Đề thi HSG môn Toán lớp 9 tỉnh Kontum năm học 2012-2013

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 Sở giáo dục và đào tạo tỉnh Kontum năm học 2012-2013. Thời gian làm bài 150 phút. Không kể thời gian giao đề.

Ngày thi: 16/3/2013

Câu 1: (5,0 điểm)

Cho biểu thức: $ \displaystyle \text{P}=\frac{2\sqrt{x}-9}{{{x}^{{}}}-5\sqrt{x}+6}-\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}-\frac{2\sqrt{x}+1}{3-\sqrt{x}}\text{ (}x\ge 0;x\ne 4;x\ne 9).$

a. Rút gọn biểu thức P.

b. Tìm các giá trị của sao cho P < 2 .

Câu 2: (5,0 điểm)

a) Giải phương trình: $ \displaystyle \sqrt{{{x}^{2}}+10x+21}+6=3\sqrt{x+3}+2\sqrt{x+7}.$

b) Chứng minh rằng nếu ba số x, y, z thỏa mãn hệ phương trình: $ \left\{ \begin{array}{l}x+y+z=2\\\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2}\end{array} \right.$  thì có ít nhất một trong ba số x, y, z phải bằng 2.

Câu 3: (4,0 điểm)

Trên cùng một mặt phẳng tọa độ  cho hai đường thẳng (d) và (D) lần lượt có phương trình là y = 2x – 5 và $ y=(m-2)x-m-1$  (m là tham số).

a) Chứng minh rằng đường thẳng (D) luôn luôn đi qua một điểm cố định thuộc đường thẳng với mọi giá trị của m ∈ R.

b) Tìm giá trị của m để gốc tọa độ  cách đường thẳng (D) một khoảng lớn nhất.

Câu 4: (4,0 điểm)

Cho đường tròn (O; R) và hai đường kính phân biệt AB và CD sao cho tiếp tuyến tại A của đường tròn (O; R) cắt các đường thẳng BC và BD lần lượt tại hai điểm E và F. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AE và AF.

a) Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác BPQ là trung điểm của đoạn thẳng OA.

b) Hai đường kính AB và CD có vị trí tương đối như thế nào thì tam giác BPQ có diện tích nhỏ nhất.

Câu 5: (2,0 điểm)

Cho a, b, c  là các độ dài ba cạnh của một tam giác và thỏa hệ thức a + b + c = 1. Chứng minh rằng: $ {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}<\frac{1}{2}$ .