Phương pháp giải bài toán liên quan tới công việc – nước chảy được Toancap2.net chia sẻ với các em học sinh đang ôn thi vào lớp 10 môn Toán.
Các em cần phải biết cách giải để làm các ví dụ, làm thật nhiều bài tập để rèn luyện thành thục.
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT – PHƯƠNG PHÁP GIẢI
I. Các bước giải
Bước 1: Lập phương trình hoặc hệ phương trình:
– Chọn ẩn, đơn vị cho ẩn, điều kiện thích hợp cho ẩn.
– Biểu đạt các đại lượng khác theo ẩn (chú ý thống nhất đơn vị).
– Dựa vào các dữ kiện, điều kiện của bài toán để lập phương trình hoặc hệ phương trình.
Bước 2: Giải phương trình hoặc hệ phương trình.
Bước 3: Nhận định, so sánh kết quả bài toán, tìm kết quả thích hợp, trả lời, nêu rõ đơn vị của đáp số.
II. Các công thức liên quan
| Quãng đường = Vận tốc .Thời gian vxuôi = vthực + vnước vngược = vthực – vnước vxuôi – vngược = 2vnước |
B. CÁC VÍ DỤ MẪU
| Ví dụ 1: (Thừa Thiên Huế, 2015 – 2016) Một đoàn xe vận tải nhận chuyên chở 120 tấn hàng. Hôm làm việc do có 5 xe được điều đi làm nhiệm vụ khác nên mỗi xe còn lại phải chở thêm 0,8 tấn hàng so với dự định ban đầu. Biết khối lượng hang mỗi xe chuyên chở như nhau, hỏi đoàn xe ban đầu có bao nhiêu chiếc? |
Giải:
Gọi số chiếc xe ban đầu của đoàn xe vận tải là $ \displaystyle x$ (chiếc) ($ \displaystyle x>5$ , x ∈ N).
Số chiếc xe thực tế của đòan xe vận tải là $ \displaystyle x5$ (chiếc).
Khối lượng hàng mỗi xe phải chở ban đầu là $ \displaystyle \frac{120}{x}$ tấn.
Khối lượng hàng mỗi xe phải chở thực tế là $ \displaystyle \frac{120}{x-5}$ tấn.
Theo giả thiết ta có phương trình: $ \displaystyle \frac{120}{x-5}-\frac{4}{5}=\frac{120}{x}\Leftrightarrow 4{{x}^{2}}-20x-3000=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=30\\x=-25\end{array} \right..$
Kết hợp với điều kiện, ta được số chiếc xe ban đầu của đoàn xe vận tải là 30 chiếc.
| Ví dụ 2: (Bà Rịa Vũng Tàu, 2014 – 2015) Hưởng ứng phong trào “Vì biển đảo Trường Sa” một đội tàu dự định chở 280 tấn hàng ra đảo. Nhưng khi chuẩn bị khởi hành thì số hàng hóa đã tăng thêm 6 tấn so với dự định. Vì vậy đội tàu phải bổ sung thêm 1 tàu và mối tàu chở thêm hơn dự định 2 tấn hàng. Hỏi khi dự định đội tàu có bao nhiêu chiếc tàu biết các tàu chở số tấn hàng bằng nhau. |
Giải:
Gọi $ \displaystyle x$ (chiếc) là số tàu dự định của đội $ \displaystyle (\text{ }x\in {{\mathbb{N}}^{*}},\text{ }x<140)$.
Số tàu tham gia vận chuyển là $ \displaystyle ~x+1$ (chiếc).
Số tấn hàng trên mỗi chiếc theo dự định: $ \displaystyle \frac{280}{x}$(tấn).
Số tấn hàng trên mỗi chiếc theo thực tế: $ \displaystyle \frac{280}{x+1}$ (tấn).
Theo đề bài ta có PT: $ \displaystyle \frac{280}{x}-\frac{280}{x+1}=2$.
$ \displaystyle \begin{array}{l}\Leftrightarrow 280\left( x+1 \right)-286x=2x\left( x+1 \right).\\\Leftrightarrow {{x}^{2}}+4x-140=0.\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=10\\x=-14(l)\end{array} \right..\end{array}$
Vậy đội tàu lúc đầu là có 10 chiếc.
| Ví dụ 3: (Hà Nội, 2012 – 2013) Hai người cùng làm chung một công việc trong $ \displaystyle \frac{12}{5}$ giờ thì xong. Nếu mỗi người làm một mình thì người thứ nhất hoàn thành công việc trong ít hơn người thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu thời gian để xong công việc? |
Giải:
Gọi x (giờ) là thời gian người thứ nhất làm xong công việc (x >0).
Thời gian mà người thứ hai làm riêng xong công việc là $ x+2$ (giờ).
Trong một giờ:
+) Người thứ nhất làm được $ \frac{1}{x}$ (công việc).
+) Người thứ hai làm được $ \frac{1}{x+2}$ (công việc).
+) Cả hai người làm được $ \frac{1}{\frac{12}{5}}=\frac{5}{12}$ (công việc).
Ta có phương trình $ \frac{1}{x}+\frac{1}{x+2}=\frac{5}{12}\Leftrightarrow x=4.$
Vậy thời gian người thứ nhất làm xong công việc là 4 giờ, thời gian người thứ hai làm xong công việc là 6 (giờ).
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài toán 1: Hai máy xúc đất được giao xúc hết một khối lượng đất để đắp đập. Nếu cả hai máy cùng làm việc thì xúc hết khối lượng đất đó trong 4 ngày. Nếu máy thứ nhất xúc xong $ \frac{1}{2}$ số đất rồi máy thứ hai xúc hết số đất còn lại thì thời gian xúc của cả hai máy cộng lại là 9 ngày.Hỏi nếu làm riêng thì mỗi máy xúc hết khối lượng đất đó trong mấy ngày?
Bài toán 2: (Bình Dương, 2016 – 2017) Một phân xưởng theo kế hoạch cần phải sản xuất 1100 sản phẩm trong một số ngày quy định. Do mỗi ngày phân xưởng đó sản xuất vượt mức 5 sản phẩm nên phân xưởng đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 2 ngày. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày phân xưởng phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm?
Bài toán 3: (Quảng Ngãi, 2015 – 2016) Hai đội thủy lợi gồm 25 người đào đắp một con mương. Đội I đào được $ 45{{m}^{3}}$ đất, đội II đào được $ 40{{m}^{3}}$ đất. biết mỗi công nhân đội II đào được nhiều hơn mỗi công nhân đội I là $ 1{{m}^{3}}$. Tính số đất mỗi công nhân đội I đào được.
Bài toán 4: (Chuyên Thái Bình, 2015 – 2016) Bạn An dự định trong khoảng thời gian từ ngày 1/3 đến ngày 30/4 sẽ giải mỗi ngày 3 bài toán. Thực hiện đúng kế hoạch được một thời gian vào khoảng cuối tháng 3 (tháng 3 có 31 ngày) thì An bị bệnh phải nghỉ giải toán nhiều ngày liên tiếp. Khi hồi phục trong tuần đầu An chỉ giải được 16 bài; sau đó An cố gắng giải 4 bài mỗi ngày và đến 30/4 thì An cũng hoàn thành kế hoạch đã định. Hỏi An phải nghỉ giải toán bao nhiêu ngày?
D. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài toán 1: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn nước sau 2 giờ 24 phút thì đầy bể. Nếu chảy riêng vòi thứ nhất phải chảy hơn vòi thứ hai 2 giờ mới đầy bể. hỏi nếu chảy riêng mỗi vòi phải mất thời gian bao lâu để chảy vào đầy bể?
Đáp số: 4 giờ; 6 giờ.
Bài toán 2: (Hải Dương, 2016 – 2017) Một đội xe phải chuyên chờ 36 tấn hàng. Trước khi làm việc, đội xe đó được bổ sung thêm 3 xe nữa nên mỗi xe chở ít hơn 1 tấn so với dự định. Hỏi đội xe lúc đầu có bao nhiêu xe? Biết rằng số hàng chở trên tất cả các xe có khối lượng bằng nhau.
Đáp số: 9 xe.
Bài toán 3: (Hà Tĩnh, 2015 – 2016) Một đội xe nhận vận chuyển 72 tấn hàng nhưng khi sắp khởi hành thì có 3 xe bị hỏng, do đó mỗi xe phải chở nhiều hơn 2 tấn so với dự định. Hỏi lúc đầu đội xe có bao nhiêu chiếc, biết khối lượng hàng mỗi xe phải chở là như nhau.
Đáp số: 12 xe.
Bài toán 4: Một công nhân dự định làm 150 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Sau khi làm được 2h với năng xuất dự kiến ,người đó đã cải tiến các thao tác nên đã tăng năng xuất được 2 sản phẩm mỗi giờ và vì vậy đã hoàn thành 150 sản phẩm sớm hơn dự kiến 30 phút. Hãy tính năng xuất dự kiến ban đầu.
Đáp số: 20 sản phẩm.
Bài toán 5: (Lâm Đồng, 2012 – 2013) Hai đội công nhân cùng đào một con mương . Nếu họ cùng làm thì trong 8 giờ xong việc. Nếu họ làm riêng thì đội A hoàn thành công việc nhanh hơn đội B là 12 giờ. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội phải làm trong bao nhiêu giờ mới xong việc.
Đáp số: 12 giờ, 24 giờ.
Bài toán 6: Hai đội công nhân cùng làm một công việc hoàn thành sau 12 ngày. Nếu mỗi đội làm riêng thì đội một sẽ hoàn thành công việc nhanh hơn đội hai là 7 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội phải làm trong bao nhiêu ngày để hoàn thành công việc đó?
Đáp số: 21 ngày, 28 ngày.