Giải phương trình nghiệm nguyên bằng nguyên lý kẹp – Ôn thi vào 10

Phương trình nghiệm nguyên thường là câu khó trong các đề thi tuyển sinh vào 10 môn Toán. Để làm được dạng bài tập này các em cần luyện giải, nắm được các dạng.

Có những bài toán giải phương trình nghiệm nguyên khó nếu biết cách áp dụng nguyên lý kẹp vào giải thì mới giải quyết được.

Trước tiên các em cần nắm rõ cơ sở lý thuyết áp dụng trước khi ứng dụng vào giải.

Cơ sở lý thuyết nguyên lý kẹp

Cho \displaystyle x,y,n\in N, khi đó ta có:

a) \displaystyle {x<y<x+2\Rightarrow y=x+1}

b) \displaystyle {{{x}^{n}}<{{y}^{n}}<{{{(x+2)}}^{n}}\Rightarrow {{y}^{n}}={{{(x+1)}}^{n}}}

c) \displaystyle {x(x+1)<y(y+1)<(x+2)(x+3)\Rightarrow y=x+1}

Điều kiện để áp dụng nguyên lý kẹp vào giải phương trình nghiệm nguyên là những phương trình nghiệm nguyên phải là đa biến và đồng bậc hoặc có thể đưa về đồng bậc.

Ví dụ áp dụng nguyên lý kẹp giải phương trình nghiệm nguyên:

Bài 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: \displaystyle {{x}^{4}}-{{y}^{4}}=3{{y}^{2}}+1 (1)

Giải:

PT (1) ⇔ \displaystyle {{x}^{4}}={{y}^{4}}+3{{y}^{2}}+1\Leftrightarrow {{\left( {{{x}^{2}}} \right)}^{2}}={{\left( {{{y}^{2}}} \right)}^{2}}+3{{y}^{2}}+1

– Xét hiệu: \displaystyle {{x}^{4}}-{{\left( {{{y}^{2}}+1} \right)}^{2}}={{y}^{4}}+3{{y}^{2}}+1-{{y}^{4}}-2{{y}^{2}}-1={{y}^{2}}\ge 0 (2)

– Xét hiệu: \displaystyle {{\left( {{{y}^{2}}+2} \right)}^{2}}-{{x}^{4}}={{y}^{4}}+4{{y}^{2}}+4-{{y}^{4}}-3{{y}^{2}}-1={{y}^{2}}+3>0 (3)

Từ (2) và (3) suy ra: \displaystyle {{\left( {{{y}^{2}}+1} \right)}^{2}}<{{x}^{4}}<{{(y+2)}^{2}} cộng với \displaystyle x,y\in Z ta được \displaystyle {{x}^{4}}={{\left( {{{y}^{2}}+1} \right)}^{2}}

Khi đó ta có phương trình: \displaystyle {{\left( {{{y}^{2}}+1} \right)}^{2}}={{y}^{4}}+3{{y}^{2}}+1\Leftrightarrow {{y}^{4}}+2{{y}^{2}}+1={{y}^{4}}+3{{y}^{2}}+1\Leftrightarrow y=0\Rightarrow x=0

Vậy nghiệm \displaystyle (x;y) của phương trình là: \displaystyle (1;0)\displaystyle (-1;0)

Bài 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: \displaystyle {{x}^{4}}+{{x}^{2}}-{{y}^{2}}+y+10=0 (1)

Giải:

Phương trình (1)

\displaystyle {{x}^{4}}+{{x}^{2}}+10={{y}^{2}}-y=y(y-1)>{{x}^{2}}\left( {{{x}^{2}}+1} \right) (1)

– Xét hiệu: \displaystyle \left( {{{x}^{2}}+3} \right)\left( {{{x}^{2}}+4} \right)-y(y-1)=6{{x}^{2}}+2>0,\forall x\in Z

\displaystyle {y(y-1)<\left( {{{x}^{2}}+3} \right)\left( {{{x}^{{+4}}}} \right)} (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \displaystyle x\left( {{{x}^{2}}+1} \right)<y(y-1)<\left( {{{x}^{2}}+3} \right)\left( {{{x}^{2}}+4} \right) kết hợp với \displaystyle x,y\in Z ta được:

\displaystyle \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {(y-1)y=\left( {{{x}^{2}}+2} \right)\left( {{{x}^{2}}+1} \right)} \\ {(y-1)y=\left( {{{x}^{2}}+2} \right)\left( {{{x}^{2}}+3} \right)} \end{array}} \right.

\displaystyle \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+10={{x}^{4}}+3{{x}^{2}}+2} \\ {{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+10={{x}^{4}}+5{{x}^{2}}+6} \end{array}} \right.

\displaystyle \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {2{{x}^{2}}=8} \\ {4{{x}^{2}}=4} \end{array}} \right.

\displaystyle \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x=\pm 2} \\ {x=\pm 1} \end{array}} \right.

– Với \displaystyle x=\pm 2 thì \displaystyle y=6 hoặc \displaystyle y=-5

– Với \displaystyle x=\pm 1 thì \displaystyle y=4 hoặc \displaystyle y=-3

Vậy nghiệm \displaystyle (x;y)  của phương trình (1) là: \displaystyle (\pm 2,6);(\pm 2,-5);(\pm 1,4);(\pm 1,-3)

Fanpage Toán cấp 2:

Nhóm Giải toán cấp 2

 

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Toán cấp 2 © 2012 Toán cấp 2