Đề khảo sát CLB học sinh giỏi môn Toán 9 quận Hoàn Kiếm 2018-2019

Đề khảo sát câu lạc bộ học sinh giỏi môn Toán lớp 9 quận Hoàn Kiếm năm học 2018-2019. Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề).

Ngày khảo sát: 27/09/2018

Câu I (4,0 điểm).

a) Cho đa thức f(x) biết rằng: Nếu f(x) chia cho x-2 thì được số dư bằng 3, nếu f(x) chia cho x-3 thì được số dư bằng 4. Hãy tìm dư của phép chia f(x) cho (x-2)(x-3).

b) Viết số {{2019}^{{2019}}} thành tổng các chữ số tự nhiên {{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{n}}. Hỏi tổng các lập phương của có chia hết cho 6 không? Vì sao?

Câu II (2,0 điểm). Cho biểu thức P=\frac{{2{{x}^{3}}-7{{x}^{2}}-12x+45}}{{3{{x}^{3}}-19{{x}^{2}}+33x-9}} với x là số thực.

a) Rút gọn P

b) Tìm x để P > 0

Câu III (4,0 điểm).

a) Giải phương trình x\left( {\frac{{3-x}}{{x+1}}} \right)\left( {x+\frac{{3-x}}{{x+1}}} \right)=2 với x là ẩn số thực

b) Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2abc=1. Hãy tính giá trị của biểu thức: P=a\sqrt{{(1-{{b}^{2}})(1-{{c}^{2}})}}+b\sqrt{{(1-{{a}^{2}})(1-{{c}^{2}})}}+c\sqrt{{(1-{{b}^{2}})(1-{{a}^{2}})}}-abc

Câu IV (6,0 điểm).

Cho tam giác ABC có ba đường cao AD, BE, CF đồng quy tại trực tâm H. Gọi M, N, P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc từ D xuống các cạnh AB, AC, BE, CF.

a) Chứng minh EF song song với MN.

b) Chứng minh MP + NQ = EF

c) Đường thẳng PQ cắt đoạn DE, DF lần lượt tại K, I và AD cắt EF, MN lần lượt tại G, O. Giả sử O là trung điểm của MN, khi đó tứ giác GIDK là hình gì?

Câu V (2,0 điểm)

Tìm các nghiệm nguyên (x;y) của phương trình 2{{x}^{2}}+3{{y}^{2}}+4x=19

Toán cấp 2 © 2012 Toán cấp 2