Chuyên đề: Phương trình bậc hai chứa tham số

Về các bài toán phương trình bậc hai chứa tham số, chúng ta thường phải sử dụng hệ thức Vi-ét để giải.

Bằng việc áp dụng định lý Vi-et, các em sẽ dễ dàng giải các bài tập dạng PT bậc 2 chứa tham số.

I – KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Ứng dụng hệ thức Vi-ét:

Xét phương trình bậc hai: ${\displaystyle a{x}^2+bx+c=0(\ast )\text{,}(a\ne 0),\mathrm{\Delta }=b^2-4ac}$ .

Gọi ${\displaystyle S}$, ${\displaystyle P}$ lần lượt là tổng và tích của hai nghiệm ${\displaystyle x_1,x_2}$. Hệ thức Viét: ${\displaystyle \{\begin{array}{l}S=x_1+x_2=-\frac{b}{a}\\ P=x_1{x}_2=\frac{c}{a}\end{array}}$ .

• Điều kiện PT (*) có hai nghiệm trái dấu ⇔ ${\displaystyle P<0}$.
• Điều kiện PT (*) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu ⇔ ${\displaystyle \{\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }>0\\ P>0\end{array}}$.
• Điều kiện PT (*) có hai nghiệm phân biệt dương ⇔ ${\displaystyle \{\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }>0\\ S>0\\ P>0\end{array}}$.
• Điều kiện PT (*) có hai nghiệm phân biệt âm ⇔ ${\displaystyle \{\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }>0\\ S<0\\ P>0\end{array}}$.

2. Các hệ thức thường gặp:

+ ${\displaystyle {x_1}^2+{x_2}^2=({x_1}^2+2x_1.x_2+{x_2}^2)-2x_1.x_2={(x_1+x_2)}^2-2x_1.x_2=S^2-2P}$

+ ${\displaystyle x_1-x_2=\pm \sqrt{{(x_1+x_2)}^2-4x_1{x}_2}=\pm \sqrt{S^2-4P}}$

+ ${\displaystyle x_2-x_1=\pm \sqrt{{(x_1+x_2)}^2-4x_1{x}_2}=\pm \sqrt{S^2-4P}}$

+ ${\displaystyle {x_1}^2-{x_2}^2=(x_1+x_2)(x_1-x_2)=\pm (x_1+x_2)\sqrt{{(x_1+x_2)}^2-4x_1{x}_2}=\pm S.\sqrt{S^2-4P}}$

+ ${\displaystyle {x_1}^3+{x_2}^3=(x_1+x_2)({x_1}^2-x_1.x_2+{x_2}^2)=(x_1+x_2)[{(x_1+x_2)}^2-3x_1.x_2]=S.(S^2-3P)}$

+ ${\displaystyle {x_1}^4+{x_2}^4={\left({x_1}^2\right)}^2+{\left({x_2}^2\right)}^2={({x_1}^2+{x_2}^2)}^2-2{x_1}^2.{x_2}^2={[{(x_1+x_2)}^2-2x_1{x}_2]}^2-2x_1^2{x}_2^2}$

${\displaystyle ={(S^2-2P)}^2-2P^2}$

+ ${\displaystyle \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1{x}_2}=\frac{S}{P}}$

+ ${\displaystyle \frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}=\frac{x_2-x_1}{x_1{x}_2}=\pm \frac{\sqrt{{(x_1+x_2)}^2-4x_1{x}_2}}{x_1{x}_2}=\pm \frac{\sqrt{S^2-4P}}{P}}$

+ ${\displaystyle \frac{x_1}{x_2}-\frac{x_2}{x_1}=\frac{{x_1}^2-{x_2}^2}{x_1{x}_2}=\frac{(x_1+x_2)(x_1-x_2)}{x_1{x}_2}=\pm \frac{(x_1+x_2)\sqrt{{(x_1+x_2)}^2-4x_1{x}_2}}{x_1{x}_2}=\pm \frac{S.\sqrt{S^2-4P}}{P}}$

+ ${\displaystyle {x_1}^3-{x_2}^3=(x_1-x_2)({x_1}^2+x_1.x_2+{x_2}^2)=(x_1-x_2)[{(x_1+x_2)}^2-x_1.x_2]}$

${\displaystyle =(\pm \sqrt{{(x_1+x_2)}^2-4x_1{x}_2})[{(x_1+x_2)}^2-x_1.x_2]=\pm \left(\sqrt{S^2-4P}\right)[S^2-P]}$

+ ${\displaystyle {x_1}^4-{x_2}^4={\left({x_1}^2\right)}^2-{\left({x_2}^2\right)}^2=({x_1}^2+{x_2}^2)({x_1}^2-{x_2}^2)=\pm (S^2-2P)(S.\sqrt{S^2-4P})}$

II – CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Câu 1: Cho phương trình $(2m-1)x^2-2mx+1=0$. Xác định m để phương trình trên có nghiệm thuộc khoảng (-1;0).

Lời giải

• Xét $2m-1=0\Rightarrow m=\frac{1}{2}$ phương trình trở thành $-x+1=0\Rightarrow x=1\notin (-1;0)$
• Xét $2m-1\ne 0\Rightarrow m\ne \frac{1}{2}$ khi đó ta có:

$\mathrm{\Delta }‘=m^2-(2m-1)=m^2-2m+1={(m-1)}^2\ge 0$ mọi m.

Suy ra phương trình có nghiệm với mọi m.

Ta thấy nghiệm $x=1$ không thuộc khoảng $(-1;0)$

Với $m\ne \frac{1}{2}$ phương trình còn có nghiệm là $x=\frac{m-m+1}{2m-1}=\frac{1}{2m-1}$

Phương trình có nghiệm trong khoảng $(-1;0)$ suy ra

$-1\le \frac{1}{2m-1}\le 0\iff \{\begin{array}{l}\frac{1}{2m-1}+1>0\\ 2m-1<0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}\frac{2m}{2m-1}>0\\ 2m-1<0\end{array}\Rightarrow m<0$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm trong khoảng $(-1;0)$ khi và chỉ khi $m<0$.

Câu 2: Cho phương trình ${\displaystyle x^2-(2m-1)x+m^2-1=0}$ (${\displaystyle x}$ là ẩn số)

a) Tìm điều kiện của để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

b) Định ${\displaystyle m}$ để hai nghiệm ${\displaystyle x_1}$, ${\displaystyle x_2}$ của phương trình đã cho thỏa mãn: ${(x_1-x_2)}^2=x_1-3x_2$.

Lời giải

a) $\mathrm{\Delta }={(2m-1)}^2-4.(m^2-1)=5-4m$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt $\iff m<\frac{5}{4}$

b) Phương trình có hai nghiệm $\iff m<\frac{5}{4}$

Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2m-1\\ x_1{x}_2=m^2-1\end{array}$

Theo đề bài:

$\begin{array}{l}{(x_1-x_2)}^2=x_1-3x_2\\ \iff {(x_1+x_2)}^2-4x_1{x}_2=x_1-3x_2\\ \iff {(2m-1)}^2-4(m^2-1)=x_1-3x_2\\ \iff x_1-3x_2=5-4m\end{array}$

Ta có hệ phương trình: ${\displaystyle \{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2m-1\\ x_1-3x_2=5-4m\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{x}_1=\frac{m+1}{2}\\ x_2=\frac{3(m-1)}{2}\end{array}}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \frac{m+1}{2}\cdot \frac{3(m-1)}{2}=m^2-1\\ \iff 3(m^2-1)=4(m^2-1)\\ \iff m^2-1=0\\ \iff m=\pm 1\end{array}$

Kết hợp với điều kiện $\Rightarrow m=\pm 1$ là các giá trị cần tìm

Câu 3: Tìm m để phương trình $x^2+5x+3m-1=0$ (${\displaystyle x}$ là ẩn số, $m$ là tham số) có hai nghiệm ${\displaystyle x_1}$, ${\displaystyle x_2}$ thỏa mãn $x_1^3-x_2^3+3x_1{x}_2=75$.

Lời giải

${\displaystyle \mathrm{\Delta }=5^2-4.1.(3m-1)=29-12m}$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt ${\displaystyle \Rightarrow \mathrm{\Delta }\ge 0\Rightarrow m\le \frac{29}{12}}$

Áp dụng hệ thức Vi-ét $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-5\\ x_1{x}_2=3m-1\end{array}$

Ta có: $x_1^3-x_2^3+3x_1{x}_2=75$

⇔ $(x_1-x_2)({(x_1+x_2)}^2-x_1{x}_2)+3x_1{x}_2=75$

⇒ $(x_1-x_2)(25-x_1{x}_2)+3x_1{x}_2=75$

⇔ $25(x_1-x_2)-(x_1-x_2)x_1{x}_2+3x_1{x}_2=75$

⇒ $x_1-x_2=3$

Kết hợp $x_1+x_2=-5$ suy ra $x_1=-1;x_2=-4$. Thay vào $x_1{x}_2=3m-1$ suy ra $m=\frac{5}{3}$

Vậy $m=\frac{5}{3}$ là giá trị cần tìm.

Câu 4: Cho phương trình $x^2-10mx+9m=0$ (m là tham số)

a) Giải phương trình đã cho với $m=1$.

b) Tìm các giá trị của tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm ${\displaystyle x_1}$, ${\displaystyle x_2}$ thỏa điều kiện $x_1-9x_2=0$.

Lời giải

a) Với $m=1$ phương trình đã cho trở thành $x^2-10x+9=0$

Ta có $a+b+c=0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là $[\begin{array}{l}{x}_1=1\\ x_2=9\end{array}$

b) $\mathrm{\Delta }‘={(-5m)}^2-1.9m=25m^2-9m$

Điều kiện phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là $\mathrm{\Delta }‘>0\iff 25m^2-9m>0$ (*)

Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=10m\\ x_1-9x_2=0\\ x_1{x}_2=9m\end{array}\iff \{\begin{array}{l}10x_2=10m\\ x_1=9x_2\\ x_1{x}_2=9m\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{x}_2=m\\ x_1=9m\\ 9m^2-9m=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{x}_2=m\\ x_1=9m\\ [\begin{array}{c}m=0\\ m=1\end{array}\end{array},(\ast )\Rightarrow m=1$