Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9, Phòng giáo dục và đào tạo huyện Đan Phượng, TP Hà Nội năm học 2018-2019.
Ngày thi 23/10/2018. Thời gian làm bài 150 phút.
Bài 1: (5 điểm)
1. Cho biểu thức: $ \displaystyle P=\frac{{x\sqrt{x}+26\sqrt{x}-19}}{{x+2\sqrt{x}-3}}-\frac{{2\sqrt{x}}}{{\sqrt{{x-1}}}}+\frac{{\sqrt{x}-3}}{{\sqrt{x}+3}}$
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P
2. Cho $ \displaystyle a=\sqrt[3]{{2-\sqrt{3}}}+\sqrt[3]{{2+\sqrt{3}}}$. Chứng minh $ \displaystyle \frac{{64}}{{{{{\left( {{{a}^{2}}-3} \right)}}^{3}}}}-3a$ là số nguyên
Bài 2: (4 điểm)
1. Giải phương trình $ \displaystyle {{x}^{2}}-x-4=2\sqrt{{x-1}}(1+x)$
2. Nhà toán học De morgan (1806-1871) khi được hỏi tuổi đã trả lời: tôi x tuổi vào năm x2. Hỏi năm x2 đó ông bao nhiêu tuổi.
3. Tìm số tự nhiên A biết rằng trong ba mệnh đề sau có hai mệnh đề đúng và một mệnh đề sai:
a) A + 51 là số chính phương
b) Chữ số tận cùng bên phải của A là số 1
c) A – 38 là số chính phương
Bài 3: (4 điểm)
a) Tìm x và y biết $ \displaystyle 2{{x}^{2}}+4x-3{{y}^{3}}+5=0$ và $ \displaystyle {{x}^{2}}{{y}^{2}}+2x+{{y}^{2}}=0$
b) Tìm các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn $ \displaystyle {{x}^{2}}y+xy-2{{x}^{2}}-3x+4=0$
Bài 4: (6 điểm)
1. Cho tam giác nhọn ABC. Các đường cao AH, BI, CK
a) Chứng minh rằng tam giác AKI đồng dạng với tam giác ACB;
Biết SAKI = SBKH = SCHI. Chứng minh rằng ABC là tam giác đều.
2) Cho tam giác ABC là tam giác nhọn nội tiếp đường tròn (0; R) và đường cao AH = R√2 . Gọi M và N thứ tự là hình chiếu của H trên AB, AC. Chứng minh rằng 3 điểm M, O, N thẳng hàng.
Bài 5: (1 điểm)
Với 3 số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1, chứng minh:
$ \displaystyle \frac{{1-{{x}^{2}}}}{{x+yz}}+\frac{{1-{{y}^{2}}}}{{y+zx}}+\frac{{1-{{z}^{2}}}}{{z+xy}}\ge 6$
Có đáp án chưa a