Đại số 9 – Chuyên đề 3 – Biến đổi & rút gọn căn thức bậc hai

A – LÝ THUYẾT

I . Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai:

·         Đưa thừa số ra ngoài dấu căn: \displaystyle \sqrt{{{{A}^{2}}B}}=\left| A \right|\sqrt{B} (B ≥ 0)
·         Đưa thừa số vào trong dấu căn: \displaystyle A\sqrt{B}=\sqrt{{{{A}^{2}}B}} (với A ≥ 0 và B ≥ 0)
  \displaystyle A\sqrt{B}=-\sqrt{{{{A}^{2}}B}} (với A < 0 và B ≥ 0)
·         Khử mẫu của biểu thức lấy căn: \displaystyle \sqrt{{\frac{{AB}}{{{{B}^{2}}}}}}=\frac{{\sqrt{{AB}}}}{{\left| B \right|}} (với AB ≥ 0, B ≠ 0)
·         Trục căn thức ở mẫu: \displaystyle \frac{M}{{\sqrt{A}}}=\frac{{M\sqrt{A}}}{A} (A > 0)
  \displaystyle \frac{M}{{\sqrt{A}\pm \sqrt{B}}}=\frac{{M\left( {\sqrt{A}\mp \sqrt{B}} \right)}}{{A-B}} (A ≥ 0, B ≥ 0, A ≠ B)

II . Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai:

  • Bước 1: Dùng các phép biến đổi đơn giản để đưa các căn thức bậc hai phức tạp thành căn thức bậc hai đơn giản.
  • Bước 2: Thực hiện phép tính theo thứ tự đã biết.

B – BÀI TẬP

DẠNG 1: Tính giá trị của biểu thức

Bài tập 1: Tính:

a)       \displaystyle \frac{3}{{\sqrt{5}+\sqrt{2}}}+\frac{1}{{\sqrt{2}-1}}-\frac{4}{{3-\sqrt{5}}}; b)       \displaystyle \frac{{\sqrt{5}-2}}{{5+2\sqrt{5}}}-\frac{1}{{2+\sqrt{5}}}+\frac{1}{{\sqrt{5}}};
c)       \displaystyle \frac{1}{{2+\sqrt{3}}}+\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{6}}}-\frac{2}{{3+\sqrt{3}}}; d)       \displaystyle \frac{{2\sqrt{3}-4}}{{\sqrt{3}-1}}+\frac{{2\sqrt{2}-1}}{{\sqrt{2}-1}}-\frac{{1+\sqrt{6}}}{{\sqrt{2}+3}}.

Bài tập 2: Tính:

a) A = \displaystyle \sqrt{{\sqrt{5}-\sqrt{{3-\sqrt{{29-6\sqrt{{20}}}}}}}};

b) B = \displaystyle \sqrt{{6+2\sqrt{{5-\sqrt{{13+\sqrt{{48}}}}}}}};

c) C = \displaystyle \sqrt{{4+\sqrt{{5\sqrt{3}+5\sqrt{{48-10\sqrt{{7+4\sqrt{3}}}}}}}}}.

Bài tập 3: Thực hiện phép tính: B = \displaystyle \frac{{\sqrt{{2+\sqrt{3}}}}}{2}:\left( {\frac{{\sqrt{{2+\sqrt{3}}}}}{2}-\frac{2}{{\sqrt{6}}}+\frac{{\sqrt{{2+\sqrt{3}}}}}{{2\sqrt{3}}}} \right).

Bài tập 4: Thực hiện phép tính: A = \displaystyle \left( {\sqrt{{\frac{{1+a}}{{1-a}}}}+\sqrt{{\frac{{1-a}}{{1+a}}}}} \right):\left( {\sqrt{{\frac{{1+a}}{{1-a}}}}-\sqrt{{\frac{{1-a}}{{1+a}}}}} \right).

Bài tập 5: Tính giá trị của biểu thức: M = \displaystyle \frac{{(x+1)\sqrt{3}}}{{\sqrt{{{{x}^{2}}-x+1}}}} với \displaystyle x=2+\sqrt{3}.

Bài tập 6: Cho \displaystyle a=\frac{{-1+\sqrt{2}}}{2}, \displaystyle b=\frac{{-1-\sqrt{2}}}{2}. Tính \displaystyle {{a}^{7}}+{{b}^{7}}.

Bài tập 7: Cho biết: \displaystyle \sqrt{{{{x}^{2}}-6x+13}}-\sqrt{{{{x}^{2}}-6x+10}}=1.

Tính:  \displaystyle \sqrt{{{{x}^{2}}-6x+13}}+\sqrt{{{{x}^{2}}-6x+10}}.

Bài tập 8: Cho biểu thức \displaystyle \sqrt{{{{x}^{2}}-6x+19}}-\sqrt{{{{x}^{2}}-6x+10}}=3.

Tính giá trị của biểu thức: M = \displaystyle \sqrt{{{{x}^{2}}-6x+19}}+\sqrt{{{{x}^{2}}-6x+10}}.

DẠNG 2: Rút gọn biểu thức.

Bài tập 9: Trục căn thức ở mẫu: \displaystyle \frac{{16-{{a}^{2}}}}{{2-\sqrt{a}}}

Bài tập 10: Rút gọn biểu thức: A = \displaystyle \sqrt{5}-\sqrt{{3-\sqrt{{29-12\sqrt{5}}}}}.

Bài tập 11: Rút gọn các biểu thức:

a)       \displaystyle \sqrt{{200}}-\sqrt{{32}}+\sqrt{{72}}; b)       \displaystyle \sqrt{{175}}-\sqrt{{112}}+\sqrt{{63}};
c)       \displaystyle 4\sqrt{{20}}-3\sqrt{{125}}+5\sqrt{{45}}-15\sqrt{{\frac{1}{5}}}; d)       \displaystyle \left( {2\sqrt{8}+3\sqrt{5}-7\sqrt{2}} \right)\left( {\sqrt{{72}}-5\sqrt{{20}}-2\sqrt{2}} \right).

Bài tập 12: Rút gọn các biểu thức:

a) \displaystyle 2\sqrt{{8\sqrt{3}}}-2\sqrt{{5\sqrt{3}}}-3\sqrt{{20\sqrt{3}}};

b) \displaystyle \sqrt{{343a}}+\sqrt{{63a}}-\sqrt{{28a}} với a ≥ 0;

c) \displaystyle -\sqrt{{36b}}-\frac{1}{3}\sqrt{{54b}}+\frac{1}{5}\sqrt{{150b}} với b ≥ 0.

Bài tập 13: Trục căn thức ở mẫu và rút gọn (nếu có thể):

a)       \displaystyle \frac{{\sqrt{6}+\sqrt{{14}}}}{{2\sqrt{3}-\sqrt{7}}}; b)       \displaystyle \frac{{3+4\sqrt{3}}}{{\sqrt{6}+\sqrt{2}-\sqrt{5}}};
c)       \displaystyle \frac{{5\sqrt{5}+3\sqrt{3}}}{{\sqrt{5}+\sqrt{3}}}; d)       \displaystyle \frac{1}{{2+\sqrt{5}+2\sqrt{2}+\sqrt{{10}}}}.

Bài tập 14: Rút gọn biểu thức: A = \displaystyle \frac{{2+\sqrt{3}}}{{\sqrt{2}+\sqrt{{2+\sqrt{3}}}}}+\frac{{2-\sqrt{3}}}{{\sqrt{2}-\sqrt{{2-\sqrt{3}}}}}.

Bài tập 15: Rút gọn các biểu thức:

a)       \displaystyle \frac{1}{{\sqrt{{7-\sqrt{{24}}}}+1}}-\frac{1}{{\sqrt{{7+\sqrt{{24}}}}-1}}; b)       \displaystyle \frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{{\sqrt{3}+1}}-1}}-\frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{{\sqrt{3}+1}}+1}};
c)       \displaystyle \frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{{\sqrt{3}+1}}-1}}-\frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{{\sqrt{3}+1}}+1}}; d)       \displaystyle \sqrt{{\frac{{3+\sqrt{5}}}{{3-\sqrt{5}}}}}+\sqrt{{\frac{{3-\sqrt{5}}}{{3+\sqrt{5}}}}}.

Bài tập 16: Rút gọn các biểu thức:

a)       A = \displaystyle \frac{{\sqrt{{\frac{5}{3}}}+\sqrt{{\frac{3}{5}}}-2}}{{\sqrt{{\frac{5}{3}}}-\sqrt{{\frac{3}{5}}}}};      c) C = \displaystyle \frac{{2{{{\left( {\frac{{\sqrt{2}+\sqrt{3}}}{{6\sqrt{2}}}} \right)}}^{{-1}}}+3{{{\left( {\frac{{\sqrt{2}+\sqrt{3}}}{{4\sqrt{3}}}} \right)}}^{{-1}}}}}{{{{{\left( {\frac{{2+\sqrt{6}}}{{12}}} \right)}}^{{-1}}}+{{{\left( {\frac{{3+\sqrt{6}}}{{12}}} \right)}}^{{-1}}}}}.
b)       B = \displaystyle \frac{{\left( {\sqrt{3}-\sqrt{2}} \right)\left( {\sqrt{3}+\sqrt{2}} \right)}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{3}+\sqrt{2}}}+\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{3}-\sqrt{2}}}}};

Bài tập 17: Rút gọn các biểu thức:

a) A = \displaystyle \frac{{1+\sqrt{5}}}{{\sqrt{2}+\sqrt{{3+\sqrt{5}}}}}+\frac{{1-\sqrt{5}}}{{\sqrt{2}-\sqrt{{3-\sqrt{5}}}}};

b) B = \displaystyle \left( {\frac{{1-a\sqrt{a}}}{{1-\sqrt{a}}}+\sqrt{a}} \right){{\left( {\frac{{1-\sqrt{a}}}{{1-a}}} \right)}^{2}};

c) C = \displaystyle \frac{{\sqrt{x}-\sqrt{y}}}{{xy\sqrt{{xy}}}}:\left[ {\left( {\frac{1}{x}+\frac{1}{y}} \right).\frac{1}{{x+y+2\sqrt{{xy}}}}+\frac{2}{{{{{\left( {\sqrt{x}+\sqrt{y}} \right)}}^{3}}}}.\left( {\frac{1}{{\sqrt{x}}}+\frac{1}{{\sqrt{y}}}} \right)} \right]

với \displaystyle x=2-\sqrt{3}\displaystyle y=2+\sqrt{3}.

Bài tập 18: Rút gọn biểu thức: P = \displaystyle \frac{{1-\sqrt{{x-1}}}}{{\sqrt{{x-2\sqrt{{x-1}}}}}}.

Bài tập 19: Rút gọn biểu thức: Q = \displaystyle \frac{{\sqrt{{x+\sqrt{{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}}}}-\sqrt{{x-\sqrt{{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}}}}}}{{\sqrt{{2(x-y)}}}} với x > y > 0.

Bài tập 20: Rút gọn biểu thức:

A = \displaystyle \left( {\frac{1}{{\sqrt{{x-1}}}}+\frac{1}{{\sqrt{{x+1}}}}} \right):\left( {\frac{1}{{\sqrt{{x-1}}}}-\frac{1}{{\sqrt{{x+1}}}}} \right) với \displaystyle x=\frac{{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}{{2ab}} và b > a > 0.

Bài tập 21: Rút gọn biểu thức: B = \displaystyle \frac{{2a\sqrt{{1+{{x}^{2}}}}}}{{\sqrt{{1+{{x}^{2}}}}-x}} với \displaystyle x=\frac{1}{2}\left( {\sqrt{{\frac{{1-a}}{a}}}-\sqrt{{\frac{a}{{1-a}}}}} \right) và 0 < a < 1.

Bài tập 22: Rút gọn biểu thức: M = \displaystyle (a+b)-\sqrt{{\frac{{({{a}^{2}}+1)({{b}^{2}}+1)}}{{{{c}^{2}}+1}}}}

với a, b, c > 0 và ab + bc + ca = 1.

Bài tập 23: Rút gọn biểu thức: A = \displaystyle \frac{{\sqrt{{x+2\sqrt{{x-1}}}}+\sqrt{{x-2\sqrt{{x-1}}}}}}{{\sqrt{{x+\sqrt{{2x-1}}}}+\sqrt{{x-\sqrt{{2x-1}}}}}}.\sqrt{{2x-1}}.

Bài tập 24: Rút gọn biểu thức: A = \displaystyle \sqrt{{1-a}}+\sqrt{{a(a-1)}}+a\sqrt{{\frac{{a-1}}{a}}}.

Bài tập 25: Rút gọn biểu thức: A = \displaystyle \frac{{x+3+2\sqrt{{{{x}^{2}}-9}}}}{{2x-6+\sqrt{{{{x}^{2}}-9}}}}.

Bài tập 26: Rút gọn biểu thức: B = \displaystyle \frac{{{{x}^{2}}+5x+6+x\sqrt{{9-{{x}^{2}}}}}}{{3x-{{x}^{2}}+(x+2)\sqrt{{9-{{x}^{2}}}}}}.

Bài tập 27: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức tại x = 3.

M = \displaystyle \frac{{\sqrt{{x-2\sqrt{2}}}}}{{\sqrt{{{{x}^{2}}-4x\sqrt{2}+8}}}}-\frac{{\sqrt{{x+2\sqrt{2}}}}}{{\sqrt{{{{x}^{2}}+4x\sqrt{2}+8}}}}.

Bài tập 28: Rút gọn các biểu thức:

a) A = \displaystyle \frac{1}{{\sqrt{1}+\sqrt{2}}}+\frac{1}{{\sqrt{2}+\sqrt{3}}}+\frac{1}{{\sqrt{3}+\sqrt{4}}}+...+\frac{1}{{\sqrt{{n-1}}+\sqrt{n}}};

b) B = \displaystyle \frac{1}{{\sqrt{1}-\sqrt{2}}}-\frac{1}{{\sqrt{2}-\sqrt{3}}}+\frac{1}{{\sqrt{3}-\sqrt{4}}}-...-\frac{1}{{\sqrt{{24}}-\sqrt{{25}}}}.

Bài tập 29: Trục căn thức ở mẫu của các biểu thức sau:

a) A = \displaystyle \frac{1}{{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{{2c}}}} trong đó a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện c là trung bình nhân của hai số a và b.

b) B = \displaystyle \frac{1}{{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}}} trong đó a, b, c, d là các số dương thỏa mãn điều kiện ab = cd và a + b ≠ c + d.

DẠNG 3: Giải phương trình, bất phương trình

Bài tập 30: Giải phương trình:

a)       \displaystyle \sqrt{{7+\sqrt{{2x}}}}=3+\sqrt{5}; b)       \displaystyle \sqrt{{{{x}^{2}}-6x+9}}=\sqrt{{4+2\sqrt{3}}};
c)       \displaystyle \sqrt{{3{{x}^{2}}-4x}}=2x-3; d)       \displaystyle \frac{{(7-x).\sqrt{{7-x}}+(x-5)\sqrt{{x-5}}}}{{\sqrt{{7-x}}+\sqrt{{x-5}}}}=2.

Bài tập 31: Giải phương trình:

a) \displaystyle \sqrt{{4x-12}}+\sqrt{{9x-27}}-4\sqrt{{x-3}}+3-x=0;

b) \displaystyle \sqrt{{25x+75}}+3\sqrt{{x-2}}=2+4\sqrt{{x+3}}+\sqrt{{9x-18}};

c) \displaystyle \sqrt{{49x-98}}-14\sqrt{{\frac{{x-2}}{{49}}}}=\sqrt{{9x-18}}+8;

d) \displaystyle \sqrt{{x+\sqrt{{2x-1}}}}+\sqrt{{x-\sqrt{{2x-1}}}}=\sqrt{2}.

Bài tập 32: Cho A = \displaystyle \sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-x-\frac{1}{{\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-x}} trong đó x Î \displaystyle \mathbb{R}.

Xác định x để giá trị của A là một số tự nhiên.

Bài tập 33: Tìm các số tự nhiên x, y sao cho x > y > 0 thỏa mãn điều kiện:

\displaystyle \sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{{931}}

Bài tập 34: Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho \displaystyle \sqrt{{n+1}}-\sqrt{n}<0,05.

DẠNG 4: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

Bài tập 35: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: S = \displaystyle \sqrt{{x-3}}+\sqrt{{y-4}}, biết x + y = 8.

DẠNG 5: Chứng minh biểu thức

Bài tập 36: Không dùng máy tính hoặc bảng số, so sánh các số sau:

a) \displaystyle -3\sqrt{{11}}\displaystyle -7\sqrt{2};

b) \displaystyle \frac{7}{2}\sqrt{{\frac{1}{{12}}}}\displaystyle \frac{9}{4}\sqrt{{\frac{1}{5}}};

c) \displaystyle \sqrt{{\frac{4}{{27}}}}\displaystyle \sqrt{{\frac{3}{{26}}}}.

Bài tập 37: Không dùng máy tính hoặc bảng số, chứng minh rằng: \displaystyle 4\sqrt{5}-3\sqrt{2}<5.

Bài tập 38: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng:

a) \displaystyle \sqrt{{c(a-c)}}+\sqrt{{c(b-c)}}-\sqrt{{ab}}\le 0 với a > c, b > c.

b) Nếu \displaystyle \sqrt{{1+b}}+\sqrt{{1+c}}\ge 2\sqrt{{1+a}} thì b + c ≥ 2a.

Bài tập 39:

Cho biểu thức: P = \displaystyle \frac{{\sqrt{{{{{(x+2)}}^{2}}-8x}}}}{{\sqrt{x}-\frac{2}{{\sqrt{x}}}}}. Chứng minh rằng: P = \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}-\sqrt{x}\,\,\,khi\,\,\,0<x<2\\\sqrt{x}\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x>2\end{array} \right.

Bài tập 40: Chứng minh rằng: \displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{{3\sqrt{2}}}+\frac{1}{{4\sqrt{3}}}+...+\frac{1}{{2018\sqrt{{2019}}}}<2

Bài tập 41: Chứng minh rằng:

a) \displaystyle \frac{1}{{1+\sqrt{2}}}+\frac{1}{{\sqrt{2}+\sqrt{3}}}+...+\frac{1}{{\sqrt{{99}}+\sqrt{{100}}}}=9;

b) \displaystyle \frac{1}{{\sqrt{2}}}+\frac{1}{{\sqrt{3}}}+...+\frac{1}{{\sqrt{{225}}}}<28.

Bài tập 42: Chứng minh rằng A < B với:

A = \displaystyle \frac{1}{{\sqrt{1}+\sqrt{2}}}+\frac{1}{{\sqrt{2}+\sqrt{3}}}+...+\frac{1}{{\sqrt{{120}}+\sqrt{{121}}}} và B = \displaystyle \frac{1}{{\sqrt{1}}}+\frac{1}{{\sqrt{2}}}+\frac{1}{{\sqrt{3}}}+...+\frac{1}{{\sqrt{{35}}}}.

Bài tập 43: Chứng minh các hằng đẳng thức:

a) \displaystyle \sqrt{{10+\sqrt{{60}}-\sqrt{{24}}-\sqrt{{40}}}}=\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{2};

b) \displaystyle \sqrt{{6+\sqrt{{24}}+\sqrt{{12}}+\sqrt{8}}}-\sqrt{3}=\sqrt{2}+1.

Bài tập 44: Cho A = \displaystyle \sqrt{{10+\sqrt{{24}}+\sqrt{{40}}+\sqrt{{60}}}}.

Hãy biểu diễn A dưới dạng tổng của ba căn thức.

Bài tập 45: Chứng minh hằng đẳng thức sau với x ≥ 2:

\displaystyle \sqrt{{\sqrt{x}+\sqrt{{\frac{{{{x}^{2}}-4}}{x}}}}}+\sqrt{{\sqrt{x}-\sqrt{{\frac{{{{x}^{2}}-4}}{x}}}}}=\sqrt{{\frac{{2x+4}}{{\sqrt{x}}}}}

Bài tập 46: Chứng minh rằng \displaystyle \frac{{2\sqrt{{mn}}}}{{\sqrt{m}+\sqrt{n}+\sqrt{{m+n}}}}=\sqrt{m}+\sqrt{n}-\sqrt{{m+n}}.

Áp dụng tính \displaystyle \frac{{2\sqrt{{10}}}}{{\sqrt{2}+\sqrt{5}+\sqrt{7}}}.

Bài tập 47: Chứng minh rằng \displaystyle \frac{1}{{(n+1)\sqrt{n}+n\sqrt{{n+1}}}}=\frac{1}{{\sqrt{n}}}-\frac{1}{{\sqrt{{n+1}}}} với n ∈ \displaystyle {{\mathbb{N}}^{*}}.

Áp dụng tính tổng: \displaystyle S=\frac{1}{{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}}+\frac{1}{{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}}+...+\frac{1}{{400\sqrt{{399}}+399\sqrt{{400}}}}.

Bài tập 48: Tính giá trị của biểu thức:

\displaystyle M=\frac{1}{{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}}+\frac{1}{{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}}+\frac{1}{{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}}+...+\frac{1}{{25\sqrt{{24}}+24\sqrt{{25}}}}.

Bài tập 49: Cho a = \displaystyle \sqrt{2}-1.

a) Viết a2, a3 dưới dạng \displaystyle \sqrt{m}-\sqrt{{m-1}} trong đó m là số tự nhiên.

b*) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, số an viết được dưới dạng trên.

Bài tập 50: Chứng minh rằng với mọi x > 0, y > 0 và x ≠ y, giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của các biến x, y.

A = \displaystyle \frac{{{{x}^{4}}}}{{x-y}}.\sqrt{{\frac{1}{{{{x}^{6}}}}-\frac{{2y}}{{{{x}^{7}}}}+\frac{{{{y}^{2}}}}{{{{x}^{8}}}}}}.

Bài tập 51: Cho x, y, z > 0 và khác nhau đôi một. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức P không phụ thuộc vào giá trị của các biến.

P = \displaystyle \frac{x}{{\left( {\sqrt{x}-\sqrt{y}} \right)\left( {\sqrt{x}-\sqrt{z}} \right)}}+\frac{y}{{\left( {\sqrt{y}-\sqrt{z}} \right)\left( {\sqrt{y}-\sqrt{x}} \right)}}+\frac{z}{{\left( {\sqrt{z}-\sqrt{x}} \right)\left( {\sqrt{z}-\sqrt{y}} \right)}}.

Bài tập 52: Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:

a) Q = \displaystyle \frac{1}{x}.\left( {\frac{{\sqrt{{x+1}}+\sqrt{{x-1}}}}{{\sqrt{{x+1}}-\sqrt{{x-1}}}}+\frac{{\sqrt{{x+1}}-\sqrt{{x-1}}}}{{\sqrt{{x+1}}+\sqrt{{x-1}}}}} \right) với x > 1.

b) R = \displaystyle \frac{{2x}}{{x+3\sqrt{x}+2}}+\frac{{5\sqrt{x}+1}}{{x+4\sqrt{x}+3}}+\frac{{\sqrt{x}+10}}{{x+5\sqrt{x}+6}} với x ≥ 0.

DẠNG 6: Các bài toán tổng hợp

Bài tập 53: Cho: M = \displaystyle \frac{{\sqrt{a}+6}}{{\sqrt{a}+1}}.

a) Tìm các số nguyên a để m là số nguyên;

b) Chứng minh rằng với a = \displaystyle \frac{4}{9} thì M là số nguyên;

c) Tìm các số hữu tỉ a để M là số nguyên.

Bài tập 54: Cho biểu thức: M = \displaystyle \frac{{\sqrt{a}+2}}{{\sqrt{a}-2}}.

a) Tìm các số nguyên a để m là số nguyên.

b) Tìm các số hữu tỉ a để M là số nguyên.

Bài tập 55: Cho biểu thức: C = \displaystyle \frac{{3x+\sqrt{{9x}}-3}}{{x+\sqrt{x}-2}}-\frac{{\sqrt{x}+1}}{{\sqrt{x}+2}}+\frac{{\sqrt{x}+2}}{{1-\sqrt{x}}}.

a) Tìm điều kiện của x để C có nghĩa;

b) Rút gọn biểu thức C;

c) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của C là một số nguyên.

Bài tập 56: Cho biểu thức: A = \displaystyle {{x}^{2}}-3x\sqrt{y}+2y.

a) Phân tích A thành nhân tử;

b) Tính giá trị của A khi \displaystyle x=\frac{1}{{\sqrt{5}-2}}, \displaystyle y=\frac{1}{{9+4\sqrt{5}}}.

Bài tập 57: Cho biểu thức:

P = \displaystyle \left( {\frac{{2\sqrt{x}}}{{\sqrt{x}+3}}+\frac{{\sqrt{x}}}{{\sqrt{x}-3}}-\frac{{3x+3}}{{x-9}}} \right):\left( {\frac{{2\sqrt{x}-2}}{{\sqrt{x}-3}}-1} \right) với x ≥ 0 và x ≠ 9.

a) Rút gọn P;

b) Tìm các giá trị của x để P < \displaystyle -\frac{1}{3}.

c) Tìm các giá trị của x để P có giá trị nhỏ nhất.

Bài tập 58: Cho biểu thức: Q = \displaystyle \frac{{2\sqrt{x}-9}}{{x-5\sqrt{x}+6}}-\frac{{\sqrt{x}+3}}{{\sqrt{x}-2}}-\frac{{2\sqrt{x}+1}}{{3-\sqrt{x}}}.

a) Tìm các giá trị của x để Q có nghĩa;

b) Rút gọn Q;

c) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của Q là một số nguyên.

Bài tập 59: Cho biểu thức P = \displaystyle \frac{1}{{\sqrt{x}+2}}-\frac{5}{{x-\sqrt{x}-6}}-\frac{{\sqrt{x}-2}}{{3-\sqrt{x}}}.

a) Rút gọn P;

b) Tìm giá trị lớn nhất của P.

Bài tập 60: Cho biểu thức P = \displaystyle \left( {\frac{{\sqrt{x}+\sqrt{y}}}{{1-\sqrt{{xy}}}}+\frac{{\sqrt{x}-\sqrt{y}}}{{1+\sqrt{{xy}}}}} \right):\left( {1+\frac{{x+y+2xy}}{{1-xy}}} \right).

a) Rút gọn P;

b) Tính giá trị của P với x = \displaystyle \frac{2}{{2+\sqrt{3}}};

c) Tìm giá trị lớn nhất của P.

Bài tập 61: Cho P = \displaystyle \frac{{\sqrt{x}}}{{\sqrt{{xy}}+\sqrt{x}+2}}+\frac{{\sqrt{y}}}{{\sqrt{{yz}}+\sqrt{y}+1}}+\frac{{2\sqrt{z}}}{{\sqrt{{zx}}+2\sqrt{z}+2}}.

Biết xyz = 4, tính \displaystyle \sqrt{P}.

Bài cùng series:<< Đại số 9 – Chuyên đề 2 – Nhân, chia căn thức bậc hai (tiếp)

Toán cấp 2 © 2012 Toán cấp 2