Chuyên đề căn bậc hai ôn thi vào lớp 10

Tóm tắt Lý thuyết Căn bậc hai

Định nghĩa:
Căn bậc hai số học của a là số dương x sao cho x² = a. Ta viết:

${\displaystyle x=\sqrt{a}\iff \{\begin{array}{l}x\ge 0\\ x_{}^2=a\end{array}}$

Hằng đẳng thức: ${\displaystyle \sqrt{A_{}^2}=\left|A\right|}$

Phép toán: A ≥ 0; B ≥ 0

${\displaystyle \sqrt{A.B}=\sqrt{A}.\sqrt{B}}$ (A ≥ 0; B ≥ 0)

${\displaystyle \sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}}$ (A ≥ 0; B > 0)

Phép biến đổi: ${\displaystyle \sqrt{A_{}^2.B}=\left|A\right|\sqrt{B}}$

Phép trục căn ở mẫu: (A ≥ 0; B > 0)

${\displaystyle \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}=\frac{\sqrt{A.B}}{\left|B\right|}}$  ;

${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{B}\pm C}=\frac{\sqrt{B}\pm C}{\left|B\right|-C_{}^2}}$   ;

${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{B}\pm \sqrt{C}}=\frac{\sqrt{B}\pm \sqrt{C}}{\left|B\right|-\left|C\right|}}$

Căn bậc ba:

1. Khái niệm căn bậc ba:

• Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x³ = a
• Với mọi a thì ${(\sqrt[3]{a})}^3=\sqrt[3]{a^3}=a$

2. Tính chất

• Với a < b thì $\sqrt[3]{a}<\sqrt[3]{b}$
• Với mọi a, b thì $\sqrt[3]{ab}=\sqrt[3]{a}.\sqrt[3]{b}$
• Với mọi a và b ≠ 0 thì $\sqrt[3]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}$

Căn bậc n: (Kiến thức dành cho học sinh khá giỏi, thi vào lớp chuyên Toán)

1. Căn bậc n (2 ≤ n ∈ N) của số a là một số mà lũy thừa n bằng a

2. Căn bậc lẻ (n = 2k + 1)

• Mọi số đều có một và chỉ một căn bậc lẻ
• Căn bậc lẻ của số dương là số dương
• Căn bậc lẻ của số âm là số âm
• Căn bậc lẻ của số 0 là số 0

3. Căn bậc chẵn (n = 2k )

• Số âm không có căn bậc chẵn
• Căn bậc chẵn của số 0 là số 0
• Số dương có hai căn bậc chẵn là hai số đối nhau kí hiệu là $\sqrt[2k]{a}$ và $-\sqrt[2k]{a}$

4. Các phép biến đổi căn thức:

• ${\displaystyle \sqrt[2k+1]{A}}$ xác định với ∀ A
  $\sqrt[2k]{A}$ xác định với ∀ A ≥ 0
• $\sqrt[2k+1]{A^{2k+1}}=A$ với ∀ A
  $\sqrt[2k]{A^{2k}}=\left|A\right|$ với ∀ A
• $\sqrt[2k+1]{A.B}=\sqrt[2k+1]{A}.\sqrt[2k+1]{B}$ với ∀ A, B
  $\sqrt[2k]{A.B}=\sqrt[2k]{\left|A\right|}.\sqrt[2k]{\left|B\right|}$ với ∀ A, B mà A.B ≥ 0
• $\sqrt[2k+1]{A^{2k+1}.B}=A.\sqrt[2k+1]{B}$ với ∀ A, B
  $\sqrt[2k]{A^{2k}.B}=\left|A\right|.\sqrt[2k]{B}$ với ∀ A, B mà B ≥ 0
• $\sqrt[2k+1]{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt[2k+1]{A}}{\sqrt[2k+1]{B}}$ với ∀ A, B mà B ≠ 0
  $\sqrt[2k]{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt[2k]{\left|A\right|}}{\sqrt[2k]{\left|B\right|}}$ với ∀ A, B mà B ≠ 0, A.B ≥ 0
• $\sqrt[m]{\sqrt[n]{A}}=\sqrt[mn]{A}$ với ∀ A, mà A ≥ 0
• $\sqrt[m]{A^n}=A^{\frac{m}{n}}$ với ∀ A, mà A ≥ 0

Giải bài tập mẫu căn bậc hai

1. Dạng tính căn bậc hai số học

Bài: Tính

${\displaystyle A=3\sqrt{75}+\sqrt{192}-5\sqrt{108}-\frac{2}{3}\sqrt{243}}$

= ${\displaystyle 3\sqrt{25.3}+\sqrt{64.3}-5\sqrt{36.3}-\frac{2}{3}\sqrt{81.3}}$

= ${\displaystyle 3\sqrt{5_{}^2.3}+\sqrt{8_{}^2.3}-5\sqrt{6_{}^2.3}-\frac{2}{3}\sqrt{9_{}^2.3}}$

= ${\displaystyle 15\sqrt{3}+8\sqrt{3}-5.6\sqrt{3}-\frac{2}{3}.9\sqrt{3}}$

= ${\displaystyle -13\sqrt{3}}$

Nhận xét:  Phân tích và áp dụng Phép biến đổi ${\displaystyle \sqrt{A_{}^2.B}=\left|A\right|\sqrt{B}}$

Bài tập rèn luyện

${\displaystyle B=6\sqrt{80}+5\sqrt{45}+4\sqrt{1.25}-5\sqrt{\frac{1}{5}}}$  ;

${\displaystyle C=\sqrt{7}-\frac{1}{2}\sqrt{28}-20\sqrt{0.07}+\frac{1}{5}\sqrt{175}}$

2. Dạng trục căn ở mẫu

Nhận xét:

– Ta trục căn từng phân thức sau đó ghép lại.
– Trước khi trục căn ở mẫu, ta rút gọn phân thức.

Bài tập rèn luyện

3. Dạng căn kép (căn chứa căn)

Phương pháp giải:

– Áp dụng công thức:  (A ± B)² = A² ± 2AB + B²

3. Dạng rút gọn căn thức

Bài tập rèn luyện

${\displaystyle A=(\frac{1}{a-\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{a}}{a-1}):\frac{a\sqrt{a}-1}{a\sqrt{a}-2a+\sqrt{a}}}$ (a > 0 và a ≠ 1)

4. Dạng phương trình căn

Phương pháp giải:

Định nghĩa:

${\displaystyle x=\sqrt{a}\iff \{\begin{array}{l}x\ge 0\\ x_{}^2=a\end{array}}$ ;

Công thức:

${\displaystyle \sqrt{A}=B\iff \{\begin{array}{l}B\ge 0\\ A=B_{}^2\end{array}}$  ;

${\displaystyle \sqrt{A}=\sqrt{B}\iff \{\begin{array}{l}A\ge 0;B\ge 0\\ A=B\end{array}}$

Giải bài tập mẫu:

Bài:  Tìm x. biết:
Ta có : 5 ≥ 0, nên : x – 3 = 5² = 25
<=> x = 25 + 3
<=> x = 28
Vậy : x = 28

Bài tập rèn luyện

a) ${\displaystyle \sqrt{36x}-\sqrt{25x}=2}$

b) ${\displaystyle \sqrt{x_{}^2+6x+9}+1-2x=0}$

c) ${\displaystyle \sqrt{x-1+2\sqrt{x-2}}+\sqrt{x+7+6\sqrt{x-2}}=8}$