Đề kiểm tra khảo sát chất lượng giữa học kì 1 môn Toán lớp 9 trường THCS ARCHIMEDES – ACADEMY, TP Hà Nội, năm học 2017-2018.
Thời gian: 90 phút
Bài 1 (2,5 điểm) Cho biểu thức $ P=\left( {\frac{{\sqrt{x}}}{{\sqrt{x}-1}}-\frac{1}{{x-\sqrt{x}}}} \right):\left( {\frac{1}{{\sqrt{x}+1}}+\frac{2}{{x-1}}} \right)$
a) Rút gọn biểu thức P với a > 0 và $ x\ne 1$ .
b) Tìm giá trị của x để P < 2.
c) Cho x > 9. Tìm giá trị nhỏ nhất của $ \displaystyle Q=P.\frac{{\sqrt{x}\left( {x+7} \right)}}{{\left( {\sqrt{x}-3} \right)\left( {x-1} \right)}}$
Bài 2 (1,5 điểm) Giải các phương trình sau:
a) $ 3+\sqrt{{2x-3}}=x$ b) $ \frac{{2\sqrt{x}}}{{\sqrt{x}+3}}+\frac{{\sqrt{x}+1}}{{\sqrt{x}-3}}+\frac{{3-11\sqrt{x}}}{{9-x}}=\frac{6}{{\sqrt{x}-3}}$
Bài 3 (2,0 điểm) Cho đường thẳng (d) có phương trình $ y=mx+3m+2$ (m là tham số) và đường thẳng: $ \left( {{{d}_{1}}} \right):\,\,\,y=2x+4$
a) Tìm giá trị của m để (d) cắt $ \left( {{{d}_{1}}} \right)$ tại điểm có hoành độ x = 1.
b) Với giá trị m tìm được hãy vẽ đường thẳng (d) và tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d).
c) Tìm giá trị của m để khoảng cách từ điểm $ E\left( {-3;\,\,\,0} \right)$đến đường thẳng (d) lớn nhất
Bài 4 (3,5 điểm) Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O) kẻ 2 tiếp tuyến MA, MB (A, B là tiếp điểm). Kẻ đường kính AC.
a) Chứng minh rằng BC // OM.
b) Tiếp tuyến tại C của (O) cắt tia AB tại F. Chứng minh rằng: $ \displaystyle A{{C}^{2}}=AB.AF$
c) Gọi giao điểm của OM với (O) là I. Chứng minh I cách đều 3 cạnh của $ \Delta MAB$
d) Chứng minh rằng: $ CM\bot OF$
Bài 5 (0,5 điểm) Cho x, y thỏa mãn: $ \sqrt{{x+2017}}-{{y}^{3}}=\sqrt{{y+2017}}-{{x}^{3}}$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ M={{x}^{2}}+2xy-2{{y}^{2}}+2y+2018$.