Dạng 1: Rút gọn biểu thức

I/ Biểu thức số học

Phương pháp:

Dùng các Phương pháp biến đổi căn thức (đưa ra ; đưa vào; ;khử; trục; cộng,trừ căn thức đồng dạng; rút gọn phân số…) để rút gọn biểu thức.

Bài tập: Thực hiện phép tính:

1) 2\sqrt{5}-\sqrt{{125}}-\sqrt{{80}}+\sqrt{{605}};

2) \frac{{10+2\sqrt{{10}}}}{{\sqrt{5}+\sqrt{2}}}+\frac{8}{{1-\sqrt{5}}};

3) \sqrt{{15-\sqrt{{216}}}}+\sqrt{{33-12\sqrt{6}}};

4) \frac{{2\sqrt{8}-\sqrt{{12}}}}{{\sqrt{{18}}-\sqrt{{48}}}}-\frac{{\sqrt{5}+\sqrt{{27}}}}{{\sqrt{{30}}+\sqrt{{162}}}};

5) \sqrt{{\frac{{2-\sqrt{3}}}{{2+\sqrt{3}}}}}+\sqrt{{\frac{{2+\sqrt{3}}}{{2-\sqrt{3}}}}};

6) 2\sqrt{{\frac{{16}}{3}}}-3\sqrt{{\frac{1}{{27}}}}-6\sqrt{{\frac{4}{{75}}}};

7) 2\sqrt{{27}}-6\sqrt{{\frac{4}{3}}}+\frac{3}{5}\sqrt{{75}};

8) \frac{{\sqrt{{3-\sqrt{5}}}.\left( {3+\sqrt{5}} \right)}}{{\sqrt{{10}}+\sqrt{2}}}

9) \sqrt{{8\sqrt{3}}}-2\sqrt{{25\sqrt{{12}}}}+4\sqrt{{\sqrt{{192}}}};

10) \sqrt{{2-\sqrt{3}}}\left( {\sqrt{5}+\sqrt{2}} \right);

11) \sqrt{{3-\sqrt{5}}}+\sqrt{{3+\sqrt{5}}};

12) \sqrt{{4+\sqrt{{10+2\sqrt{5}}}}}+\sqrt{{4-\sqrt{{10+2\sqrt{5}}}}};

13) \left( {5+2\sqrt{6}} \right)\left( {49-20\sqrt{6}} \right)\sqrt{{5-2\sqrt{6}}};

14) \frac{1}{{\sqrt{2}+\sqrt{{2+\sqrt{3}}}}}+\frac{1}{{\sqrt{2}-\sqrt{{2-\sqrt{3}}}}};

15) \frac{{6+4\sqrt{2}}}{{\sqrt{2}+\sqrt{{6+4\sqrt{2}}}}}+\frac{{6-4\sqrt{2}}}{{\sqrt{2}-\sqrt{{6-4\sqrt{2}}}}};

16) \frac{{{{{\left( {\sqrt{5}+2} \right)}}^{2}}-8\sqrt{5}}}{{2\sqrt{5}-4}};

17) \sqrt{{14-8\sqrt{3}}}-\sqrt{{24-12\sqrt{3}}};

18) \frac{4}{{\sqrt{3}+1}}+\frac{1}{{\sqrt{3}-2}}+\frac{6}{{\sqrt{3}-3}};

19) {{\left( {\sqrt{2}+1} \right)}^{3}}-{{\left( {\sqrt{2}-1} \right)}^{3}}

20) \frac{{\sqrt{3}}}{{1-\sqrt{{\sqrt{3}+1}}}}+\frac{{\sqrt{3}}}{{1+\sqrt{{\sqrt{3}+1}}}}.

II/ Biểu thức đại số

Phương pháp:
– Phân tích đa thức tử và mẫu thành nhân tử;
– Tìm ĐKXĐ (Nếu bài toán chưa cho ĐKXĐ)
– Rút gọn từng phân thức(nếu được)
– Thực hiện các phép biến đổi đồng nhất như:
+ Quy đồng(đối với phép cộng trừ) ; nhân ,chia.
+ Bỏ ngoặc: bằng cách nhân đơn ; đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức
+ Thu gọn: cộng, trừ các hạng tử đồng dạng.
+ Phân tích thành nhân tử – rút gọn

Chú ý: – Trong mỗi bài toán rút gọn thường có các câu thuộc các loại toán: Tính giá trị biểu thức; giải Phương trình; bất Phương trình; tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị nguyên; tìm giá trị nhỏ nhất ,lớn nhất…Do vậy ta phải áp dụng các Phương pháp giải tương ứng, thích hợp cho từng loại bài.

Ví dụ:    Cho biểu thức: P=\left( {\frac{1}{{a-\sqrt{a}}}+\frac{1}{{\sqrt{a}-1}}} \right):\frac{{\sqrt{a}+1}}{{a-2\sqrt{a}+1}}

a/ Rút gọn P.

b/ Tìm giá trị  của a để biểu thức P có giá trị nguyên.

Giải:

a/ Rút gọn P: 

– Phân tích:      P=\left[ {\frac{1}{{\sqrt{a}(\sqrt{a}-1)}}+\frac{1}{{\sqrt{a}-1}}} \right]:\frac{{\sqrt{a}+1}}{{{{{(\sqrt{a}-1)}}^{2}}}}

– ĐKXĐ:    \left\{ \begin{array}{l}a>0;\\\sqrt{a}-1\ne 0\Leftrightarrow a\ne 1\end{array} \right.

– Quy đồng:   P=\frac{{1+\sqrt{a}}}{{\sqrt{a}(\sqrt{a}-1)}}.\frac{{{{{(\sqrt{a}-1)}}^{2}}}}{{\sqrt{a}+1}}

–  Rút gọn:    P=\frac{{\sqrt{a}-1}}{{\sqrt{a}}}.

b/ Tìm giá trị của a để P có giá trị nguyên:

– Chia tử cho mẫu ta được:  P=1-\frac{1}{{\sqrt{a}}} .

– Lý luận:  P nguyên\Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt{a}}} nguyên \Leftrightarrow \sqrt{a} là ước của 1 là\pm 1.\Rightarrow \sqrt{a}=\left\{ \begin{array}{l}-1(ktm)\\1\Leftrightarrow a=1\end{array} \right.

Vậy với  a = 1 thì biểu thức P có giá trị nguyên.

Bài tập:

Bài 1:  Cho biểu thức   A =\left( \frac{\sqrt{x}}{2}-\frac{1}{2\sqrt{x}} \right)\left( \frac{x-\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}-\frac{x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1} \right)

a. Rút gọn biểu thức A;

b. Tìm giá trị của x để A > – 6.

Bài 2:  Cho biểu thức  B =\left( {\frac{{\sqrt{x}}}{{x-4}}+\frac{2}{{2-\sqrt{x}}}+\frac{1}{{\sqrt{x}+2}}} \right):\left( {\sqrt{x}-2+\frac{{10-x}}{{\sqrt{x}+2}}} \right)

a) Rút gọn biểu thức B;

b) Tìm giá trị của x để A > 0.

Bài 3:  Cho biểu thức  C =\frac{1}{{\sqrt{x}-1}}-\frac{3}{{x\sqrt{x}+1}}+\frac{1}{{x-\sqrt{x}+1}}

a) Rút gọn biểu thức C;

b) Tìm giá trị của x để C < 1.

Bài 4:  Rút gọn biểu thức :      D =\frac{{x+2+\sqrt{{{{x}^{2}}-4}}}}{{x+2-\sqrt{{{{x}^{2}}-4}}}}+\frac{{x+2-\sqrt{{{{x}^{2}}-4}}}}{{x+2+\sqrt{{{{x}^{2}}-4}}}}

Bài5: Cho các biểu thức: P =\frac{{2x-3\sqrt{x}-2}}{{\sqrt{x}-2}}Q =\frac{{\sqrt{{{{x}^{3}}}}-\sqrt{x}+2x-2}}{{\sqrt{x}+2}}

a) Rút gọn biểu thức P và Q;

b) Tìm giá trị của x để P = Q.

Bài 6: Cho biểu thức: P =\frac{{2x+2}}{{\sqrt{x}}}+\frac{{x\sqrt{x}-1}}{{\text{x}-\sqrt{x}}}-\frac{{x\sqrt{x}+1}}{{\text{x}+\sqrt{x}}}

a) Rút gọn biểu thức P

b) So sánh P với 5.

c) Với mọi giá trị của x làm P có nghĩa, chứng minh biểu thức \frac{8}{\text{P}} chỉ nhận đúng một giá trị nguyên.

Bài 7: Cho biểu thức: P =\left( {\frac{{3x+\sqrt{{9x}}-3}}{{x+\sqrt{x}-2}}+\frac{1}{{\sqrt{x}-1}}+\frac{1}{{\sqrt{x}+2}}} \right):\frac{1}{{\text{x}-1}}

a) Tìm điều kiện để P có nghĩa, rút gọn biểu thức P;

b) Tìm các số tự nhiên x để \frac{1}{\text{P}} là số tự nhiên;

c) Tính giá trị của P với x = 4 – 2\sqrt{3}.

Bài 8: Cho biểu thức : P =\left( {\frac{{\sqrt{x}+2}}{{\text{x}-5\sqrt{x}+6}}-\frac{{\sqrt{x}+3}}{{\text{2}-\sqrt{x}}}-\frac{{\sqrt{x}+2}}{{\sqrt{x}-3}}} \right):\left( {2-\frac{{\sqrt{x}}}{{\sqrt{x}+1}}} \right)

a) Rút gọn biểu thức P;

b/Tìm x để \frac{1}{\text{P}}\le -\frac{5}{2}

Bài 9: Cho biểu thức : P =\left( {\frac{{1-a\sqrt{a}}}{{1-\sqrt{a}}}+\sqrt{a}} \right).\left( {\frac{{1+a\sqrt{a}}}{{1+\sqrt{a}}}-\sqrt{a}} \right)

a) Rút gọn P

b) Tìm a để P<7-4\sqrt{3}

Bài 10: Cho biểu thức: P =\left( {\frac{{2\sqrt{x}}}{{\sqrt{x}+3}}+\frac{{\sqrt{x}}}{{\sqrt{x}-3}}-\frac{{3x+3}}{{x-9}}} \right):\left( {\frac{{2\sqrt{x}-2}}{{\sqrt{x}-3}}-1} \right)

a) Rút gọn P

b) Tìm x để P <\frac{1}{2}

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P

Bài 11: Cho biểu thức : P =\left( {\frac{{x-3\sqrt{x}}}{{x-9}}-1} \right):\left( {\frac{{9-x}}{{x+\sqrt{x}-6}}-\frac{{\sqrt{x}-3}}{{2-\sqrt{x}}}-\frac{{\sqrt{x}-2}}{{\sqrt{x}+3}}} \right)

a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của x để P<1

Bài 12: Cho biểu thức : P =\frac{{15\sqrt{x}-11}}{{x+2\sqrt{x}-3}}+\frac{{3\sqrt{x}-2}}{{1-\sqrt{x}}}-\frac{{2\sqrt{x}+3}}{{\sqrt{x}+3}}

a) Rút gọn P

b) Tìm các giá trị của x để P=\frac{1}{2}

c) Chứng minh P\le \frac{2}{3}

Bài 13: Cho biểu thức: P =\frac{{2\sqrt{x}}}{{\sqrt{x}+m}}+\frac{{\sqrt{x}}}{{\sqrt{x}-m}}-\frac{{{{m}^{2}}}}{{4x-4{{m}^{2}}}} với m > 0

a) Rút gọn P

b) Tính x theo m để P = 0.

c) Xác định các giá trị của m để x tìm được ở câu b thoả mãn điều kiện x >1

Bài 14: Cho biểu thức : P =\frac{{{{a}^{2}}+\sqrt{a}}}{{a-\sqrt{a}+1}}-\frac{{2a+\sqrt{a}}}{{\sqrt{a}}}+1

a) Rút gọn P

b) Tìm a để P = 2

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P ?

Bài 15: Cho biểu thức P = \left( {\frac{{\sqrt{a}+1}}{{\sqrt{{ab}}+1}}+\frac{{\sqrt{{ab}}+\sqrt{a}}}{{\sqrt{{ab}}-1}}-1} \right):\left( {\frac{{\sqrt{a}+1}}{{\sqrt{{ab}}+1}}-\frac{{\sqrt{{ab}}+\sqrt{a}}}{{\sqrt{{ab}}-1}}+1} \right)

a) Rút gọn P

b) Tính giá trị của P nếu a =2-\sqrt{3} và b =\frac{{\sqrt{3}-1}}{{1+\sqrt{3}}}

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu \sqrt{a}+\sqrt{b}=4

Bài 16: Cho biểu thức : P =\frac{{a\sqrt{a}-1}}{{a-\sqrt{a}}}-\frac{{a\sqrt{a}+1}}{{a+\sqrt{a}}}+\left( {\sqrt{a}-\frac{1}{{\sqrt{a}}}} \right)\left( {\frac{{\sqrt{a}+1}}{{\sqrt{a}-1}}+\frac{{\sqrt{a}-1}}{{\sqrt{a}+1}}} \right)

a) Rút gọn P

b) Với giá trị nào của a thì P = 7

c) Với giá trị nào của a thì P > 6

Bài 17: Cho biểu thức:  P = {{\left( {\frac{{\sqrt{a}}}{2}-\frac{1}{{2\sqrt{a}}}} \right)}^{2}}\left( {\frac{{\sqrt{a}-1}}{{\sqrt{a}+1}}-\frac{{\sqrt{a}+1}}{{\sqrt{a}-1}}} \right)

a) Rút gọn P

b) Tìm các giá trị của a để P < 0

c) Tìm các giá trị của a để P = -2

Bài 18: Cho biểu thức: P =\frac{{{{{\left( {\sqrt{a}-\sqrt{b}} \right)}}^{2}}+4\sqrt{{ab}}}}{{\sqrt{a}+\sqrt{b}}}.\frac{{a\sqrt{b}-b\sqrt{a}}}{{\sqrt{{ab}}}}

a) Tìm điều kiện để P có nghĩa.

b) Rút gọn P

c) Tính giá trị của P khi a =2\sqrt{3} và b =\sqrt{3}

Bài 19: Cho biểu thức :     P =\left( {\frac{{x+2}}{{x\sqrt{x}-1}}+\frac{{\sqrt{x}}}{{x+\sqrt{x}+1}}+\frac{1}{{1-\sqrt{x}}}} \right):\frac{{\sqrt{x}-1}}{2}

a) Rút gọn P

b) Chứng minh rằng P > 0 \forallx \ne 1

Bài 20: Cho biểu thức : P =\left( {\frac{{2\sqrt{x}+x}}{{x\sqrt{x}-1}}-\frac{1}{{\sqrt{x}-1}}} \right):\left( {1-\frac{{\sqrt{x}+2}}{{x+\sqrt{x}+1}}} \right)

a) Rút gọn P

b) Tính \sqrt{P} khi x =5+2\sqrt{3}

Bài 21: Cho biểu thức:  P =1:\left( {\frac{1}{{2+\sqrt{x}}}+\frac{{\frac{{3x}}{2}}}{{4-x}}-\frac{2}{{4-2\sqrt{x}}}} \right):\frac{1}{{4-2\sqrt{x}}}

a) Rút gọn P

b) Tìm giá trị của x để P = 20

Bài 22: Cho biểu thức : P =\left( {\frac{{x-y}}{{\sqrt{x}-\sqrt{y}}}+\frac{{\sqrt{{{{x}^{3}}}}-\sqrt{{{{y}^{3}}}}}}{{y-x}}} \right):\frac{{{{{\left( {\sqrt{x}-\sqrt{y}} \right)}}^{2}}+\sqrt{{xy}}}}{{\sqrt{x}+\sqrt{y}}}

a) Rút gọn P

b) Chứng minh P \ge 0

Bài 23: Cho biểu thức :

P =\left( {\frac{1}{{\sqrt{a}+\sqrt{b}}}+\frac{{3\sqrt{{ab}}}}{{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}}} \right).\left[ {\left( {\frac{1}{{\sqrt{a}-\sqrt{b}}}-\frac{{3\sqrt{{ab}}}}{{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}}}} \right):\frac{{a-b}}{{a+\sqrt{{ab}}+b}}} \right]

a) Rút gọn P

b) Tính P khi a =16 và b = 4

Bài 24: Cho biểu thức: P =1+\left( {\frac{{2a+\sqrt{a}-1}}{{1-a}}-\frac{{2a\sqrt{a}-\sqrt{a}+a}}{{1-a\sqrt{a}}}} \right).\frac{{a-\sqrt{a}}}{{2\sqrt{a}-1}}

a) Rút gọn P

b) Cho P =\frac{{\sqrt{6}}}{{1+\sqrt{6}}} tìm giá trị của a

c) Chứng minh rằng P >\frac{2}{3}

Bài 25: Cho biểu thức: P =\left( {\frac{{x-5\sqrt{x}}}{{x-25}}-1} \right):\left( {\frac{{25-x}}{{x+2\sqrt{x}-15}}-\frac{{\sqrt{x}+3}}{{\sqrt{x}+5}}+\frac{{\sqrt{x}-5}}{{\sqrt{x}-3}}} \right)

a) Rút gọn P

b) Với giá trị nào của x thì P < 1

Bài 26: Cho biểu thức:  P =\left( {\frac{{3\sqrt{a}}}{{a+\sqrt{{ab}}+b}}-\frac{{3a}}{{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}}}+\frac{1}{{\sqrt{a}-\sqrt{b}}}} \right):\frac{{\left( {a-1} \right).\left( {\sqrt{a}-\sqrt{b}} \right)}}{{2a+2\sqrt{{ab}}+2b}}

a) Rút gọn P

b) Tìm những giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên

Bài 27: Cho biểu thức:    P =\left( {\frac{1}{{\sqrt{a}-1}}-\frac{1}{{\sqrt{a}}}} \right):\left( {\frac{{\sqrt{a}+1}}{{\sqrt{a}-2}}-\frac{{\sqrt{a}+2}}{{\sqrt{{a-1}}}}} \right)

a) Rút gọn P

b) Tìm giá trị của a để P >\frac{1}{6}

Bài 28: Cho biểu thức:  P =\left[ {\left( {\frac{1}{{\sqrt{x}}}+\frac{1}{{\sqrt{y}}}} \right).\frac{2}{{\sqrt{x}+\sqrt{y}}}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}} \right]:\frac{{\sqrt{{{{x}^{3}}}}+y\sqrt{x}+x\sqrt{y}+\sqrt{{{{y}^{3}}}}}}{{\sqrt{{{{x}^{3}}y}}+\sqrt{{x{{y}^{3}}}}}}

a) Rút gọn P

b) Cho x.y=16. Xác định x,y để P có giá trị nhỏ nhất

Bài 29: Cho biểu thức:  P = \frac{{\sqrt{{{{x}^{3}}}}}}{{\sqrt{{xy}}-2y}}-\frac{{2x}}{{x+\sqrt{x}-2\sqrt{{xy}}-2\sqrt{y}}}.\frac{{1-x}}{{1-\sqrt{x}}}

a) Rút gọn P

b) Tìm tất cả các số nguyên dương x để y=625 và P<0,2

Bài 30:  Cho biểu thức:  P =1:\left( {\frac{{x+2}}{{x\sqrt{x}-1}}+\frac{{\sqrt{x}+1}}{{x+\sqrt{x}+1}}-\frac{{\sqrt{x}+1}}{{x-1}}} \right).

a) Rút gọn P

b) So sánh P với 3

Bài cùng series:Dạng 2: Đồ thị hàm số bậc nhất và bậc hai >>

Ghi chú:

Mọi thắc mắc, yêu cầu cần giải đáp, hỗ trợ giải toán vui lòng gửi về email toancap2.net@gmail.com hoặc inbox fanpage Toán cấp 2:

Và tham gia nhóm Giải toán cấp 2 để hỗ trợ nhau giải các bài toán lớp 6, 7, 8, 9: https://www.facebook.com/groups/2158306784220150

2 Comments

Add a Comment
  1. Cảm ơn Toán cấp 2 đã đưa lên dạng toán này.

  2. Dạng toán hay cơ bản dành cho học sinh lớp 9.

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Toán cấp 2 © 2012 Toán cấp 2