Chủ đề 5: Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình – Phần Đại số

Dạng 1: Các bài toán về chuyển động

Phương pháp giải:

Dựa vào quan hệ của ba đại lượng s: quãng đường, t: thời gian, v: vận tốc của chuyển động đều trong công thức s = v.t

Dựa vào nguyên lí cộng vận tốc: ví dụ khi giải bài toán thuyền trên sông ta có: v1 = v_o + v₃; v₂ = v_o – v₃ trông đó v₁ là vận tốc của thuyền khi xuôi dòng, v₂ là vận tốc của thuyền khi ngược dòng; v_o là vận tốc riêng của thuyền; v₃ là vận tốc dòng chảy.

Chú ý: để thuyền ngược dòng được thì phải có v_o = v₃

Bài tập:

1) Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 60 km. Một xuồng máy đi xuôi dòng từ A đến B, nghỉ 30 phút tại bến B rồi quay trở lại đi ngược dòng 25 km để đến bến C. Thời gian kể từ lúc đi đến lúc quay trở lại đến bến C hết tất cả là 8 giờ. Tính vận tốc xuồng máy khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc nước chảy là 1 km/h.

2) Trong một cuộc đua xê mô tô, ba tay đua đã khởi hành cùng một lúc. Mỗi giờ, người thứ hai chạy chậm hơn người thứ nhất 15km và nhanh hơn người thứ ba 3km nên người thứ hai đế đích chậm hơn người thứ nhất 12 phút và sớm hơn người thứ ba 3 phút. Tính vận tốc của ba tay đua mô tô trên.

3) Một xe lửa đi từ Huế ra Hà Nội. Sau đó 1 giờ 40 phút, một xe lửa khác đi từ Hà Nội vào Huế với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe thứ nhất là 5km/h. Hai xe gặp nhau tại một ga cách HN 300km. Tìm vận tốc của mỗi xe, giả thiết rằng quãng đường sắt Huế – Hà Nội dài 645km.

4) Một ca nô xuôi từ A đến B với vận tốc 30km/h, sau đó lại ngược từ B về A. Thời gian xuôi ít hơn thời gian ngược 1 giờ 20 phút. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B biết rằng vận tốc dòng nước là 5km/h và vận tốc riêng của ca nô lúc xuôi dòng và lúc ngược bằng nhau.

5) Một người đi xê máy từ A đến B cách nhau 120km với vận tốc dự định trước. Sau khi được 1/3 quãng đường AB người đó tăng vận tốc lên 10km/h trên quãng đường còn lại. Tìm vận tốc dự định và thời gian xê lăn bánh trên đường, biết rằng người đó đến B sớm hơn dự định 24 phút.

6) Đường sông từ thành phố A đến thành phố B ngắn hơn đường bộ 10km. Nếu đi từ A đến B bằng ca nô thì mất 3 giờ 20 phút, còn đi bằng ô tô thì chỉ mất 2 giờ. Tính vận tốc của ca nô, biết rằng mỗi giờ ô tô đi nhanh hơn ca nô 17km.

7) Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một khoảng thời gian nhất định với vận tốc định trước. Nếu ô tô đi với vận tốc 35km/h thì sẽ đến chậm 2h. Nếu đi với vận tốc 50km/h thì đến sớm hơn 1h. Tính quãng đường AB và thời gian dự định lúc ban đầu.

8) Hai tỉnh A và B cách nhau 120km. Lúc 6 giờ 45 phút một xe máy đi từ A đến B; 15 phút sau đó, một ô tô cũng khởi hành từ A đến B. Vì vậy vận tốc ô tô lớn hơn vận tốc xe máy 10km/h, nên xe máy đến B muộn hơn ô tô tới 45 phút. Hỏi ô tô đến B lúc mấy giờ?

9) Hai bến sông A và B cách nhau 80km. Một ca nô xuôi dòng từ A đến B, rồi ngược dòng từ B trở về A mất 8 giờ 20 phút. Tính vận tốc riêng của ca nô( vận tốc này là không đổi), biết vận tốc của dòng nước trong cả hai trường hợp ca nô xuôi dòng và ngược dòng đều bằng 4km/h.

10) Một người đi xe máy khởi hành từ Hoài Ân đi Quy Nhơn. Sa đó 75 phút, một ô tô khởi hành từ Qui Nhơn đi Hoài Ân với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe máy là 20km/h. Hai xe gặp nhau tại Phù Cát. Tính vận tốc của mỗi xe, giả thiết rằng Quy Nhơn cách Hôài Ân 100km và Qui Nhơn cách Phù Cát 30km.

11) Một ô tô dự định đi từ A đến B cách nhau 120km trong một thời gian qui định. Sau khi đi được thêm 1 giờ thì ôt tô bị chặn bởi xe cứu hỏa 10 phút. Do đó để đến B đúng thời gian xe phải tăng vận tốc thêm 6km/h. Tính vận tốc lúc đầu của ô tô.

12) Bác Hai và cô Bảy đi xe đạp từ huyện lên tỉnh trên quãng đường dài 30km, khỏi hành cùng một lúc. Vận tốc xe của bác Hai lớn hơn vận tốc xe của cô Bảy là 3km/h nên bác Hai đến trước cô Bảy nữa giờ. Tính vận tốc của mỗi người?

Dạng 2: Các bài toán về năng suất lao động

Phương pháp:

Dựa vào quan hệ của ba đại lượng: N: năng suất lao động( khối lượng công việc hoàn thành trong một đơn vị thời gian), t: thời gian để hoàn thành một công việc, s: lượng công việc đã làm, công thức biểu diễn mối quan hệ là: $ N=\frac{S}{t}$

Bài tập:

1) Hai máy ủi cùng làm việc trong vòng 12 giờ thì san lấp được 1/10 khu đất. Nếu máy ủi thứ nhất làm một mình trong 42 giờ rồi nghỉ và sau đó máy ủi thứ hai làm việc một mình trong 22 giờ thì cả hai máy ủi san lắp được 25% khu đất đó. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi máy ủi san lấp xong khu đất đã cho trong bao lâu?

2) Một đội thợ mỏ theo kế hoạch phải khai thác một lượng than. Họ dự định mỗi ngày khai thác 50 tấn. Nhưng trên thực tế đội đã tăng năng suất nên mỗi ngày khai thác được 57 tấn. Do đó không những họ đã hoàn thành trước thời gian dự định 1 ngày mà còn vượt chỉ tiêu 13 tấn. Tính số than mà đội phải thác theo kế hoạch?

3) Một tổ công nhân theo kế hoạch phải làm 120 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Nhưng khi thực hiện năng suất của tổ đã vượt năng suất dự định là 10 sản phẩm. Do đó tổ đã hoàn thành công việc sớm hơn dự kiến 1 ngày. Tính xem thực tế mỗi ngày tổ đã làm được bao nhiêu sản phẩm?

4) Một công nhân phải làm việc 420 dụng cụ. Do mỗi ngày người đó tăng năng suất 5 dụng cụ nên đã hoàn thành công việc sớm 7 ngày. Tính số ngày người đó đã làm?

5) Một tổ công nhân phải làm 144 dụng cụ. Do công nhân chuyển đi làm việc khác nên mỗi người còn lại phải làm thêm 4 dụng cụ.Tính số công nhân lúc đầu của mỗi tổ nếu năng suất của mỗi người đều như nhau.

Dạng 3: Các bài toán về làm chung- làm riêng, vòi nước chảy chung – chảy riêng

Phương pháp giải:

Nếu x giờ( hoặc ngày) làm xong một công việc thì mỗi giờ( hoặc ngày) làm được 1/x công việc đó.

Nếu trong 1 giờ: đối tượng A làm được 1/x công việc; đối tượng B làm được 1/y công việc thì lượng công việc mà cả hai làm được trong 1 giờ là $ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ công việc.

Nếu mỗi giờ làm được 1/x công việc thì a giờ làm được a/x công việc.

Bài tập:

1) Hai vòi nước cùng chảy vào bể thì đầy sau 16 giờ. Nếu vòi I chảy trong 3 giờ và vòi II chảy trong 6 giờ thì được thể tích nước bằng 25% bể. Tính thời gian cần thiết để riêng mỗi vòi chảy đầy bể.

2) Hai người thợ cùng làm một công việc thì sau 16 giờ làm xong việc ấy. Nếu người thứ nhất làm trong 3 giờ, người thứ hai làm được trong 6 giờ thì được 25% công việc ấy. Hỏi nếu làm riêng một người thì mất bao lâu mới hoàn thành công việc này?

3) Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn thì sau 18 giờ bể đầy. Nếu chảy riêng thì voi thứ nhất sẽ chảy đầy bể chậm hơn vòi thứ hai 27 giờ. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi phải mất bao nhiêu lâu mới chảy đầy bể?

4) Hai tổ sản xuất cùng may một loại áo. Nếu tổ thứ nhất may trong 3 ngày, tổ thứ hai may trong 5 ngày thì cả hai tổ may được 1310 chiếc áo. Biết rằng trong một ngày tổ thứ nhất may được nhiều hơn tổ thứ hai là 10 chiếc áo. Hỏi mỗi tổ trong một ngày may được bao nhiêu chiếc áo?

5) Hai máy cày cùng làm việc chung thì cày xong cánh đồng trong 6 giờ. Nếu làm việc riêng thì máy cày thứ nhất xong sớm hơn máy cày thứ hai 5 giờ. Hỏi nếu làm việc riêng thì máy cày thứ nhất cày xong cánh đồng trong mấy giờ?

6) Hai vòi nước cùng chảy vào bể nước cạn thì sau 1 giờ 20 phút đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất chảy 10 phút vòi thứ hai chảy trong 12 phút thì đầy 2/15 bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì bao lâu đầy bể?

Dạng 4: Các bài toán sắp xếp, chia đều sản phẩm( hàng hóa…)

Phương pháp giải:

N: số lượng hàng hóa phân phối cho mỗi xe;

t: số xe chở hàng;

s: tổng số lượng hàng hóa trong kho

$ N=\frac{S}{t}$

Bài tập:

1) Một đội xe dự định chở một số lượng hàng, với dự tính mỗi xe chở 5 tấn. Nhưng đến khi thực hiện đội được tăng cường thêm 2 xe, vì vậy lúc này mỗi xe chỉ phải chở 4 tấn và tổng hàng chở được nhiều hơn kế hoạch ban đầu là 1 tấn. Tính số xe tham gia chở hàng.

2) Một hội trường có 300 ghế ngồi, chúng được sắp xếp thành từng dãy đều nhau. Nếu mỗi dãy thêm 2 ghế và bớt 3 dãy thì hội trường sẽ giảm 11 ghế. Tính số dãy ghế trong hội trường lúc đầu.

3) Nhà Lan có mảnh vườn trông cây cải bắp. Vườn được đánh thành nhiều luống, mỗi luống trồng cùng một số cây cải bắp. Lan tính rằng: nếu tăng thêm 8 luống rau, nhưng mỗi luống trồng ít đi 3 cây thì toàn vườn sẽ giảm đi 54 cây. Nếu giảm đi 4 luống nhưng trồng thêm mỗi luống 2 cây thì toàn vườn tăng thêm 32 cây. Hỏi vườn nhà Lan có bao nhiều cây cải bắp?

4) Một hội đồng thi dự định có 552 thí sinh nhưng thực tế dự thi chỉ có 525 thí sinh nên mỗi phòng thi xếp thêm một thí sinh thì số phòng giảm đi 2 phòng. Hỏi lúc đầu dự định có bao nhiêu phòng thi?

5) Một phòng họp chứa được 300 chỗ ngồi.Nếu thêm 2 chỗ ngồi vào mỗi dãy ghế và bớt đi 3 dãy ghế thì sẽ bớt đi 11 chỗ ngồi. Hỏi phòng họp có bao nhiêu dãy ghế?

Dạng 5: Các bài toán có liên quan đến cấu tạo thập phân của số

Phương pháp giải:

Dựa vào mối liên hệ giữa các hàng trong một số.

Chú ý: $ \overline{ab}=10a+b;\overline{abc}=100a+10b+c$

Bài tập:

1) Tìm các số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng: số đó là chẵn, chia hết cho 11 và tổng các chữ số của số đó cũng chia hết cho 11.

2) Tìm một số có hai chữ số, biết tổng hai chữ số là 10. Số đó lớn hơn tích hai chữ số

của nó là 12.

3) Tìm số $ \overline{abc}$ thỏa mãn: $ \overline{abc}$ = (a + b)² 4c

4) Cho một số có hai chữ số. Biết rằng số đó gấp 7 lần chữ số hàng đơn vị của nó và nếu chia số đó cho chữ số hàng chục của nó thì được thương là 11, dư là 2. Tìm số đã cho.

5) Chữ số hàng chục của 1 số có 2 chữ số hơn chữ số hàng đơn vị là 5. Nếu đổi chỗ 2 chữ số ấy cho nhau sẽ được 1 số bằng  số ban đầu.Tìm số ban đầu.

6) Tìm 2 số biết tổng của chúng là 156. Lấy số lớn chia cho số nhỏ thì được thương là 6, dư 9.

7) Hai số hơn kém nhau 12 đơn vị. Nếu chia số nhỏ cho 7, số lớn cho 5 thì thương thứ nhất kém hơn thương thứ hai là 4 đơn vị. Tìm 2 số đó.

8) Tìm số tự nhiên , biết tích của nó với 1 số lớn hơn nó 2 đơn vị là 168.

Dạng 6: Các bài toán có nội dung hình học

(chú ý đến hệ thức lượng trong tam giác, công thức tính chu vi, diện tích …. của các hình)

1) Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích bằng 675m² và chu vi bằng 120m. Tìm chiều dài và chiều rộng của khu vườn.

2) Tính độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông, biết rằng nếu tăng mỗi cạnh lên 3cm thì diện tích sẽ tăng thêm 36cm² còn nếu giảm một cạnh 2cm và cạnh kia giảm 4cm thì diện tích giảm đi 26cm².

3) Một hình chữ nhật có chu vi là 160cm và có diện tích 1500m². Tính kích thước các cạnh của nó.

4) Một tấm tôn hình chữ nhật có chu vi bằng 114cm. Người ta cắt bỏ bốn tấm hình vuông có cạnh là 5cm ở bốn góc rồi gấp lên thành một hình hộp chữ nhật( không nắp). Tính kích thước của tấm tôn đã cho. Biết rằng thể tích hình hộp bằng 150cm³.

5) Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 360m². Nếu tăng chiều rộng 3m và giảm chiều dài 4m thì diện tích mảnh đất không đổi. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất.

6) Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích 900m² và chu vi 122m. Tìm chiều dài và chiều rộng của khu vườn.

7) Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích bằng 675m² và chu vi bằng 120m. Tìm chiều dài và chiều rộng của khu vườn.

8) Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều rộng ngắn hơn chiều dài 45m. Tính diện tích thửa ruộng, biết rằng nếu chiều dài giảm 2 lần và chiều rộng tăng 3 lần thì chu vi thửa ruộng không thay đổi.

9) Cạnh huyên của một tam giác vuông bắng 10 cm. Hai cạnh góc vuông có độ dài hơn kém nhau 2cm. Tính độ dài các cạnh góc vuông của tam giác vuông đó.

10) Cho tam giác vuông.Nếu tăng các cạnh góc vuông 2cm, 3 cm thì diện tích tăng 50cm². Nếu giảm 2 cạnh đi 2cm thì diện tích giảm 32cm².Tính độ dài 2 cạnh góc vuông.