Đề thi HSG môn Toán lớp 9 tỉnh Hải Dương năm học 2012-2013

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 Sở giáo dục và đào tạo tỉnh Hải Dương năm học 2012-2013. Thời gian làm bài 150 phút. Không kể thời gian giao đề.

Ngày thi 27/3/2013.

Câu 1 (2,0 điểm):

a) Rút gọn biểu thức:  $ \mathrm{A=}\left( \sqrt{\mathrm{x}-\sqrt{\mathrm{50}}}-\sqrt{\mathrm{x+}\sqrt{\mathrm{50}}} \right)\sqrt{\mathrm{x+}\sqrt{{{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}}-\mathrm{50}}}$ với $ \mathrm{x}\ge \sqrt{50}$

b) Cho $ \mathrm{x+}\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{=2}$. Tính giá trị của biểu thức: B = x⁵ – 3x⁴ – 3x³ + 6x² – 20x + 2018

Câu 2 (2,0 điểm):

a) Giải phương trình: $ \frac{\mathrm{4x}}{{{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}}-\mathrm{5x+6}}\mathrm{+}\frac{\mathrm{3x}}{{{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}}-\mathrm{7x+6}}\mathrm{=6}$

b) Giải hệ phương trình sau: $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\sqrt{\mathrm{x}}\mathrm{+}\sqrt{\mathrm{y}}\mathrm{+4}\sqrt{\mathrm{xy}}\mathrm{=16}\\\mathrm{x+y=10}\end{array} \right.$

Câu 3 (2,0 điểm):

a) Với a, b là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu $ \mathrm{4}{{\mathrm{a}}^{\mathrm{2}}}\mathrm{+3ab}-\mathrm{11}{{\mathrm{b}}^{\mathrm{2}}}$ chia hết cho 5 thì $ {{a}^{4}}-{{b}^{4}}$ chia hết cho 5.

b) Cho phương trình $ \displaystyle \text{a}{{\text{x}}^{\text{2}}}\text{+bx+1}\,=0\,$ với a, b là các số hữu tỉ. Tìm a, b biết $ \mathrm{x=}\frac{\sqrt{\mathrm{5}}-\sqrt{\mathrm{3}}}{\sqrt{\mathrm{5}}\mathrm{+}\sqrt{\mathrm{3}}}$ là nghiệm của phương trình.

Câu 4 (3,0 điểm):

Cho 3 điểm A, B, C cố định nằm trên một đường thẳng d (B nằm giữa A và C). Vẽ đường tròn tâm O thay đổi nhưng luôn đi qua B và C (O không nằm trên đường thẳng d). Kẻ AM và AN là các tiếp tuyến với đường tròn tâm O tại M và N. Gọi I là trung điểm của BC, AO cắt MN tại H và cắt đường tròn tại các điểm P và Q (P nằm giữa A và O), BC cắt MN tại K.

a) Chứng minh 4 điểm O, M, N, I cùng nằm trên một đường tròn.

b) Chứng minh điểm K cố định khi đường tròn tâm O thay đổi.

c) Gọi D là trung điểm HQ, từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đường thẳng MP tại E. Chứng minh P là trung điểm ME.

Câu 5 (1,0 điểm):

Cho $ {{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{(2n+1)}\sqrt{\mathrm{2n}-\mathrm{1}}}$ với n ∈ N*. Chứng minh rằng:

A₁ + A₂ + A₃ +…+ A_n < 1