6 phương pháp giải phương trình vô tỷ

Để giải một phương trình vô tỷ thì có nhiều cách giải, tuy nhiên các em cần chọn phương pháp giải phù hợp để giải nhanh và chính xác.

Và dưới đây là 6 phương pháp giải phương trình vô tỷ mà Toancap2.net muốn giới thiệu với các em. Tất nhiên là dưới dạng các ví dụ minh họa có lời giải.

1. Phương pháp 1: Biến đổi tương đương

Bài toán: Giải phương trình sau

$ \displaystyle \sqrt{{{x}^{2}}+5x+\sqrt{{{x}^{3}}+2x+1}}=x+1$

Đk: $ \displaystyle {{x}^{3}}+2x+1\ge 0;\,\,\,{{x}^{2}}+5x+\sqrt{{{x}^{3}}+2x+1}\ge 0;$

$ \sqrt{{{x}^{2}}+5x+\sqrt{{{x}^{3}}+2x+1}}=x+1$

⇔ $ \left\{ \begin{array}{l}x+1\ge 0\\{{x}^{2}}+5x+\sqrt{{{x}^{3}}+2x+1}={{\left( x+1 \right)}^{2}}\end{array} \right.$

⇔ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\ge -1\\\sqrt{{{x}^{3}}+2x+1}=1-3x\end{array} \right.$

⇔ $ \left\{ \begin{array}{l}x\ge -1\\\frac{1}{3}\ge x\\{{x}^{3}}+2x+1={{\left( 1-3x \right)}^{2}}\end{array} \right.$

⇔ $ \left\{ \begin{array}{l}-1\le x\le \frac{1}{3}\\x=0;x=1;x=8\end{array} \right.$

⇔ x = 0 (thỏa mãn điều kiện).

2. Phương pháp 2: Đặt ẩn số phụ

Bài toán: Giải phương trình: $ x\sqrt[3]{35-{{x}^{3}}}\left( x+\sqrt[3]{35-{{x}^{3}}} \right)=30$

Đặt $ t=x+\sqrt[3]{35-{{x}^{3}}}\Rightarrow x\sqrt[3]{35-{{x}^{3}}}=\frac{{{t}^{3}}-35}{3t}$

Phương trình đã cho trở thành:

$ \frac{{{t}^{3}}-35}{3t}.t=30\Leftrightarrow {{t}^{3}}=125\Leftrightarrow t=5\Leftrightarrow x\sqrt[3]{35-{{x}^{3}}}=6\Leftrightarrow {{x}^{3}}\left( 35-{{x}^{3}} \right)=216\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{{x}^{3}}=8\\{{x}^{3}}=27\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=2\\x=3\end{array} \right.$

3. Phương pháp 3: Phương pháp làm xuất hiện biểu thức liên hợp

Bài toán: Giải phương trình: $ \left( \sqrt{x-1}+\sqrt{x+2} \right)\left( \sqrt{{{x}^{2}}+x-2}-1 \right)=3$

Đk: x ≥ 1

$ \left( \sqrt{x-1}+\sqrt{x+2} \right)\left( \sqrt{{{x}^{2}}+x-2}-1 \right)=3$

⇔ $ \left[ \left( x+2 \right)-\left( x-1 \right) \right]\left( \sqrt{{{x}^{2}}+x-2}-1 \right)=3\left( -\sqrt{x-1}+\sqrt{x+2} \right)$

⇔ $ \sqrt{{{x}^{2}}+x-2}-1=-\sqrt{x-1}+\sqrt{x+2}$

⇔ $ \left\{ \begin{array}{l}\sqrt{{{x}^{2}}+x-2}-1\ge 0\\{{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+x-2}-1 \right)}^{2}}={{\left( -\sqrt{x-1}+\sqrt{x+2} \right)}^{2}}\end{array} \right.$

⇔ $ \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}+x-2\ge 1\\{{x}^{2}}-x-2=0\end{array} \right.$

⇔ $ \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}+x-2\ge 1\\\left[ \begin{array}{l}x=2\\x=-1\end{array} \right.\end{array} \right.$

⇔ x = 2 (thỏa mãn đk)

4. Phương pháp 4: Đưa về phương trình tích

Bài toán: Giải phương trình: $ \sqrt{x+3}+2x\sqrt{x+1}=2x+\sqrt{{{x}^{2}}+4x+3}$

Đk: x ≥ -1

⇔ $ \sqrt{x+3}+2x\sqrt{x+1}=2x+\sqrt{{{x}^{2}}+4x+3}$

⇔ $ \sqrt{x+3}-\sqrt{\left( x+1 \right)\left( x+3 \right)}-\left( 2x-2x\sqrt{x+1} \right)=0$

⇔ $ \sqrt{x+3}\left( 1-\sqrt{x+1} \right)-2x\left( 1-\sqrt{x+1} \right)=0$

⇔ $ \left( 1-\sqrt{x+1} \right)\left( \sqrt{x+3}-2x \right)=0$

⇔ $ \left[ \begin{array}{l}1-\sqrt{x+1}=0\\\sqrt{x+3}-2x=0\end{array} \right.$

⇔$ \left[ \begin{array}{l}x=0\\x=1\end{array} \right.(\text{TM})$

5. Phương pháp 5: Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình

Bài toán: Giải phương trình: $ \sqrt{2x+8}-\sqrt[3]{2x-9}=5$

Đk: x ≥ -4

Đặt $ a=\sqrt{2x+8}\ge 0;b=\sqrt[3]{2x-9}\ge \sqrt[3]{-17}$

Ta có: $ \left\{ \begin{array}{l}a-b=5\\{{a}^{2}}-{{b}^{3}}=17\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a=b+5\\{{a}^{2}}-{{b}^{3}}=17\end{array} \right.$

⇒ $ {{\left( b+5 \right)}^{2}}-{{b}^{3}}=17\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}b=-1\\b=-2\\b=4\end{array} \right.$

Với:

$ b=-1\Rightarrow \sqrt[3]{2x-9}=-1\Leftrightarrow x=4$;

$ b=-2\Rightarrow \sqrt[3]{2x-9}=-2\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$;

$ b=4\Rightarrow \sqrt[3]{2x-9}=4\Leftrightarrow x=\frac{73}{2}$;

Vậy nghiệm của PT đã cho là: $ x=4,\,\,x=\frac{1}{2},\,\,x=\frac{73}{2}.$

6. Phương pháp 6: Phương pháp đánh giá

Bài toán: Giải phương trình: $ \sqrt{1-2012x}+\sqrt{1+2012x}=\sqrt{x+1}+\frac{1}{\sqrt{x+1}}$

Đk: $ -\frac{1}{2012}\le x\le \frac{1}{2012}$

Ta có: $ \sqrt{x+1}+\frac{1}{\sqrt{x+1}}\ge 2$ . Dấu = xảy ra khi x = 0.

Ta có:

$ {{\left( \sqrt{1-2012x}+\sqrt{1+2012x} \right)}^{2}}\le 2\left( 1-2012x+1+2012x \right)=4$

⇒ $ \sqrt{1-2012x}+\sqrt{1+2012x}\le 2$

Dấu = xảy ra khi x = 0. Vậy x = 0 là nghiệm của PT đã cho.