Các bài toán hình ôn thi vào lớp 10 không chuyên có lời giải

Bài 2: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB= 2R, dây cung AC. Gọi M là điểm chính giữa cung AC. Đường thẳng kẻ từ C song song với BM cắt tia AM ở K và cắt tia OM ở D. OD cắt AC tại H.

1. Chứng minh tứ giác CKMH nội tiếp.

2. Chứng minh CD = MB và DM = CB.

3. Xác định vị trí điểm C trên nửa đường tròn (O) để AD là tiếp tuyến của nửa đường tròn.

4. Trong trường hợp AD là tiếp tuyến cửa nửa đường tròn (O), tính diện tích phần tam giác ADC ở ngoài đường tròn (O) theo R.

BÀI GIẢI CHI TIẾT
1. Chứng minh tứ giác CKMH nội tiếp
$\widehat{AMB}={90}^0$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB) .

$\Rightarrow AM\mathrm{\perp }MB$

Mà CD // BM (gt) nên AM ⊥ CD .

Vậy $\widehat{MKC}={90}^0$ .
$\stackrel{⌢}{AM}=\stackrel{⌢}{CM}$ (gt) .

$\Rightarrow OM\mathrm{\perp }AC$

$\Rightarrow \widehat{MHC}={90}^0$

Tứ giác CKMH có $\widehat{MKC}+\widehat{MHC}={180}^0$ nên nội tiếp được trong một đường tròn.
2. Chứng minh CD = MB và DM = CB

Ta có: $\widehat{ACB}={90}^0$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) (Hình 2)

Do đó: DM // CB, mà CD // MB(gt) nên tứ giác CDMB là hình bình hành.

Suy ra: CD = MB và DM = CB.
3. Xác định vị trí điểm C trên nửa đường tròn (O) để AD là tiếp tuyến của nửa đường tròn

AD là tiếp tuyến của đường tròn (O) $\iff AD\mathrm{\perp }AB$ . ΔADC có AK ⊥ CD và DH

⊥ AC nên M là trực tâm tam giác . Suy ra: CM ⊥ AD.

Vậy $AD\mathrm{\perp }AB$ ⇔ CM // AB

$\iff \stackrel{⌢}{AM}=\stackrel{⌢}{BC}$

Mà $\stackrel{⌢}{AM}=\stackrel{⌢}{MC}$ nên

$\stackrel{⌢}{AM}=\stackrel{⌢}{BC}\iff \stackrel{⌢}{AM}=\stackrel{⌢}{MC}=\stackrel{⌢}{BC}$= 60⁰

4. Tính diện tích phần tam giác ADC ở ngoài (O) theo R

Gọi S là diện tích phần tam giác ADC ở ngoài

đường tròn (O). S₁ là diện tích tứ giác AOCD.

S₂ là diện tích hình quạt góc ở tâm AOC.

Ta có: S = S₁ – S₂

Tính S₁:

AD là tiếp tuyến của đường tròn (O) ⇔ $\stackrel{⌢}{AM}=\stackrel{⌢}{MC}=\stackrel{⌢}{BC}={60}^0$.

$\Rightarrow \widehat{AOD}={60}^0$

Do đó: AD = AO. tg 60⁰ = $R\sqrt{3}$

S_ADO = $\frac{1}{2}AD.AO=\frac{1}{2}.R\sqrt{3}.R=\frac{R^2\sqrt{3}}{2}$ .

$\mathrm{\Delta }AOD=\mathrm{\Delta }COD$ (c.g.c)

⇒ S_AOD = S_COD ⇒ S_AOCD = 2 S_ADO = 2. $\frac{R^2\sqrt{3}}{2}$ = $R^2\sqrt{3}$.

*Tính S₂: $\stackrel{⌢}{AC}={120}^0$ ⇒ S _{quạt AOC} = $\frac{\pi R^2{.120}^0}{{360}^0}$ = $\frac{\pi R^2}{3}$ .

*Tính S: S = S₁ – S₂ = $R^2\sqrt{3}$  – $\frac{\pi R^2}{3}$ = $\frac{3R^2\sqrt{3}-\pi R^2}{3}$

= ${\displaystyle \frac{R_{}^2}{3}(3\sqrt{3}-\pi )}$ (đvdt).

Lời bàn:

1. Rõ ràng câu 1, hình vẽ gợi ý cho ta cách chứng minh các góc H và K là những góc vuông, và để có được góc K vuông ta chỉ cần chỉ ra MB ⊥ AM và CD// MB. Điều đó suy ra từ hệ quả của góc nội tiếp và giả thiết CD // MB. Góc H vuông được suy từ kết quả của bài số 14 trang 72 SGK toán 9 tập. Các em lưu ý các bài tập này được vận dụng vào việc giải các bài tập khác nhé.

2. Không cần phải bàn, kết luận gợi liền cách chứng minh phải không các em?

3. Rõ ràng đây là câu hỏi khó đối với một số em, kể cả khi hiểu rồi vẫn không biết giải như thế nào , có nhiều em may mắn hơn vẽ ngẫu nhiên lại rơi đúng vào hình 3 ở trên từ đó nghĩ ngay được vị trí điểm C trên nửa đường tròn. Khi gặp loại toán này đòi hỏi phải tư duy cao hơn. Thông thường nghĩ nếu có kết quả của bài toán thì sẽ xảy ra điều gì ? Kết hợp với các giả thiết và các kết quả từ các câu trên ta tìm được lời giải của bài toán . Với bài tập trên phát hiện M là trực tâm của tam giác không phải là khó, tuy nhiên cần kết hợp với bài tập 13 trang 72 sách Toán 9T₂ và giả thiết M là điểm chính giữa cung AC ta tìm được vị trí của C ngay.

Với cách trình bày dưới mệnh đề “khi và chỉ khi” kết hợp với suy luận cho ta lời giải chặt chẽ hơn. Em vẫn có thể viết lời giải cách khác bằng cách đưa ra nhận định trước rồi chứng minh với nhận định đó thì có kết quả , tuy nhiên phải trình bày phần đảo: Điểm C nằm trên nửa đường tròn mà $\stackrel{⌢}{BC}={60}^0$ thì AD là tiếp tuyến. Chứng minh nhận định đó xong ta lại trình bày phần đảo: AD là tiếp tuyến thì $\stackrel{⌢}{BC}={60}^0$ . Từ đó kết luận.

4. Phát hiện diện tích phần tam giác ADC ở ngoài đường tròn (O) chính là hiệu của diện tích tứ giác AOCD và diện tích hình quạt AOC thì bài toán dễ tính hơn so với cách tính tam giác ADC trừ cho diện tích viên phân cung AC.