Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp phản chứng

Đây là bài thứ 5 of 15 trong series Chuyên đề: Bất đẳng thức THCS

Phương pháp phản chứng ít khi được sử dụng trong chứng minh bất đẳng thức cấp 2 tuy nhiên phương pháp này khá hữu dụng trong một số bài toán.

* Cấu trúc của phương pháp.

– Giả sử xảy ra mệnh đề trái với yêu cầu cần chứng minh

– Chứng tỏ điều giả sử đó là sai (tức là mâu thuẫn với kiến thức nào đó đã biết)

– Kết luận yêu cầu cần chứng minh là đúng.

Ví dụ: Chứng minh rằng không có 3 số dương a, b, c nào thoả mãn cả 3 BĐT.

${\displaystyle a+\frac{1}{b}<2}$ ; ${\displaystyle b+\frac{1}{c}<2}$  ; ${\displaystyle c+\frac{1}{a}<2}$

Giải

Giả sử tồn tại ba số dương a, b, c thoả mãn cả ba BĐT:

${\displaystyle a+\frac{1}{b}<2}$ ; ${\displaystyle b+\frac{1}{c}<2}$  ; ${\displaystyle c+\frac{1}{a}<2}$

Suy ra : ${\displaystyle a+\frac{1}{b}+b+\frac{1}{c}+c+\frac{1}{a}<6}$ ⇔ ${\displaystyle (a+\frac{1}{a})+(b+\frac{1}{b})+(c+\frac{1}{c})<6}$      (*)

Mà: ${\displaystyle a+\frac{1}{a}\ge 2}$ (a > 0) ;  ${\displaystyle b+\frac{1}{b}\ge 2}$ (b > 0)   ; ${\displaystyle c+\frac{1}{c}\ge 2}$ (c > 0)

${\displaystyle \Rightarrow (a+\frac{1}{a})+(b+\frac{1}{b})+(c+\frac{1}{c})\ge 6}$

Do đó (*) vô lý.

Vậy: Không có 3 số dương a, b, c nào thoả mãn cả 3 BĐT.

${\displaystyle a+\frac{1}{b}<2}$ ; ${\displaystyle b+\frac{1}{c}<2}$  ; ${\displaystyle c+\frac{1}{a}<2}$

Series Navigation

<< Áp dụng bất đẳng thức để chứng minh bất đẳng thứcChứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp làm trội, làm giảm >>