Chuyên đề: Phương trình bậc hai chứa tham số

Về các bài toán phương trình bậc hai chứa tham số, chúng ta thường phải sử dụng hệ thức Vi-ét để giải.

Bằng việc áp dụng định lý Vi-et, các em sẽ dễ dàng giải các bài tập dạng PT bậc 2 chứa tham số.

I – KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Ứng dụng hệ thức Vi-ét:

Xét phương trình bậc hai: \displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c=0\,\,\left( * \right)\text{ }\text{,}\left( a\ne 0 \right),\text{ }\Delta ={{b}^{2}}-4ac .

Gọi \displaystyle S, \displaystyle P lần lượt là tổng và tích của hai nghiệm \displaystyle {{x}_{1}},\text{ }{{x}_{2}}. Hệ thức Viét: \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}\\P={{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{a}\end{array} \right. .

  • Điều kiện PT (*) có hai nghiệm trái dấu ⇔ \displaystyle P<0.
  • Điều kiện PT (*) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu ⇔ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\Delta >0\\P>0\end{array} \right..
  • Điều kiện PT (*) có hai nghiệm phân biệt dương ⇔ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\Delta >0\\S>0\\P>0\end{array} \right..
  • Điều kiện PT (*) có hai nghiệm phân biệt âm ⇔ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\Delta >0\\S<0\\P>0\end{array} \right..

2. Các hệ thức thường gặp:

+ \displaystyle {{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}=\left( {{x}_{1}}^{2}+2{{x}_{1}}.{{x}_{2}}+{{x}_{2}}^{2} \right)-2{{x}_{1}}.{{x}_{2}}={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}.{{x}_{2}}={{S}^{2}}-2P

+ \displaystyle {{x}_{1}}-{{x}_{2}}=\pm \sqrt{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=\pm \sqrt{{{S}^{2}}-4P}

+ \displaystyle {{x}_{2}}-{{x}_{1}}=\pm \sqrt{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=\pm \sqrt{{{S}^{2}}-4P}

\displaystyle {{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}=\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)=\pm \left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)\sqrt{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=\pm S.\sqrt{{{S}^{2}}-4P}

\displaystyle {{x}_{1}}^{3}+{{x}_{2}}^{3}=\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)\left( {{x}_{1}}^{2}-{{x}_{1}}.{{x}_{2}}+{{x}_{2}}^{2} \right)=\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)\left[ {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-3{{x}_{1}}.{{x}_{2}} \right]=S.\left( {{S}^{2}}-3P \right)

\displaystyle {{x}_{1}}^{4}+{{x}_{2}}^{4}={{\left( {{x}_{1}}^{2} \right)}^{2}}+{{\left( {{x}_{2}}^{2} \right)}^{2}}={{\left( {{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}^{2}.{{x}_{2}}^{2}={{\left[ {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right]}^{2}}-2x_{1}^{2}x_{2}^{2}

\displaystyle ={{\left( {{S}^{2}}-2P \right)}^{2}}-2{{P}^{2}}

\displaystyle \frac{1}{{{x}_{1}}}+\frac{1}{{{x}_{2}}}=\frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=\frac{S}{P}

\displaystyle \frac{1}{{{x}_{1}}}-\frac{1}{{{x}_{2}}}=\frac{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=\pm \frac{\sqrt{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=\pm \frac{\sqrt{{{S}^{2}}-4P}}{P}

\displaystyle \frac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}}-\frac{{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}}=\frac{{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=\frac{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=\pm \frac{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)\sqrt{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=\pm \frac{S.\sqrt{{{S}^{2}}-4P}}{P}

\displaystyle {{x}_{1}}^{3}-{{x}_{2}}^{3}=\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)\left( {{x}_{1}}^{2}+{{x}_{1}}.{{x}_{2}}+{{x}_{2}}^{2} \right)=\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)\left[ {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-{{x}_{1}}.{{x}_{2}} \right]

\displaystyle =\left( \pm \sqrt{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}} \right)\left[ {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-{{x}_{1}}.{{x}_{2}} \right]=\pm \left( \sqrt{{{S}^{2}}-4P} \right)\left[ {{S}^{2}}-P \right]

\displaystyle {{x}_{1}}^{4}-{{x}_{2}}^{4}={{\left( {{x}_{1}}^{2} \right)}^{2}}-{{\left( {{x}_{2}}^{2} \right)}^{2}}=\left( {{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2} \right)\left( {{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2} \right)=\pm \left( {{S}^{2}}-2P \right)\left( S.\sqrt{{{S}^{2}}-4P} \right)

II – CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Câu 1: Cho phương trình \left( 2m-1 \right){{x}^{2}}-2mx+1=0. Xác định m để phương trình trên có nghiệm thuộc khoảng (-1;0).

Lời giải

  • Xét 2m-1=0\Rightarrow m=\frac{1}{2} phương trình trở thành -x+1=0\Rightarrow x=1\notin \left( -1;0 \right)
  • Xét 2m-1\ne 0\Rightarrow m\ne \frac{1}{2} khi đó ta có:

\Delta '={{m}^{2}}-\left( 2m-1 \right)={{m}^{2}}-2m+1={{\left( m-1 \right)}^{2}}\ge 0 mọi m.

Suy ra phương trình có nghiệm với mọi m.

Ta thấy nghiệm x=1 không thuộc khoảng \left( -1;0 \right)

Với m\ne \frac{1}{2} phương trình còn có nghiệm là x=\frac{m-m+1}{2m-1}=\frac{1}{2m-1}

Phương trình có nghiệm trong khoảng \left( -1;0 \right) suy ra

-1\le \frac{1}{2m-1}\le 0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{2m-1}+1>0\\2m-1<0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{2m}{2m-1}>0\\2m-1<0\end{array} \right.\Rightarrow m<0

Vậy phương trình đã cho có nghiệm trong khoảng \left( -1;0 \right) khi và chỉ khi m<0.

Câu 2: Cho phương trình \displaystyle {{x}^{2}}-\left( 2m-1 \right)x+{{m}^{2}}-1=0 (\displaystyle x là ẩn số)

a) Tìm điều kiện của để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

b) Định \displaystyle m để hai nghiệm \displaystyle {{x}_{1}}, \displaystyle {{x}_{2}} của phương trình đã cho thỏa mãn: {{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}={{x}_{1}}-3{{x}_{2}}.

Lời giải

a) \Delta ={{\left( 2m-1 \right)}^{2}}-4.\left( {{m}^{2}}-1 \right)=5-4m

Phương trình có hai nghiệm phân biệt \Leftrightarrow m<\frac{5}{4}

b) Phương trình có hai nghiệm \Leftrightarrow m<\frac{5}{4}

Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: \left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m-1\\{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{m}^{2}}-1\end{array} \right.

Theo đề bài:

\begin{array}{l}{{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}={{x}_{1}}-3{{x}_{2}}\\\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{x}_{1}}-3{{x}_{2}}\\\Leftrightarrow {{\left( 2m-1 \right)}^{2}}-4\left( {{m}^{2}}-1 \right)={{x}_{1}}-3{{x}_{2}}\\\Leftrightarrow {{x}_{1}}-3{{x}_{2}}=5-4m\end{array}

Ta có hệ phương trình: \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m-1\\{{x}_{1}}-3{{x}_{2}}=5-4m\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}=\frac{m+1}{2}\\{{x}_{2}}=\frac{3(m-1)}{2}\end{array} \right.

\begin{array}{l}\Rightarrow \frac{m+1}{2}\cdot \frac{3(m-1)}{2}={{m}^{2}}-1\\\Leftrightarrow 3\left( {{m}^{2}}-1 \right)=4\left( {{m}^{2}}-1 \right)\\\Leftrightarrow {{m}^{2}}-1=0\\\Leftrightarrow m=\pm 1\end{array}

Kết hợp với điều kiện \Rightarrow m=\pm 1 là các giá trị cần tìm

Câu 3: Tìm m để phương trình {{x}^{2}}+5x+3m-1=0 (\displaystyle x là ẩn số, m là tham số) có hai nghiệm \displaystyle {{x}_{1}}, \displaystyle {{x}_{2}} thỏa mãn x_{1}^{3}-x_{2}^{3}+3{{x}_{1}}{{x}_{2}}=75.

Lời giải

\displaystyle \Delta ={{5}^{2}}-4.1.\left( 3m-1 \right)=29-12m

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt \displaystyle \Rightarrow \Delta \ge 0\Rightarrow m\le \frac{29}{12}

Áp dụng hệ thức Vi-ét \left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-5\\{{x}_{1}}{{x}_{2}}=3m-1\end{array} \right.

Ta có: x_{1}^{3}-x_{2}^{3}+3{{x}_{1}}{{x}_{2}}=75

\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)\left( {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right)+3{{x}_{1}}{{x}_{2}}=75

⇒ \left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)\left( 25-{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right)+3{{x}_{1}}{{x}_{2}}=75

⇔ 25\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)-\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right){{x}_{1}}{{x}_{2}}+3{{x}_{1}}{{x}_{2}}=75

⇒ {{x}_{1}}-{{x}_{2}}=3

Kết hợp {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-5 suy ra {{x}_{1}}=-1;{{x}_{2}}=-4. Thay vào {{x}_{1}}{{x}_{2}}=3m-1 suy ra m=\frac{5}{3}

Vậy m=\frac{5}{3} là giá trị cần tìm.

Câu 4: Cho phương trình {{x}^{2}}-10mx+9m=0 (m là tham số)

a) Giải phương trình đã cho với m=1.

b) Tìm các giá trị của tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm \displaystyle {{x}_{1}}, \displaystyle {{x}_{2}} thỏa điều kiện {{x}_{1}}-9{{x}_{2}}=0.

Lời giải

a) Với m=1 phương trình đã cho trở thành {{x}^{2}}-10x+9=0

Ta có a+b+c=0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là \left[ \begin{array}{l}{{x}_{1}}=1\\{{x}_{2}}=9\end{array} \right.

b) \Delta '={{\left( -5m \right)}^{2}}-1.9m=25{{m}^{2}}-9m

Điều kiện phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là \Delta '>0\Leftrightarrow 25{{m}^{2}}-9m>0 (*)

Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

\left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=10m\\{{x}_{1}}-9{{x}_{2}}=0\\{{x}_{1}}{{x}_{2}}=9m\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}10{{x}_{2}}=10m\\{{x}_{1}}=9{{x}_{2}}\\{{x}_{1}}{{x}_{2}}=9m\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{x}_{2}}=m\\{{x}_{1}}=9m\\9{{m}^{2}}-9m=0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{x}_{2}}=m\\{{x}_{1}}=9m\\\left[ \begin{array}{l}m=0\\m=1\end{array} \right.\end{array} \right.,(*)\Rightarrow m=1

Ghi chú:

Mọi thắc mắc, yêu cầu cần giải đáp, hỗ trợ giải toán vui lòng gửi về email toancap2.net@gmail.com hoặc inbox fanpage Toán cấp 2:

Và tham gia nhóm Giải toán cấp 2 để hỗ trợ nhau giải các bài toán lớp 6, 7, 8, 9: https://www.facebook.com/groups/2158306784220150

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Toán cấp 2 © 2012 Toán cấp 2