyle \sqrt{x}+2\sqrt{y}=10. Chứng minh rằng x + y ≥ 20.

Bài tập 60: Cho ba số không âm x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1. Chứng minh rằng: A =\displaystyle \sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}\le \sqrt{6}.

C – Hướng dẫn – trả lời – đáp số

Toán cấp 2 © 2012 Toán cấp 2