Chuyên đề: Phương trình trùng phương

Bài viết này nói về Chuyên đề phương trình trùng phương, một dạng phương trình thường xuất hiện trong các đề thi Toán tuyển sinh vào 10.

Các em cùng Toancap2.net học chuyên đề này nhé.

I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT

Cho phương trình: ax⁴ + bx² + c = 0 (a ≠ 0)   (1)

Đặt t = x²  (t ≠ 0) Ta được phương trình: at² + bt + c = 0 (2)

• Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt ⇔ (2) có hai nghiệm dương phân biệt ⇔ $ \left\{ \begin{array}{l}\Delta >0\\P>0\\S>0\end{array} \right.$
• Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt ⇔ (2) có một nghiệm dương và một nghiệm bằng 0 ⇔ $ \left\{ \begin{array}{l}\Delta >0\\P=0\\S>0\end{array} \right.$
• Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt ⇔ (2) có một một nghiệm kép dương hoặc có ai nghiệm trái dấu ⇔ $ \displaystyle \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\Delta =0\\S>0\end{array} \right.\\P<0\end{array} \right.$
• Phương trình (1) có 1 nghiệm ⇔ (2) có một nghiệm kép bằng 0 hoặc có một nghiệm bằng không và nghiệm còn lại âm ⇔ $ \displaystyle \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\Delta =0\\S=0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}P=0\\S<0\end{array} \right.\end{array} \right.$
• Phương trình (1) có 1 nghiệm ⇔ (2) vô nghiệm hoặc có hai nghiệm âm ⇔ $ \displaystyle \left[ \begin{array}{l}\Delta <0\\\left\{ \begin{array}{l}\Delta \ge 0\\P>0\\S<0\end{array} \right.\end{array} \right.$
• Nếu phương trình có 4 nghiệm thì tổng các nghiệm luôn bằng 0 và tích các nghiệm luôn bằng $ \displaystyle \frac{c}{a}$.

II. MỘT SỐ BÀI MẪU

Bài 1: Giải phương trình: $ \displaystyle {{x}^{4}}-13{{x}^{2}}+36=0$ (1)
Giải:
Cách 1: Đặt t = x² ⇒ t ≥ 0 phương trình (1) có dạng :

t²-13t +36 = 0 Ta có
$ \displaystyle \Delta ={{(-13)}^{2}}-4.36=25\Rightarrow \sqrt{\Delta }=5$

⇒ $ \displaystyle {{t}_{1}}=\frac{-(-13)+5}{2}=9$; $ \displaystyle {{t}_{2}}=\frac{-(-13)-5}{2}=4$
• Với t₁ = 9 ⇔ x² = 9 ⇒ $ \displaystyle x=\pm \sqrt{9}=\pm 3$
• Với t₂ = 4 ⇔ x² =4 ⇒ $ \displaystyle x=\pm \sqrt{4}=\pm 2$

Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm : x₁=-2 ; x₂=-3; x₃ =2; x₄ =3.

Cách 2:

$ \displaystyle {{x}^{4}}-13{{x}^{2}}+36=0$

$ \displaystyle \begin{array}{l}\Leftrightarrow ({{x}^{4}}-12{{x}^{2}}+36)-{{x}^{2}}=0\\\Leftrightarrow {{({{x}^{2}}-6)}^{2}}-{{x}^{2}}=0\\\Leftrightarrow ({{x}^{2}}-6-x)({{x}^{2}}-6+x)=0\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{{x}^{2}}-6-x=0\\{{x}^{2}}-6+x=0\end{array} \right.\end{array}$

Giải phương trình : x² –6 –x = 0 ta được 2 nghiệm: x=-2; x= 3.

Giải phương trình :  x² – 6 +x = 0 ta được 2 nghiệm x= 2; x= -3.

Vậy phương  trình (1) có 4 nghiệm : x₁=-3; x₂= -2; x₃=2; x₄ = 3.

III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Giải các phương trình sau:

1) $ \displaystyle {{x}^{4}}+3{{x}^{2}}+4=0$

2) $ \displaystyle {{x}^{4}}+4{{x}^{2}}+3=0$

3) $ \displaystyle 5{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}+2=0$

4) $ \displaystyle {{x}^{4}}+5{{x}^{2}}+6=0$

5) $ \displaystyle 2{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}+2=0$