- Nhắc lại định nghĩa, tính chất cơ bản của bất đẳng thức
- Phương pháp chứng minh bất đẳng thức bằng định nghĩa
- Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương đương
- Áp dụng bất đẳng thức để chứng minh bất đẳng thức
- Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp phản chứng
- Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp làm trội, làm giảm
- Một số loại bài chứng minh bất đẳng thức thường gặp
- Mở rộng một số bất đẳng thức
- Ứng dụng của bất đẳng thức trong Toán THCS
- Một số bài tập bất đẳng thức
- Phương pháp đổi biến chứng minh bất đẳng thức
- Một số ví dụ chứng minh BĐT bằng phương pháp cân bằng hệ số
- Kỹ thuật chọn điểm rơi chứng minh bất đẳng thức
- Một số ví dụ chứng minh BĐT bằng phương pháp hệ số bất định UCT
- Một số ví dụ chứng minh BĐT bằng phương pháp Cauchy ngược dấu
Trong chương trình Toán trung học cơ sở (THCS), các em có thể sử dụng bất đẳng thức để giải phương trình, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức.
Các em xem những ví dụ dưới đây để hiểu rõ.
Mục lục
1. Ứng dụng bất đẳng thức để giải phương trình
Ví dụ 1:
Giải phương trình: $ \displaystyle \left| x-5 \right|+\left| x-2 \right|=3$
Giải
áp dụng BĐT $ \left| x \right|+\left| y \right|\ge \left| x+y \right|$. Ta có
$ \left| x-5 \right|+\left| x-2 \right|$ = $ \left| x-5 \right|+\left| 2-x \right|$ ≥ $ \left| x-5+2-x \right|$ = 3.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 5)(2 -x) ³ 0 hay 2 ≤ x ≤ 5
Vậy phương trình có nghiệm với mọi x thoả mãn 2 ≤ x ≤ 5
Ví dụ 2:
Giải phương trình: $ \sqrt{3{{x}^{2}}+6x+7}+\sqrt{5{{x}^{2}}+10x+14}=4-2x-{{x}^{2}}$
Giải:
Ta có : $ \displaystyle \sqrt{3{{x}^{2}}+6x+7}=\sqrt{3\left( {{x}^{2}}+2x+1 \right)+4}=\sqrt{3{{\left( x+1 \right)}^{2}}+4}\ge 2$
$ \displaystyle \sqrt{5{{x}^{2}}+10x+14}=\sqrt{5\left( {{x}^{2}}+2x+1 \right)+9}=\sqrt{5{{\left( x+1 \right)}^{2}}+9}\ge 3$
Suy ra: Vế trái = $ \sqrt{3{{x}^{2}}+6x+7}+\sqrt{5{{x}^{2}}+10x+14}\ge 5$.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = -1.
mà Vế phải = $ \displaystyle 4-2x-{{x}^{2}}=-{{\left( x+1 \right)}^{2}}+5\le 5$.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = -1
Vậy phương trình có nghiệm x = -1
2. Ứng dụng bất đẳng thức để tìm GTLN, GTNN
Ví dụ 1
Cho a , b, c là 3 số dương có tổng bằng 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức.
A = $ \sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}$
Giải:
*Cách 1: Dùng BĐT Bunhiacôpxki
Ta có A2 = $ {{\left( \sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1} \right)}^{2}}\le \left( {{1}^{2}}+{{1}^{2}}+{{1}^{2}} \right)\left( a+1+b+1+c+1 \right)$ = 12
mà A > 0. Suy ra A ≤ $ \sqrt{12}=2\sqrt{3}$ . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = $ \displaystyle \frac{1}{3}$
* Cách 2: Dùng điểm rơi Côsi
Ta có: $ \sqrt{a+1}=\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{\left( a+1 \right)\frac{4}{3}}\ge \frac{\sqrt{3}}{2}\left( \frac{a+1+\frac{4}{3}}{2} \right)=\frac{\sqrt{3}}{12}\left( 3a+7 \right)$
Tương tự: $ \displaystyle \sqrt{b+1}\ge \frac{\sqrt{3}}{12}\left( 3b+7 \right)$ ; $ \displaystyle \sqrt{c+1}\ge \frac{\sqrt{3}}{12}\left( 3c+7 \right)$
Suy ra: $ \displaystyle \sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}\ge \frac{\sqrt{3}}{12}\left( 3\left( a+b+c \right)+21 \right)=2\sqrt{3}$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $ \displaystyle a=b=c=\frac{1}{3}$
3) Ứng dụng bất đẳng thức để chứng minh phương trình bậc hai có nhiệm, có hai nghiệm phân biệt.
Ví dụ 1: Cho phương trình: x2 + 2mx + (m – 1) = 0 với m là tham số
Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
