Đại số 9 – Chuyên đề 1 – Căn bậc hai & Hằng đẳng thức

A– LÝ THUYẾT

I . Căn bậc hai:

1. CĂN BẬC HAI của số thực a là số x sao cho x2 = a.

– Số thực a dương: có đúng hai căn bậc hai là số đối nhau: số dương kí hiệu là \displaystyle \sqrt{a} và số âm kí hiệu là \displaystyle -\sqrt{a}.

– Số 0: có đúng 1 căn bậc hai là chính số 0, ta viết \displaystyle \sqrt{0}=0

– Số thực a âm: không có căn bậc hai, khi đó ta nói biểu thức \displaystyle \sqrt{a} không có nghĩa hay không xác định.

2. CĂN BÂC HAI SỐ HỌC của số thực a là số không âm x mà x2 = a.

Với a ≥ 0, ta có:

– Số x là căn bậc hai số học của a thì x = \displaystyle \sqrt{a}

\displaystyle x=\sqrt{a}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\ge 0\\{{x}^{2}}={{\left( \sqrt{a} \right)}^{2}}=a\end{array} \right.

\displaystyle \sqrt{a}\ge 0\displaystyle {{(\sqrt{a})}^{2}}=a

3. Với a, b là các số dương, ta có:

a) Nếu a < b thì \displaystyle \sqrt{a}<\sqrt{b}

b) Nếu \displaystyle \sqrt{a}<\sqrt{b} thì a < b.

B – BÀI TẬP

DẠNG 1: Phân biệt căn bậc haicăn bậc hai số học

Bài tập 1: Tìm câu đúng trong các câu sau:

   a) Căn bậc hai của 0,81 là 0,9;

b) Căn bậc hai của 0,81 là 0,09;

c) Căn bậc hai của 0,81 là 0,9 và –0,9;

   d) \displaystyle \sqrt{0,81}=0,9

e) \displaystyle \sqrt{0,81}=\pm 0,9

Bài tập 2: Tìm câu đúng trong các câu sau:

a)       Số 3 không có căn bậc hai.

b)       Căn bậc hai của 3 là \displaystyle \sqrt{3}

c)       Căn bậc hai của 3 là \displaystyle \sqrt{3}\displaystyle -\sqrt{3}

d)       Căn bậc hai số học của 3 là \displaystyle \sqrt{3}

e)       Căn bậc hai số học của 3 là \displaystyle \sqrt{3}\displaystyle -\sqrt{3}

Bài tập 3: Tìm các căn bậc hai số học của các số sau rồi suy ra căn bậc hai của chúng:

16;        25;        144;        0,09;        225;        \displaystyle \frac{9}{16};        121;        10 000;        0,01.

DẠNG 2: Chứng minh căn một số là số vô tỉ

Bài tập 3: Chứng minh \displaystyle \sqrt{5} là số vô tỉ.

Giải:

Chứng minh bằng phương pháp phản chứng:

Giả sử \displaystyle \sqrt{5} là số hữu tỉ.

Như vậy \displaystyle \sqrt{5} có thể biểu diễn dưới dạng phân số tối giản \displaystyle \frac{\text{m}}{\text{n}}, tức là \displaystyle \sqrt{5}=\frac{\text{m}}{\text{n}}.

Suy ra \displaystyle {{(\sqrt{5})}^{2}}={{\left( \frac{\text{m}}{\text{n}} \right)}^{2}} hay 5n2 = m2               (1).

Đẳng thức này chứng tỏ m2 \displaystyle \vdots 5, mà 5 là số nguyên tố nên m \displaystyle \vdots 5.

Đặt m = 5k (k \displaystyle \in \mathbb{Z}), ta có m2 = 25k2             (2).

Từ (1) và (2) suy ra 5n2 = 25k2 nên n2 = 5k2 (3).

Từ (3) ta lại có n2 \displaystyle \vdots 5 mà 5 là số nguyên tố nên n \displaystyle \vdots 5.

m và n cùng chia hết cho 5 nên phân số \displaystyle \frac{\text{m}}{\text{n}} không tối giản, trái với giả thiết.

Vậy \displaystyle \sqrt{5} không phải là số hữu tỉ, do đó \displaystyle \sqrt{5} là số vô tỉ.

Bài tập 4: Chứng minh rằng:

a)       \displaystyle \sqrt{3} là số vô tỉ

b)       \displaystyle \sqrt{7} là số vô tỉ

c)       \displaystyle \sqrt{3}+1 là số vô tỉ

d)       \displaystyle \sqrt{1+\sqrt{2}} là số vô tỉ

DẠNG 3: Giải phương trình, bất phương trình chứa căn

Bài tập 5: Giải phương trình:

Chú ý phương trình dạng: \displaystyle \sqrt{a}=x\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\ge 0\\{{x}^{2}}={{\left( \sqrt{a} \right)}^{2}}=a\end{array} \right.

  Lưu ý: Nếu x < 0 Þ phương trình vô nghiệm

a)       \displaystyle \sqrt{x}=15

b)       \displaystyle \sqrt{x}-1=3

c)       \displaystyle 2\sqrt{x}=14

d)       \displaystyle \sqrt{{{x}^{2}}+1}=2

e)       \displaystyle \sqrt{{{x}^{2}}+5x+20}=4

f)        \displaystyle \sqrt{{{x}^{2}}+3}=-1

Bài tập 6: Tìm x không âm, biết:

a)       \displaystyle \sqrt{x}<\sqrt{4} b)       \displaystyle \sqrt{2x}<4

DẠNG 4: So sánh các số có căn

Bài tập 7: So sánh hai số:

a)       \displaystyle 2\sqrt{3}\displaystyle 3\sqrt{2}

b)       \displaystyle 6\sqrt{5}\displaystyle 5\sqrt{6}

c)       \displaystyle 3\sqrt{26} và 15

d)       \displaystyle -5\sqrt{35} và –30

Bài tập 8: So sánh hai số:

a)       \displaystyle \sqrt{7}+\sqrt{15} với 7

b)       \displaystyle \sqrt{24}+\sqrt{45} với 12

c)       \displaystyle \sqrt{2}+\sqrt{11} với \displaystyle \sqrt{3}+5

d)       \displaystyle \sqrt{37}-\sqrt{15} với 2

Bài tập 9: So sánh hai số:

a)       \displaystyle \sqrt{8}+\sqrt{15} với \displaystyle \sqrt{65}-1 b)       \displaystyle \frac{13-2\sqrt{3}}{6}\displaystyle \sqrt{2}

Bài tập 10: So sánh các số:

a)       \displaystyle \frac{30+2\sqrt{45}}{4} và 12 b)       \displaystyle \sqrt{5\sqrt{3}} với \displaystyle \sqrt{3\sqrt{5}}

Hướng dẫn và đáp số:

Bài tập 1: Câu c) d) đúng

Bài tập 2: Câu c) d) đúng

Bài tập 4:   

a) b) Chứng minh tương tự bài 3

c) Giả sử \displaystyle \sqrt{3}+1 là một số hữu tỉ. Đặt \displaystyle \sqrt{3}+1=x (x \displaystyle \in \mathbb{Q}), ta có:

\displaystyle {{\left( \sqrt{3}+1 \right)}^{2}}={{x}^{2}}\Leftrightarrow 3+2\sqrt{3}+1={{x}^{2}}\Leftrightarrow \sqrt{3}=\frac{{{x}^{2}}-4}{2}

Vì x là số hữu tỉ nên x2 – 4 là số hữu tỉ, do đó \displaystyle \frac{{{x}^{2}}-4}{2} là số hữu tỉ.

Như vậy \displaystyle \sqrt{3} là số hữu tỉ, điều này vô lý. Vậy \displaystyle \sqrt{3}+1 là số vô tỉ.

d) Giả sử \displaystyle \sqrt{1+\sqrt{2}} = m (m là số hữu tỉ) thì \displaystyle \sqrt{2} = m2 – 1 nên \displaystyle \sqrt{2} là số hữu tỉ, vô lý.

Bài tập 5: Giải phương trình:

a) \displaystyle \sqrt{x}-1=3

\displaystyle \Leftrightarrow \sqrt{x}=3+1=4

\displaystyle \Leftrightarrow x={{4}^{2}}=16

Vậy …

b) \displaystyle \sqrt{{{x}^{2}}+1}=2

\displaystyle \Leftrightarrow {{x}^{2}}+1={{2}^{2}}=4

\displaystyle \Leftrightarrow {{x}^{2}}=4-1=3

\displaystyle \Leftrightarrow x=\sqrt{3}

Vậy …

 c) \displaystyle \sqrt{{{x}^{2}}+5x+20}=4

\displaystyle \Leftrightarrow {{x}^{2}}+5x+20={{4}^{2}}=16

\displaystyle \Leftrightarrow {{x}^{2}}+5x+4=0

\displaystyle \Leftrightarrow (x+1)(x+4)=0

\displaystyle \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=-1\\x=-4\end{array} \right.

Vậy …

d) \displaystyle \sqrt{{{x}^{2}}+3}=-1

Do –1 < 0 nên phương trình vô nghiệm

Bài tập 7: So sánh hai số:

a) \displaystyle 2\sqrt{3}\displaystyle 3\sqrt{2}

Có: \displaystyle {{\left( 2\sqrt{3} \right)}^{2}}={{2}^{2}}.{{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}=4.3=12;             \displaystyle {{\left( 3\sqrt{2} \right)}^{2}}={{3}^{2}}.{{\left( \sqrt{2} \right)}^{2}}=9.2=18

Do 12 < 18 nên \displaystyle {{\left( 2\sqrt{3} \right)}^{2}} < \displaystyle {{\left( 3\sqrt{2} \right)}^{2}} hay \displaystyle 2\sqrt{3} < \displaystyle 3\sqrt{2}

b) \displaystyle 6\sqrt{5}\displaystyle 5\sqrt{6}

Có: \displaystyle {{\left( 6\sqrt{5} \right)}^{2}}={{6}^{2}}.{{\left( \sqrt{5} \right)}^{2}}=36.5=180;             \displaystyle {{\left( 5\sqrt{6} \right)}^{2}}={{5}^{2}}.{{\left( \sqrt{6} \right)}^{2}}=25.6=150

Do 180 > 150 nên \displaystyle {{\left( 6\sqrt{5} \right)}^{2}} > \displaystyle {{\left( 5\sqrt{6} \right)}^{2}} hay \displaystyle 6\sqrt{5} > \displaystyle 5\sqrt{6}

c) \displaystyle 3\sqrt{26} và 15

Ta có 15 = 3.5, nên ta đi so sánh: \displaystyle \sqrt{26} và 5

Bài tập 8: So sánh hai số:

\displaystyle \sqrt{37}-\sqrt{15} với 2

Có: \displaystyle 37>36\Rightarrow \sqrt{37}>\sqrt{36};

\displaystyle \sqrt{15}<\sqrt{16}\Rightarrow -\sqrt{15}>-\sqrt{16}

Nên \displaystyle \sqrt{37}-\sqrt{15}>\sqrt{36}-\sqrt{16}=6-4=2

Bài tập 9: So sánh hai số:

\displaystyle \frac{13-2\sqrt{3}}{6}>\frac{13-2\sqrt{4}}{6}=1,5

Mặt khác: (1,5)2 = 2,25;     \displaystyle {{\left( \sqrt{2} \right)}^{2}}=2

Suy ra: 1,5 > \displaystyle \sqrt{2}, do đó: \displaystyle \frac{13-2\sqrt{3}}{6}>\sqrt{2}

Bài cùng series:Đại số 9 – Chuyên đề 1 – Căn bậc hai & Hằng đẳng thức (tiếp) >>

Toán cấp 2 © 2012 Toán cấp 2