Chuyên đề phương trình bậc hai một ẩn số

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

I.Định nghĩa

Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng:

ax² + bx +c = 0 

trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trước gọi là các hệ số và a ≠ 0

II. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Phương trình bậc hai ax² + bx +c = 0 (a ≠ 0)

Δ = b² – 4ac

*) Nếu Δ > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt: $ \displaystyle {{x}_{1}}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a};{{x}_{2}}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$

*) Nếu Δ = 0 phương trình có nghiệm kép: $ \displaystyle {{x}_{1}}={{x}_{2}}=\frac{-b}{2a}$

*) Nếu Δ < 0 phương trình vô nghiệm.

III. Công thức nghiệm thu gọn

Phương trình bậc hai ax² + bx +c = 0 (a ≠ 0) và b = 2b’

Δ’ = b’² – ac

*) Nếu Δ’ > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt:

*) Nếu Δ’ = 0 phương trình có nghiệm kép: $ \displaystyle {{x}_{1}}={{x}_{2}}=\frac{-b’}{a}$

*) Nếu Δ’ < 0 phương trình vô nghiệm.

IV. Hệ thức Viet và ứng dụng

1. Nếu x₁; x₂ là hai nghiệm của phương trình ax² + bx +c = 0 (a ≠ 0) thì: $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}\\{{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{a}\end{array} \right.$

2. Muốn tìm hai số u và v, biết u + v = S, uv = P, ta giải phương trình: x2 – Sx + P = 0 (Điều kiện để có u và v là S² – 4P ≥ 0)

3. Nếu a + b + c = 0 thì phương trình ax² + bx +c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm: $ \displaystyle {{x}_{1}}=1;{{x}_{2}}=\frac{c}{a}$

Nếu a – b + c = 0 thì phương trình ax² + bx +c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm: $ \displaystyle {{x}_{1}}=-1;{{x}_{2}}=-\frac{c}{a}$

V. Các bộ điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn đặc điểm cho trước

Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax²+bx+c = 0 (a ≠ 0) có:

1. Có nghiệm (có hai nghiệm) ⇔ Δ ≥ 0
2. Vô nghiệm ⇔ Δ < 0
3. Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau) ⇔ Δ = 0
4. Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau) ⇔ Δ > 0
5. Hai nghiệm cùng dấu ⇔ Δ ≥ 0 và P > 0
6. Hai nghiệm trái dấu ⇔ Δ > 0 và P < 0 ⇔ a.c < 0
7. Hai nghiệm dương(lớn hơn 0) ⇔ Δ ≥ 0; S > 0 và P > 0
8. Hai nghiệm âm(nhỏ hơn 0) ⇔ Δ ≥ 0; S < 0 và P > 0
9. Hai nghiệm đối nhau ⇔ Δ ≥ 0 và S = 0
10. Hai nghiệm nghịch đảo nhau ⇔ Δ ≥ 0 và P = 1
11. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn ⇔ a.c < 0 và S < 0
12. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn ⇔ a.c < 0 và S > 0

B. Một số bài tập có lời giải

Bài 1. Giải các phương trình sau:

a) 2x² -8 = 0

b) 3x² – 5x = 0

c) -2x² + 3x + 5 = 0

d) $ \displaystyle {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2x-6=0$

e) $ \displaystyle {{x}^{4}}+3{{x}^{2}}-4=0$

f) $ \displaystyle \frac{x+2}{x-5}+3=\frac{6}{2-x}$

Giải

a) $ \displaystyle 2{{x}^{2}}-8=0\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}=8\Leftrightarrow {{x}^{2}}=4\Leftrightarrow x=\pm 2$

Vậy phương trình có nghiệm $ \displaystyle x=\pm 2$

b) $ \displaystyle 3{{x}^{2}}-5x=0\Leftrightarrow x(3x-5)\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=0\\3x-5=0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=0\\x=\frac{5}{3}\end{array} \right.$

Vậy phương trình có nghiệm $ \displaystyle x=0;x=\frac{5}{3}$

c) $ \displaystyle -2{{x}^{2}}+3x+5=0$

⇔ $ \displaystyle 2{{x}^{2}}-3x-5=0$

Nhẩm nghiệm :

Ta có : a – b + c =  2 + 3 – 5 = 0 => phương trình có nghiệm: $ \displaystyle {{x}_{1}}=-1;{{x}_{2}}=-\frac{5}{-2}=\frac{5}{2}$

d) $ \displaystyle {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2x-6=0$

⇔ $ \displaystyle ({{x}^{3}}+3{{x}^{2}})-(2x+6)=0$

⇔ $ \displaystyle {{x}^{2}}(x+3)-2(x+3)=0$

⇔ $ \displaystyle (x+3)({{x}^{2}}-2)=0$

⇔ $ \displaystyle \left[ \begin{array}{l}x+3=0\\{{x}^{2}}-2=0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=-3\\{{x}^{2}}=2\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=-3\\x=\pm \sqrt{2}\end{array} \right.$

e) $ \displaystyle {{x}^{4}}+3{{x}^{2}}-4=0$

Đặt $ \displaystyle t={{x}^{2}}(t\ge 0)$ . Ta có phương trình: $ \displaystyle {{t}^{2}}+3t-4=0$

a + b + c = 1 + 3 – 4 = 0

=> phương trình có nghiệm: $ \displaystyle {{t}_{1}}=1>0$ (thỏa mãn); $ \displaystyle {{t}_{2}}=-\frac{4}{1}=-4<0$ (loại)

Với: $ \displaystyle t=1\Leftrightarrow {{x}^{2}}=1\Leftrightarrow x=\pm 1$

Vậy phương trình có nghiệm $ \displaystyle x=\pm 1$

f) $ \displaystyle \frac{x+2}{x-5}+3=\frac{6}{2-x}$

TXĐ: x ≠ 2, x ≠ 5

⇔ $ \displaystyle \frac{(x+2)(2-x)}{(x-5)(2-x)}+\frac{3(x-5)(2-x)}{(x-5)(2-x)}=\frac{6(x-5)}{(x-5)(2-x)}$

⇒ $ \displaystyle (x+2)(2-x)+3(x-5)(2-x)=6(x-5)$

⇔ $ \displaystyle 4-{{x}^{2}}+6x-3{{x}^{2}}-30+15x=6x-30$

⇔ $ \displaystyle -4{{x}^{2}}+15x+4=0$

$ \displaystyle \Delta ={{15}^{2}}-4.(-4).4=225+64=289>0;\sqrt{\Delta }=17$

=> phương trình có hai nghiệm:

$ \displaystyle {{x}_{1}}=\frac{-15+17}{2.(-4)}=-\frac{1}{4}$ (thỏa mãn ĐKXĐ)

$ \displaystyle {{x}_{2}}=\frac{-15-17}{2.(-4)}=4$ (thỏa mãn ĐKXĐ)

Bài 2: Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m : $ \displaystyle {{x}^{2}}+mx+m+3=0$   (1)

a/ Giải phương trình với m = – 2.

b/ Gọi x₁; x₂ là các nghiệm của phương trình. Tính $ \displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2};x_{1}^{3}+x_{2}^{3}$ theo m.

c/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm x₁; x₂ thỏa mãn: $ \displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=9$ .

d/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm x₁; x₂ thỏa mãn : 2x₁ + 3x₂ = 5.

e/ Tìm m để phương trình có nghiệm x₁ = – 3. Tính nghiệm còn lại.

f/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.

g/ Lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào giá trị của m.

HƯỚNG DẪN GIẢI:

a/ Thay m = – 2 vào phương trình (1) ta có phương trình:

$ \displaystyle \begin{array}{l}{{x}^{2}}-2x+1=0\\\Leftrightarrow {{(x-1)}^{2}}=0\\\Leftrightarrow x-1=0\\\Leftrightarrow x=1\end{array}$

Vậy với m = – 2 phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.

b/ Phương trình: $ \displaystyle {{x}^{2}}+mx+m+3=0$   (1)

Ta có: $ \displaystyle \Delta ={{m}^{2}}-4(m+3)={{m}^{2}}-4m-12$

Phương trình có nghiệm $ \displaystyle {{x}_{1}};{{x}_{2}}\Leftrightarrow \Delta \ge 0$

Khi đó theo định lý Vi-et, ta có: $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-m\text{ }(a)\\{{x}_{1}}{{x}_{2}}=m+3\text{  }(b)\end{array} \right.$

*) $ \displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}={{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{(-m)}^{2}}-2(m+3)={{m}^{2}}-2m-6$

*) $ \displaystyle x_{1}^{3}+x_{2}^{3}={{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{3}}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}({{x}_{1}}+{{x}_{2}})={{(-m)}^{3}}-3(m+3)(-m)=-{{m}^{3}}+3{{m}^{2}}+9m$

c/ Theo phần b : Phương trình có nghiệm $ \displaystyle {{x}_{1}};{{x}_{2}}\Leftrightarrow \Delta \ge 0$

Khi đó $ \displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}={{m}^{2}}-2m-6$

Do đó $ \displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=9\Leftrightarrow {{m}^{2}}-2m-6=9\Leftrightarrow {{m}^{2}}-2m-15=0$

Δ’_(m) = (-1)² – 1.(-15) = 1 + 15 = 16 > 0

=> phương trình có hai nghiệm: $ \displaystyle {{m}_{1}}=\frac{1+4}{1}=5;{{m}_{2}}=\frac{1-4}{1}=-3$

Thử lại :

+) Với $ \displaystyle m=5\Rightarrow \Delta =-7<0$  => loại.

+) Với $ \displaystyle m=-3\Rightarrow \Delta =9>0$  => thỏa mãn.

Vậy với m = – 3 thì phương trình có hai nghiệm x₁; x₂ thỏa mãn: $ \displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=9$

d/ Theo phần b : Phương trình có nghiệm $ \displaystyle {{x}_{1}};{{x}_{2}}\Leftrightarrow \Delta \ge 0$

Khi đó theo định lý Vi-et, ta có: $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-m\text{    }(a)\\{{x}_{1}}{{x}_{2}}=m+3\text{     }(b)\end{array} \right.$

Hệ thức: 2x₁ + 3x₂ = 5        (c)

Từ (a) và (c) ta có hệ phương trình:

$ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-m\\2{{x}_{1}}+3{{x}_{2}}=5\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{{x}_{1}}+3{{x}_{2}}=-3m\\2{{x}_{1}}+3{{x}_{2}}=5\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}=-3m-5\\{{x}_{2}}=-m-{{x}_{1}}\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}=-3m-5\\{{x}_{2}}=2m+5\end{array} \right.$

Thay $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}=-3m-5\\{{x}_{2}}=2m+5\end{array} \right.$ vào (b) ta có phương trình :

$ \displaystyle (-3m-5)(2m+5)=m+3$

$ \displaystyle \Leftrightarrow -6{{m}^{2}}-15m-10m-25=m+3$

$ \displaystyle \Leftrightarrow -6{{m}^{2}}-26m-28=0$

$ \displaystyle \Leftrightarrow 3{{m}^{2}}+13m+14=0$

$ \displaystyle {{\Delta }_{(m)}}={{13}^{2}}-4.3.14=1>0$

=> phương trình có hai nghiệm phân biệt: $ \displaystyle {{m}_{1}}=\frac{-13+1}{2.3}=-2$ , $ \displaystyle {{m}_{2}}=\frac{-13-1}{2.3}=-\frac{7}{3}$

Thử lại :

+) Với $ \displaystyle m=-2\Rightarrow \Delta =0$  => thỏa mãn.

+) Với $ \displaystyle m=\frac{-7}{3}\Rightarrow \Delta =\frac{25}{9}>0$ => thỏa mãn.

Vậy với $ \displaystyle m=-2;m=-\frac{7}{3}$ phương trình có hai nghiệm x₁; x₂ thỏa mãn : 2x₁ + 3x₂ = 5.

e/ Phương trình (1) có nghiệm $ \displaystyle {{x}_{1}}=-3$

⇔ $ \displaystyle {{(-3)}^{2}}+m.(-3)+m+3=0\Leftrightarrow -2m+12=0\Leftrightarrow m=6$

Khi đó: $ \displaystyle {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-m\Leftrightarrow {{x}_{2}}=-m-{{x}_{1}}\Leftrightarrow {{x}_{2}}=-6-(-3)\Leftrightarrow {{x}_{2}}=-3$

Vậy với m = 6 thì phương trình có nghiệm x₁ = x₂ = – 3.

f/ Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu  $ \displaystyle \Leftrightarrow ac<0\Leftrightarrow 1.(m+3)<0\Leftrightarrow m+3<0\Leftrightarrow m<-3$

Vậy với m < – 3 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu.

g/ Giả sử phương trình có hai nghiệm x₁; x₂. Khi đó theo định lí Vi-et, ta có :

$ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-m\\{{x}_{1}}{{x}_{2}}=m+3\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m=-{{x}_{1}}-{{x}_{2}}\\m={{x}_{1}}{{x}_{2}}-3\end{array} \right.\Leftrightarrow -{{x}_{1}}-{{x}_{2}}={{x}_{1}}{{x}_{2}}-3$

Vậy hệ thức liên hệ giữa x₁; x₂  không phụ thuộc vào m là: x₁.x₂ + (x₁ + x₂ ) – 3 = 0

Bài 3:  Cho phương trình  (m-1)x² + 2x – 3 = 0   (1) (tham số m)

a) Tìm m để (1) có nghiệm

b) Tìm m để (1) có nghiệm duy nhất? tìm nghiệm duy nhất đó?

c) Tìm m để (1) có 1 nghiệm bằng 2? khi đó hãy tìm nghiệm còn lại(nếu có)?

HƯỚNG DẪN GIẢI:

a) + Nếu m-1 = 0 ⇔ m = 1 thì (1) có dạng 2x – 3 = 0 ⇔ $ \displaystyle x=\frac{3}{2}$ (là nghiệm)

+ Nếu m ≠ 1. Khi đó (1) là phương trình bậc hai có: Δ^’=1²– (-3)(m-1) = 3m-2

(1) có nghiệm ⇔ Δ^’ = 3m-2 ≥ 0 ⇔ $ \displaystyle m\ge \frac{2}{3}$

+ Kết hợp hai trường hợp trên ta có: Với $ \displaystyle m\ge \frac{2}{3}$ thì phương trình có nghiệm

b)

+ Nếu m-1 = 0 ⇔ m = 1 thì (1) có dạng 2x – 3 = 0 ⇔ $ \displaystyle x=\frac{3}{2}$ (là nghiệm)

+ Nếu m ≠ 1. Khi đó (1) là phương trình bậc hai có: Δ^’ = 1- (-3)(m-1) = 3m-2

(1) có nghiệm duy nhất ⇔ Δ^’ = 3m-2 = 0 ⇔ $ \displaystyle m=\frac{2}{3}$ (thoả mãn m ≠ 1)

Khi đó $ \displaystyle x=-\frac{1}{m-1}=-\frac{1}{\frac{2}{3}-1}=3$

+Vậy với m = 1 thì phương trình có nghiệm duy nhất $ \displaystyle x=\frac{3}{2}$

với $ \displaystyle m=\frac{2}{3}$ thì phương trình có nghiệm duy nhất  x = 3

c) Do phương trình có nghiệm x₁ = 2 nên ta có:

(m-1)2² + 2.2 – 3 = 0 ⇔ 4m – 3 = 0 ⇔ $ \displaystyle m=\frac{3}{4}$  Khi đó (1) là phương trình bậc hai (do $ \displaystyle m-1=\frac{3}{4}-1=-\frac{1}{4}\ne 0$)

Theo đinh lí Viet ta có:  x₁.x₂ = $ \displaystyle \frac{-3}{m-1}=\frac{-3}{-\frac{1}{4}}=12$

⇒ x₂ = 6

Vậy $ \displaystyle m=\frac{3}{4}$ và nghiệm còn lại là x₂ = 6

Bài 4:    Cho phương trình:  x² -2(m-1)x  – 3 – m = 0

a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x₁, x₂ với mọi m

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm

d) Tìm m sao cho nghiệm số x₁, x₂ của phương trình thoả mãn x₁²+x₂²

e) Tìm hệ thức liên hệ giữa x₁ và x₂ không phụ thuộc vào m

f) Hãy biểu thị x₁ qua x₂

Bài 5:   Cho phương trình:  x² + 2x + m-1= 0  ( m là tham số)

a) Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x₁; x₂ thoả mãn 3x₁+2x₂ = 1

c) Lập phương trình ẩn y thoả mãn $ \displaystyle {{y}_{1}}={{x}_{1}}+\frac{1}{{{x}_{2}}};{{y}_{2}}={{x}_{2}}+\frac{1}{{{x}_{1}}}$ ; với x₁; x₂ là nghiệm của phương trình ở trên