Kỹ thuật chọn điểm rơi chứng minh bất đẳng thức

Đây là bài thứ 13 of 15 trong series Chuyên đề: Bất đẳng thức THCS

Kỹ thuật chọn điểm rơi thường dùng trong chứng minh bất đẳng thức áp dụng với BĐT Cosi cho các số dương.

Dấu hiệu nhận biết bài toán dùng chọn điểm rơi:

Dự đoán dấu “=” xảy ra:

Dấu hiệu:

– Nếu biếu thức có điều kiện ràng buộc thì GTLN, GTNN của biểu thức thường đạt đươc tại vị trí biên

– Nếu biểu thức có tính đối xứng thì dấu “=” thường xảy ra khi các biến bằng nhau.

– Nếu biếu thức không có tinh đối xứng thì tuỳ theo bài toán mà linh hoạt áp dụng.

Mục đích: Xác định giá trị các biến và GTLN, GTNN của biểu thức tại dấu “=” ở dự đoán ban đầu.

Ví dụ 1: Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng $\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a} \leq \sqrt{6}$

Giải:

Nhận thấy: biểu thức có tính đối xứng.

Vì a + b + c = 1 => dấu “=” xảy ra khi $ \displaystyle a=b=c=\frac{1}{3}$

Áp dụng BĐT Cosi cho 2 số (a + b) và k (k>0)

Khi áp dụng BĐT Cosi thì dấu “=” xảy ra ⇔ $ \displaystyle k=a+b=~\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$

Ta có:

$\sqrt{\frac{2}{3}(a+b)} \leq \frac{\frac{2}{3}+a+b}{2}$    (1)

$\sqrt{\frac{2}{3}(a+c)} \leq \frac{\frac{2}{3}+a+c}{2}$    (2)

$\sqrt{\frac{2}{3}(b+c)} \leq \frac{\frac{2}{3}+b+c}{2}$    (3)

Cộng (1), (2) và (3) lại ta có:

$ \displaystyle \sqrt{{\frac{2}{3}(a+b)}}+\sqrt{{\frac{2}{3}(a+c)}}+\sqrt{{\frac{2}{3}(b+c)}}\le \frac{{\frac{2}{3}+a+b}}{2}+\frac{{\frac{2}{3}+a+c}}{2}+\frac{{\frac{2}{3}+b+c}}{2}$

⇔ $ \displaystyle \sqrt{{\frac{2}{3}}}\left( {\sqrt{{(a+b)}}+\sqrt{{(a+c)}}+\sqrt{{(b+c)}}} \right)\le \frac{{2+2(a+b+c)}}{2}=2$

⇔ $ \displaystyle \sqrt{{(a+b)}}+\sqrt{{(a+c)}}+\sqrt{{(b+c)}}\le \sqrt{6}$

=> Đpcm

Ví dụ 2: Cho x, y, z > 0 thỏa $ \displaystyle x+y+z\le \frac{3}{2}$. Tìm GTNN của $A=x^{2}+y^{2}+z^{2}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$.

Giải:

Do A là biểu thức đối xứng theo x, y, z nên dự đoán A đạt GTNN tại $ \displaystyle x=y=z=\frac{1}{2}$.

Để dùng được bất đẳng thức Cosi cần tách:

$x^{2}+\frac{1}{x}=x^{2}+\frac{m}{x}+\frac{n}{x}$

Khi áp dụng BĐT Cosi cho 3 số thì dấu “=” xảy ra ⇔ $x^{2}=\frac{\mathrm{m}}{x}=\frac{\mathrm{n}}{x}$

$ \displaystyle x=\frac{1}{2}\Rightarrow m=n=\frac{1}{8}$

Khi đó:

$ \displaystyle \begin{array}{l}A=\left( {{{x}^{2}}+\frac{1}{x}} \right)+\left( {{{y}^{2}}+\frac{1}{y}} \right)+\left( {{{z}^{2}}+\frac{1}{z}} \right)\\\,\,\,\,\,=\left( {{{x}^{2}}+\frac{1}{{8x}}+\frac{1}{{8x}}} \right)+\left( {{{y}^{2}}+\frac{1}{{8y}}+\frac{1}{{8y}}} \right)+\left( {{{z}^{2}}+\frac{1}{{8z}}+\frac{1}{{8z}}} \right)+\frac{6}{8}\left( {\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}} \right)\\\,\,\,\,\,\ge 3\sqrt[3]{{{{x}^{2}}\frac{1}{{8x}}\frac{1}{{8x}}}}+3\sqrt[3]{{{{y}^{2}}\frac{1}{{8y}}\frac{1}{{8y}}}}+3\sqrt[3]{{{{z}^{2}}\frac{1}{{8z}}\frac{1}{{8z}}}}+\frac{3}{4}\frac{9}{{(x+y+z)}}\ge \frac{9}{4}+\frac{{27}}{4}\frac{2}{3}=\frac{{27}}{4}\end{array}$

Dấu “=” xảy ra ⇔ $ \displaystyle x=y=z=\frac{1}{2}$

*Chú ý: Cần ghi nhớ các bất đẳng thức phụ dưới đây:

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \geq \frac{4}{(a+b)}$ với a, b > 0 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \geq \frac{4}{(a+b)}$ với a, b > 0 $\frac{1}{a+b} \leq \frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)$ với a, b > 0 Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b

$(a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right) \geq 9$ với a, b, c > 0 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq \frac{9}{a+b+c}$ với a, b, c > 0 $\frac{1}{a+b+c} \leq \frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)$ với a, b, c > 0 Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b = c

Series Navigation

<< Một số ví dụ chứng minh BĐT bằng phương pháp cân bằng hệ sốMột số ví dụ chứng minh BĐT bằng phương pháp hệ số bất định UCT >>