CHUYÊN ĐỀ 3: LUỸ THỪA BẬC N CỦA MỘT NHỊ THỨC
A. MỤC TIÊU:
HS nắm được công thức khai triển luỹ thừa bậc n của một nhị thức: (a + b)n
Vận dụng kiến thức vào các bài tập về xác định hệ số của luỹ thừa bậc n của một nhị thức, vận dụng vào các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử
B. KIẾN THỨC VÀ BÀI TẬP VẬN DỤNG:
I. Nhị thức Niutơn:Trong đó: $ \text{C}_{\text{ n}}^{\text{ k}}=\frac{\text{n(n – 1)(n – 2)}…\text{ }\!\![\!\!\text{ n – (k – 1) }\!\!]\!\!\text{ }}{\text{1}\text{.2}\text{.3}…\text{k}}$
II. Cách xác định hệ số của khai triển Niutơn:
Cách 1: Dùng công thức $ \text{C}_{\text{ n}}^{\text{ k}}=\frac{\text{n(n – 1)(n – 2)}…\text{ }\!\![\!\!\text{ n – (k – 1) }\!\!]\!\!\text{ }}{\text{k !}}$
Chẳng hạn hệ số của hạng tử a4b3 trong khai triển của (a + b)7 là
$ \text{C }_{\text{7}}^{4}=\frac{7.6.5.4}{4!}=\frac{7.6.5.4}{4.3.2.1}=35$
Chú ý: a) $ \text{C }_{\text{n}}^{\text{k }}=\frac{\text{n !}}{\text{n}!(\text{n – k) !}}$ với quy ước 0! = 1
⇒ $ \text{C }_{\text{7}}^{4}=\frac{7!}{4!.3!}=\frac{7.6.5.4.3.2.1}{4.3.2.1.3.2.1}=35$
b) Ta có: $ \text{C }_{\text{n}}^{\text{k }}=\text{C }_{\text{n}}^{\text{k – 1 }}$ nên $ \text{C }_{\text{7}}^{4}=\text{C }_{\text{7}}^{3}=\frac{7.6.5.}{3!}=35$
Cách 2: Dùng tam giác Pascal
| Đỉnh | 1 | ||||||||||||
| Dòng 1(n = 1) | 1 | 1 | |||||||||||
| Dòng 2(n = 1) | 1 | 2 | 1 | ||||||||||
| Dòng 3(n = 3) | 1 | 3 | 3 | 1 | |||||||||
| Dòng 4(n = 4) | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | ||||||||
| Dòng 5(n = 5) | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | |||||||
| Dòng 6(n = 6) | 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 |
Trong tam giác này, hai cạnh bên gồm các số 1; dòng k + 1 được thành lập từ dòng k
(k 1), chẳng hạn ở dòng 2 (n = 2) ta có 2 = 1 + 1, dòng 3 (n = 3): 3 = 2 + 1, 3 = 1 + 2
dòng 4 (n = 4): 4 = 1 + 3, 6 = 3 + 3, 4 = 3 + 1, …
Với n = 4 thì: (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
Với n = 5 thì: (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5
Với n = 6 thì: (a + b)6 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2 b4 + 6ab5 + b6
Cách 3:
Tìm hệ số của hạng tử đứng sau theo các hệ số của hạng tử đứng trước:
a) Hệ số của hạng tử thứ nhất bằng 1
b) Muốn có hệ số của của hạng tử thứ k + 1, ta lấy hệ số của hạng tử thứ k nhân với số mũ của biến trong hạng tử thứ k rồi chia cho k
Chẳng hạn: (a + b)4 = a4 + $ \frac{1.4}{1}$a3b + $ \frac{4.3}{2}$a2b2 + $ \frac{4.3.2}{2.3}$ab3 + $ \frac{4.3.2.}{2.3.4}$b5
Chú ý rằng: các hệ số của khai triển Niutơn có tính đối xứng qua hạng tử đứng giữa, nghĩa
là các hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối có hệ số bằng nhau
(a + b)n = an + nan -1b + $ \frac{\text{n(n – 1)}}{\text{1}\text{.2}}$an – 2b2 + …+ $ \frac{\text{n(n – 1)}}{\text{1}\text{.2}}$a2bn – 2 + nan – 1bn – 1 + bn
III. Ví dụ:
Ví dụ 1: phân tích đa thức sau thành nhân tử
a) A = (x + y)5 – x5 – y5
Cách 1: khai triển (x + y)5 rồi rút gọn A
A = (x + y)5 – x5 – y5 = ( x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5) – x5 – y5
= 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 = 5xy(x3 + 2x2y + 2xy2 + y3)
= 5xy [(x + y)(x2 – xy + y2) + 2xy(x + y)] = 5xy(x + y)(x2 + xy + y2)
Cách 2: A = (x + y)5 – (x5 + y5)
x5 + y5 chia hết cho x + y nên chia x5 + y5 cho x + y ta có:
x5 + y5 = (x + y)(x4 – x3y + x2y2 – xy3 + y4) nên A có nhân tử chung là (x + y), đặt (x + y) làm nhân tử chung, ta tìm được nhân tử còn lại
b) B = (x + y)7 – x7 – y7 = (x7+7x6y +21x5y2 + 35x4y3 +35x3y4 +21x2y5 7xy6 + y7) – x7 – y7
= 7x6y + 21x5y2 + 35x4y3 + 35x3y4 + 21x2y5 + 7xy6
= 7xy[(x5 + y5 ) + 3(x4y + xy4) + 5(x3y2 + x2y3 )]
= 7xy {[(x + y)(x4 – x3y + x2y2 – xy3 + y4) ] + 3xy(x + y)(x2 – xy + y2) + 5x2y2(x + y)}
= 7xy(x + y)[x4 – x3y + x2y2 – xy3 + y4 + 3xy(x2 + xy + y2) + 5x2y2 ]
= 7xy(x + y)[x4 – x3y + x2y2 – xy3 + y4 + 3x3y – 3x2y2 + 3xy3 + 5x2y2 ]
= 7xy(x + y)[(x4 + 2x2y2 + y4) + 2xy (x2 + y2) + x2y2 ] = 7xy(x + y)(x2 + xy + y2 )2
Ví dụ 2:Tìm tổng hệ số các đa thức có được sau khi khai triển
(4x – 3)4
Cách 1: Theo cônh thức Niu tơn ta có:
(4x – 3)4 = 4.(4x)3.3 + 6.(4x)2.32 – 4. 4x. 33 + 34 = 256x4 – 768x3 + 864x2 – 432x + 81
Tổng các hệ số: 256 – 768 + 864 – 432 + 81 = 1
Cách 2: Xét đẳng thức (4x – 3)4 = c0x4 + c1x3 + c2x2 + c3x + c4
Tổng các hệ số: c0 + c1 + c2 + c3 + c4
Thay x = 1 vào đẳng thức trên ta có: (4.1 – 3)4 = c0 + c1 + c2 + c3 + c4
Vậy: c0 + c1 + c2 + c3 + c4 = 1
* Ghi chú: Tổng các hệ số khai triển của một nhị thức, một đa thức bằng giá trị của đa thức đó tại x = 1
C. BÀI TẬP:
Bài 1: Phân tích thành nhân tử
a) (a + b)3 – a3 – b3
b) (x + y)4 + x4 + y4
Bài 2: Tìm tổng các hệ số có được sau khi khai triển đa thức
a) (5x – 2)5
b) (x2 + x – 2)2010 + (x2 – x + 1)2011