Ôn tập về phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng của nó

A- ÔN TẬP VỀ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

 I- KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Các pp phân tích đa thức thành nhân tử thường dùng:

– Đặt nhân tử chung.

– Dùng hằng đẳng thức.

– Nhóm nhiều hạng tử.

– Tách (hoặc thêm bớt) hạng tử.

– Phương pháp đổi biến (Đặt ẩn phụ).

– Phương pháp nhẩm nghiệm của đa thức.

II- BÀI TẬP

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a/. 36 – 12x + x2

b/. xy + xz + 3y + 3z

c/. x2 – 16 – 4xy + 4y2

d/. x2 – 5x – 14             (ĐS: 7; 2)

Nhắc lại: *  Phân tích đa thức ax2 + bx + c thành nhân tử.

Ta tách hạng tử bx thành b1x + b2x như sau:

+ Bước 1: Tìm tích ac.

+ Bước 2: Biến đổi ac thành tích của hai số nguyên bằng mọi cách.

+ Bước 3: Chọn 2 thừa số mà tổng bằng b \Rightarrow Hai thừa số đó chính là b1; b2 .

Ví dụ: ở câu d, trên b1 = 2; b2 = -7

x2 – 5x – 14  = x2 + 2x – 7x – 14  = x(x +2) – 7(x + 2) = (x + 2) (x – 7)

áp dụng:

Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a/.  x2 + 2x – 15                              (ĐS: 3; -5)

b/.  3x2 – 5x – 2                               (ĐS: 1/3; 2)

c/.  2x2 – 6x + 4                              (ĐS: 4; 2)

d/.  x2 – x –  2004. 2005                  (ĐS: 2004; 2005)

e/. 5x2 + 6xy  + y2                           (ĐS: 3y; 2y)

*  Áp dụng định lý Bơdu để phân tích đa thức F(x) thành nhân tử.

Bước 1: Chọn một giá trị x = a nào đó và thử xem x = a có phải là nghiệm của F(x) không (a là một trong các ước của hạng tử tự do).

Bước 2: Nếu F(a) = 0 thì theo định lý Bơdu ta có:

F(x) = (x – a) P(x)

Để tìm P(x) ta thực hiện phép chia F(x) cho x – a .

Bước 3: Tiếp tục phân tích P(x) thành nhân tử nếu còn phân tích được, sau đó viết kết quả cho hợp lý.

Bài 3: Phân tích thành nhân tử: F(x) = x3 – x2 – 4

Giải:

Ta thấy 2 là nghiệm của F(x) vì F(2) = 0

Theo hệ quả của định lý Bơdu thì F(x) \vdots x – 2

Dùng sơ đồ Hoocne để tìm đa thức thương khi chia F(x) cho x – 2

– 1  -1    0  – 4
  1   1   2    0

Vậy   F(x) = (x – 2)(x2 + x + 2)

Bài 4: Phân tích thành nhân tử: B = x3 – 5x2 + 3x + 9

(ĐS:  (x + 1)(x – 3)2   )

Bài 5: Chứng minh với mọi số nguyên n thì :

a/. (n + 2)2 – (n – 2)2 chia hết cho 8

b/.  n2(n + 1) + 2n(n + 1) chia hết cho 6.

Bài 6 (khuyến khích) Dùng pp thêm bớt để phân tích:

a/.  x7 + x5 + 1 = x7 + x6 –x6 + x5 +1 = … = (x2 + x + 1)(x5 +x4 – x3 – 1) = …=

= (x + 1)2(x – 1)(x3 + x2 + x – 1)

b/. x11 + x + 1 = x11 – x2 + x2 + x + 1 = x2(x9 – 1) + (x2 + x + 1)

= (x2 + x + 1)( x9 – x8 + x6 – x5 + x3 – x2 + 1)

B- MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TRONG GIẢI TOÁN

I – Chứng minh quan hệ chia hết

Bài 1: Chứng minh A = n4 + 6n3 + 11n2 + 6n \vdots 24 với mọi n \in N

Giải:

Phân tích thành nhân tử A = n(n3 + 6n2 +11n + 6)

Dùng pp nhẩm ngiệm để phân tích  n3 + 6n2 +11n + 6 thành nhân tử

A = n(n + 1)( n2 +5n + 6)

= n(n + 1)(n + 2)(n+ 3)

Đây là tích của 4 số nguyên liên tiếp. Trong 4 số nguyên liên tiếp n; n + 1; n + 2;

n + 3 luôn có một số chia hết  cho 2; một số chia hết cho 4 \Rightarrow A\vdots 8

Mặt khác, trong 3 số tự nhiên liên tiếp luôn tồn tại 1 số chia hết cho 3 nên A\vdots 3

Mà ƯCLN(3; 8) = 1 nên A \vdots 3.8 hay A\vdots 24 .

Bài 2: Chứng minh rằng: A = 2222 + 5555 \vdots 7

Giải:

Cách 1:   A = (2222 – 122) + (5555 + 155)

= (22 – 1)(2221 + 2220 + … + 1 )(55 + 1)(5554 – 5553 + … + 1)

                        M                                                   N

= 21M + 56 N

Mà 21M \vdots 7 ; 56N \vdots 7 \Rightarrow A\vdots 7

Cách 2: Dùng đồng dư:

Ta đã biết :   \left. \begin{array}{l}56\equiv 0(\bmod 7)\\1\equiv 1(\bmod 7)\end{array} \right\}\Rightarrow 55\equiv -1(\bmod 7)

Mặt khác    \left. \begin{array}{l}22\equiv 1(\bmod 7)\\55\equiv -1(\bmod 7)\end{array} \right\}\Rightarrow {{22}^{{22}}}+{{55}^{{55}}}\equiv 0(\bmod 7)

Hay    2222 + 5555 \vdots 7

Bài 3: Chứng minh rằng  A = a3 + b3 + c3 – 3abc chia hết cho a + b + c

Giải:

áp dụng hằng đẳng thức: (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)

⇒ a3 + b3 = (a + b)3 –  3ab(a + b). Thay biểu thức này vào A ta được :

A  = (a + b)3 –  3ab(a + b) + c3 – 3abc

= [ ( a + b)3 + c3 ] – 3ab(a + b + c)

=  (a + b + c) [ (a + b)2 – (a + b)c + c2– 3ab]

= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)

Ta thấy đa thức này chứa một nhân tử là a + b + c ⇒ A chia hết cho a + b + c

II – Tìm điều kiện xác định và rút gọn một phân thức

Bài 4: Tìm ĐKXĐ sau đó rút gọn phân thức sau:

A =  \frac{{{{x}^{3}}-5{{x}^{2}}-2x+24}}{{{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-10x-8}}

Giải:

*Phân tích mẫu của A thành nhân tử:

x3 – x2 – 10x – 8 = (x + 1)(x + 2)(x – 4)

Vậy ĐKXĐ: x \ne – 1; x \ne – 2; x \ne 4

*Phân tích thành nhân tử:

x3 – 5x2 – 2x + 24 = (x + 2)(x – 3)(x – 4)

Rút gọn A = \frac{{(x+2)(x-3)(x-4)}}{{(x+2)(x+1)(x-4)}}=\frac{{x-3}}{{x+1}}

Bài 5: Tìm điều kiện xác định sau đó rút gọn phân thức sau:

A = \frac{{{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-x+3}}{{{{x}^{3}}-{{x}^{2}}}}

Giải:

B = \frac{{{{x}^{2}}(x-3)-(x-3)}}{{{{x}^{2}}(x-1)}} = \frac{{(x-3)(x-1)(x+1)}}{{{{x}^{2}}(x-1)}}

ĐKXĐ:  x\ne 1

Rút gọn:  B = \frac{{(x-3)(x+1)}}{{{{x}^{2}}}}

Bài 6: Chứng minh A = n3 + 6n2 + 8n \vdots 24 với mọi n \in N chẵn.

Giải:

A = n(n + 2)(n + 4)

Thay n=2k  \vdots A=8k (k+1)(k+2)

Mà k(k+1)(k+2) là 3 số tự nhiên liên tiếp ⇒ \vdots 3

ƯCLN (8,3) = 1 ⇒ A \vdots 24

Bài 7: cho a+b+c = 0 chứng minh a3 +b3+c3 = 3abc

Giải:

Từ KQ bài  3 trên , nếu a+ b+ c = 0

⇒ a3 +b3+c3 – 3abc = 0

⇒ a3 +b3+c3 = 3abc

Bài 8: Rút gọn các phân thức:

a/. \frac{{{{{\left( {2x+3} \right)}}^{2}}-{{x}^{2}}}}{{{{x}^{2}}-1}}

(ĐS: \frac{{3\left( {x+3} \right)}}{{x-1}} )

b/.  \frac{{{{{\left( {3x+2} \right)}}^{2}}-{{{(x+2)}}^{2}}}}{{{{x}^{3}}-{{x}^{2}}}}

(ĐS : \frac{{8\left( {x+1} \right)}}{{x(x-1)}} )

III – Giải phương trình, bất phương trình

Bài 9: (Bài 1 – đề thi cấp 3 năm 2007)

1/. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: B = b + by + y + 1

2/. Giải phương trình:         x2 – 3x + 2 = 0

Bài 10: Giải phương trình: (x2 – 1)(x2 + 4x + 3) = 192

Giải:

Biến đổi phương trình đã cho được: (x – 1)(x + 1)2(x + 3) = 192

⇔(x + 1)2(x – 1) (x + 3) = 192

⇔ (x2 + 2x + 1)(x2 + 2x – 3) = 192

Đặt x2 + 2x – 1 = y

Phương trình đã cho thành:  (y + 2) (y – 2) = 192 ⇒ y = ± 14

Với y = 14 giải ra x = 3 hoặc x =- 5

Với y = – 14 giải ra  vô nghiệm.

Vậy S = {3;-5}

Bài 11: Giải bất phương trình sau: x2 – 2x – 8 < 0

Giải:

Biến đổi bất phương trình đã cho về bất phương trình tích:

x2 – 2x – 8 < 0 ⇔ x2 – 4x + 2x – 8 < 0 ⇔ (x – 2)(x + 2) < 0

Lập bảng xét dấu:

x – 2 4
x + 2   –   0   +    +
x – 4   –   –   0     +
(x+2)(x- 4)    +   0   –   0     +

Vậy nghiệm của bất phương trình là:   – 2 < x < 4 .

Bài tập về nhà:        Làm bài 80 – 88(42, 43) ÔTĐ8.

Toán cấp 2 © 2012 Toán cấp 2