Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp phản chứng

Đây là bài thứ 5 of 15 trong series Chuyên đề: Bất đẳng thức THCS

Phương pháp phản chứng ít khi được sử dụng trong chứng minh bất đẳng thức cấp 2 tuy nhiên phương pháp này khá hữu dụng trong một số bài toán.

* Cấu trúc của phương pháp.

– Giả sử xảy ra mệnh đề trái với yêu cầu cần chứng minh

– Chứng tỏ điều giả sử đó là sai (tức là mâu thuẫn với kiến thức nào đó đã biết)

– Kết luận yêu cầu cần chứng minh là đúng.

Ví dụ: Chứng minh rằng không có 3 số dương a, b, c nào thoả mãn cả 3 BĐT.

$ \displaystyle a+\frac{1}{b}<2$ ; $ \displaystyle b+\frac{1}{c}<2$  ; $ \displaystyle c+\frac{1}{a}<2$

Giải

Giả sử tồn tại ba số dương a, b, c thoả mãn cả ba BĐT:

$ \displaystyle a+\frac{1}{b}<2$ ; $ \displaystyle b+\frac{1}{c}<2$  ; $ \displaystyle c+\frac{1}{a}<2$

Suy ra : $ \displaystyle a+\frac{1}{b}+b+\frac{1}{c}+c+\frac{1}{a}<6$ ⇔ $ \displaystyle \left( a+\frac{1}{a} \right)+\left( b+\frac{1}{b} \right)+\left( c+\frac{1}{c} \right)<6$      (*)

Mà: $ \displaystyle a+\frac{1}{a}\ge 2$ (a > 0) ;  $ \displaystyle b+\frac{1}{b}\ge 2$ (b > 0)   ; $ \displaystyle c+\frac{1}{c}\ge 2$ (c > 0)

$ \displaystyle \Rightarrow \left( a+\frac{1}{a} \right)+\left( b+\frac{1}{b} \right)+\left( c+\frac{1}{c} \right)\ge 6$

Do đó (*) vô lý.

Vậy: Không có 3 số dương a, b, c nào thoả mãn cả 3 BĐT.

$ \displaystyle a+\frac{1}{b}<2$ ; $ \displaystyle b+\frac{1}{c}<2$  ; $ \displaystyle c+\frac{1}{a}<2$

Series Navigation

<< Áp dụng bất đẳng thức để chứng minh bất đẳng thứcChứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp làm trội, làm giảm >>