4 phương pháp giải phương trình vô tỷ – Toán cấp 2

Để giải một phương trình vô tỷ thì có nhiều cách giải, tuy nhiên trong chương trình Toán THCS thì Toancap2.net chỉ nêu ra 4 phương pháp dưới đây.

Đó là các phương pháp: Đánh giá, đặt ẩn phụ, biến đổi tương đương và điều kiện cần và đủ.

Chú ý: Đây là các phương pháp chung nhất để giải phương trình vô tỷ ở cấp 2. Và chúng ta áp dụng cách giải qua các ví dụ cho mỗi phương pháp.

1. Phương pháp đánh giá

Ví dụ: Giải phương trình: $ \displaystyle \sqrt{3{{x}^{2}}+6x+7}+\sqrt{5{{x}^{2}}+10x+14}$ = 4 – 2x – x2         (*)

Giải:

Ta nhận thấy:

Vế trái:

VT = $ \displaystyle \sqrt{3{{x}^{2}}+6x+7}+\sqrt{5{{x}^{2}}+10x+14}$

VT = $ \displaystyle \sqrt{3{{\left( x+1 \right)}^{2}}+4}$ + $ \displaystyle \sqrt{5{{\left( x+1 \right)}^{2}}+9}\ge \sqrt{4}+\sqrt{9}$ = 5

Vế phải:

VP = 4 – 2x –x² = 5 – (x+1)² ≤ 5.

Vậy phương trình (*) đã cho có nghiệm khi và chỉ khi VT = VP = 5.

⇔ x+ 1 = 0 ⇔ x = -1.

2. Phương pháp đặt ẩn phụ

Ví dụ: Giải phương trình: $ \displaystyle \sqrt{1+x}+\sqrt{8-x}+\sqrt{(1+x)(8-x)}=3$

Giải:

Điều kiện: -1 ≤ x ≤ 8

Đặt $ \displaystyle t=\sqrt{1+x}+\sqrt{8-x}$ (với t ≥ 0)

⇒ $ \displaystyle t_{{}}^{2}=1+x+8-x+2\sqrt{(1+x)(8-x)}$

⇒ $ \displaystyle \sqrt{(1+x)(8-x)}=\frac{t_{{}}^{2}-9}{2}$

Khi đó phương trình đã cho trở thành:

$ \displaystyle t+\frac{t_{{}}^{2}-9}{2}=3$

⇔ $ \displaystyle t_{{}}^{2}+2t-15=0$

⇔ $ \displaystyle \left[ \begin{array}{l}t=-5\\t=3\end{array} \right.$

Loại t = -5 do < 0

Với t = 3 ta có: $ \displaystyle \sqrt{1+x}+\sqrt{8-x}$ = 3

⇔ $ \displaystyle 1+x+8-x+2\sqrt{(1+x)(8-x)}$ = 9

⇔ $ \displaystyle \sqrt{(1+x)(8-x)}$ = 0

⇔  $ \displaystyle \left[ \begin{array}{l}x=-1\\x=8\end{array} \right.$ (thỏa mãn -1 ≤ x ≤ 8)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: x₁ = -1 và x₂ = 8

*Cách khác: Các em tự giải

3. Phương pháp biến đổi tương đương

Phương pháp biến đổi tương đương được áp dụng cho 2 dạng phương trình vô tỷ:

Dạng 1: $ \displaystyle \sqrt{f(x)}=g(x)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g(x)\ge 0\\f(x)=g_{{}}^{2}(x)\end{array} \right.$

Dạng 2: $ \displaystyle \sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g(x)\ge 0\\f(x)=g(x)\end{array} \right.$

4. Phương pháp điều kiện cần và đủ

VD1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:
$ \displaystyle \sqrt{4-x}+\sqrt{x+5}=m$

Giải: Điều kiện cần:

Nhận thấy nếu phương trình có nghiệm x₀ thì (-1 – x₀ ) cũng là nghiệm của phương trình. Do đó để phương trình có nghiệm duy nhất thì:

x₀ = -1 – x₀ ⇔ $ \displaystyle {{x}_{0}}=-\frac{1}{2}$

Thay $ \displaystyle {{x}_{0}}=-\frac{1}{2}$ vào phương trình đã cho ta được: $ \displaystyle m=3\sqrt{2}$

Điều kiện đủ:

Với $ \displaystyle m=3\sqrt{2}$ phương trình đã cho trở thành:

Vậy với $ \displaystyle m=3\sqrt{2}$ thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.