Dạng 1: Rút gọn biểu thức

I/ Biểu thức số học

Phương pháp:

Dùng các Phương pháp biến đổi căn thức (đưa ra ; đưa vào; ;khử; trục; cộng,trừ căn thức đồng dạng; rút gọn phân số…) để rút gọn biểu thức.

Bài tập: Thực hiện phép tính:

1) 2\sqrt{5}-\sqrt{{125}}-\sqrt{{80}}+\sqrt{{605}};

2) \frac{{10+2\sqrt{{10}}}}{{\sqrt{5}+\sqrt{2}}}+\frac{8}{{1-\sqrt{5}}};

3) \sqrt{{15-\sqrt{{216}}}}+\sqrt{{33-12\sqrt{6}}};

4) \frac{{2\sqrt{8}-\sqrt{{12}}}}{{\sqrt{{18}}-\sqrt{{48}}}}-\frac{{\sqrt{5}+\sqrt{{27}}}}{{\sqrt{{30}}+\sqrt{{162}}}};

5) \sqrt{{\frac{{2-\sqrt{3}}}{{2+\sqrt{3}}}}}+\sqrt{{\frac{{2+\sqrt{3}}}{{2-\sqrt{3}}}}};

6) 2\sqrt{{\frac{{16}}{3}}}-3\sqrt{{\frac{1}{{27}}}}-6\sqrt{{\frac{4}{{75}}}};

7) 2\sqrt{{27}}-6\sqrt{{\frac{4}{3}}}+\frac{3}{5}\sqrt{{75}};

8) \frac{{\sqrt{{3-\sqrt{5}}}.\left( {3+\sqrt{5}} \right)}}{{\sqrt{{10}}+\sqrt{2}}}

9) \sqrt{{8\sqrt{3}}}-2\sqrt{{25\sqrt{{12}}}}+4\sqrt{{\sqrt{{192}}}};

10) \sqrt{{2-\sqrt{3}}}\left( {\sqrt{5}+\sqrt{2}} \right);

11) \sqrt{{3-\sqrt{5}}}+\sqrt{{3+\sqrt{5}}};

12) \sqrt{{4+\sqrt{{10+2\sqrt{5}}}}}+\sqrt{{4-\sqrt{{10+2\sqrt{5}}}}};

13) \left( {5+2\sqrt{6}} \right)\left( {49-20\sqrt{6}} \right)\sqrt{{5-2\sqrt{6}}};

14) \frac{1}{{\sqrt{2}+\sqrt{{2+\sqrt{3}}}}}+\frac{1}{{\sqrt{2}-\sqrt{{2-\sqrt{3}}}}};

15) \frac{{6+4\sqrt{2}}}{{\sqrt{2}+\sqrt{{6+4\sqrt{2}}}}}+\frac{{6-4\sqrt{2}}}{{\sqrt{2}-\sqrt{{6-4\sqrt{2}}}}};

16) \frac{{{{{\left( {\sqrt{5}+2} \right)}}^{2}}-8\sqrt{5}}}{{2\sqrt{5}-4}};

17) \sqrt{{14-8\sqrt{3}}}-\sqrt{{24-12\sqrt{3}}};

18) \frac{4}{{\sqrt{3}+1}}+\frac{1}{{\sqrt{3}-2}}+\frac{6}{{\sqrt{3}-3}};

19) {{\left( {\sqrt{2}+1} \right)}^{3}}-{{\left( {\sqrt{2}-1} \right)}^{3}}

20) \frac{{\sqrt{3}}}{{1-\sqrt{{\sqrt{3}+1}}}}+\frac{{\sqrt{3}}}{{1+\sqrt{{\sqrt{3}+1}}}}.

II/ Biểu thức đại số

Phương pháp:
– Phân tích đa thức tử và mẫu thành nhân tử;
– Tìm ĐKXĐ (Nếu bài toán chưa cho ĐKXĐ)
– Rút gọn từng phân thức(nếu được)
– Thực hiện các phép biến đổi đồng nhất như:
+ Quy đồng(đối với phép cộng trừ) ; nhân ,chia.
+ Bỏ ngoặc: bằng cách nhân đơn ; đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức
+ Thu gọn: cộng, trừ các hạng tử đồng dạng.
+ Phân tích thành nhân tử – rút gọn

Chú ý: – Trong mỗi bài toán rút gọn thường có các câu thuộc các loại toán: Tính giá trị biểu thức; giải Phương trình; bất Phương trình; tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị nguyên; tìm giá trị nhỏ nhất ,lớn nhất…Do vậy ta phải áp dụng các Phương pháp giải tương ứng, thích hợp cho từng loại bài.

Ví dụ:    Cho biểu thức: P=\left( {\frac{1}{{a-\sqrt{a}}}+\frac{1}{{\sqrt{a}-1}}} \right):\frac{{\sqrt{a}+1}}{{a-2\sqrt{a}+1}}

a/ Rút gọn P.

b/ Tìm giá trị  của a để biểu thức P có giá trị nguyên.

Giải:

a/ Rút gọn P: 

– Phân tích:      P=\left[ {\frac{1}{{\sqrt{a}(\sqrt{a}-1)}}+\frac{1}{{\sqrt{a}-1}}} \right]:\frac{{\sqrt{a}+1}}{{{{{(\sqrt{a}-1)}}^{2}}}}

– ĐKXĐ:    \left\{ \begin{array}{l}a>0;\\\sqrt{a}-1\ne 0\Leftrightarrow a\ne 1\end{array} \right.

– Quy đồng:   P=\frac{{1+\sqrt{a}}}{{\sqrt{a}(\sqrt{a}-1)}}.\frac{{{{{(\sqrt{a}-1)}}^{2}}}}{{\sqrt{a}+1}}

–  Rút gọn:    P=\frac{{\sqrt{a}-1}}{{\sqrt{a}}}.

b/ Tìm giá trị của a để P có giá trị nguyên:

– Chia tử cho mẫu ta được:  P=1-\frac{1}{{\sqrt{a}}} .

– Lý luận:  P nguyên\Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt{a}}} nguyên \Leftrightarrow \sqrt{a} là ước của 1 là\pm 1.\Rightarrow \sqrt{a}=\left\{ \begin{array}{l}-1(ktm)\\1\Leftrightarrow a=1\end{array} \right.

Vậy với  a = 1 thì biểu thức P có giá trị nguyên.

Bài tập:

Bài 1:  Cho biểu thức   A =\left( \frac{\sqrt{x}}{2}-\frac{1}{2\sqrt{x}} \right)\left( \frac{x-\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}-\frac{x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1} \right)

a. Rút gọn biểu thức A;

b. Tìm giá trị của x để A > – 6.

Bài 2:  Cho biểu thức  B =\left( {\frac{{\sqrt{x}}}{{x-4}}+\frac{2}{{2-\sqrt{x}}}+\frac{1}{{\sqrt{x}+2}}} \right):\left( {\sqrt{x}-2+\frac{{10-x}}{{\sqrt{x}+2}}} \right)

a) Rút gọn biểu thức B;

b) Tìm giá trị của x để A > 0.

Bài 3:  Cho biểu thức  C =\frac{1}{{\sqrt{x}-1}}-\frac{3}{{x\sqrt{x}+1}}+\frac{1}{{x-\sqrt{x}+1}}

a) Rút gọn biểu thức C;

b) Tìm giá trị của x để C < 1.

Bài 4:  Rút gọn biểu thức :      D =\frac{{x+2+\sqrt{{{{x}^{2}}-4}}}}{{x+2-\sqrt{{{{x}^{2}}-4}}}}+\frac{{x+2-\sqrt{{{{x}^{2}}-4}}}}{{x+2+\sqrt{{{{x}^{2}}-4}}}}

Bài5: Cho các biểu thức: P =\frac{{2x-3\sqrt{x}-2}}{{\sqrt{x}-2}}Q =\frac{{\sqrt{{{{x}^{3}}}}-\sqrt{x}+2x-2}}{{\sqrt{x}+2}}

a) Rút gọn biểu thức P và Q;

b) Tìm giá trị của x để P = Q.

Bài 6: Cho biểu thức: P =\frac{{2x+2}}{{\sqrt{x}}}+\frac{{x\sqrt{x}-1}}{{\text{x}-\sqrt{x}}}-\frac{{x\sqrt{x}+1}}{{\text{x}+\sqrt{x}}}

a) Rút gọn biểu thức P

b) So sánh P với 5.

c) Với mọi giá trị của x làm P có nghĩa, chứng minh biểu thức \frac{8}{\text{P}} chỉ nhận đúng một giá trị nguyên.

Bài 7: Cho biểu thức: P =\left( {\frac{{3x+\sqrt{{9x}}-3}}{{x+\sqrt{x}-2}}+\frac{1}{{\sqrt{x}-1}}+\frac{1}{{\sqrt{x}+2}}} \right):\frac{1}{{\text{x}-1}}

a) Tìm điều kiện để P có nghĩa, rút gọn biểu thức P;

b) Tìm các số tự nhiên x để \frac{1}{\text{P}} là số tự nhiên;

c) Tính giá trị của P với x = 4 – 2\sqrt{3}.

Bài 8: Cho biểu thức : P =\left( {\frac{{\sqrt{x}+2}}{{\text{x}-5\sqrt{x}+6}}-\frac{{\sqrt{x}+3}}{{\text{2}-\sqrt{x}}}-\frac{{\sqrt{x}+2}}{{\sqrt{x}-3}}} \right):\left( {2-\frac{{\sqrt{x}}}{{\sqrt{x}+1}}} \right)

a) Rút gọn biểu thức P;

b/Tìm x để \frac{1}{\text{P}}\le -\frac{5}{2}

Bài 9: Cho biểu thức : P =\left( {\frac{{1-a\sqrt{a}}}{{1-\sqrt{a}}}+\sqrt{a}} \right).\left( {\frac{{1+a\sqrt{a}}}{{1+\sqrt{a}}}-\sqrt{a}} \right)

a) Rút gọn P

b) Tìm a để P<7-4\sqrt{3}

Bài 10: Cho biểu thức: P =\left( {\frac{{2\sqrt{x}}}{{\sqrt{x}+3}}+\frac{{\sqrt{x}}}{{\sqrt{x}-3}}-\frac{{3x+3}}{{x-9}}} \right):\left( {\frac{{2\sqrt{x}-2}}{{\sqrt{x}-3}}-1} \right)

a) Rút gọn P

b) Tìm x để P <\frac{1}{2}

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P

Bài 11: Cho biểu thức : P =\left( {\frac{{x-3\sqrt{x}}}{{x-9}}-1} \right):\left( {\frac{{9-x}}{{x+\sqrt{x}-6}}-\frac{{\sqrt{x}-3}}{{2-\sqrt{x}}}-\frac{{\sqrt{x}-2}}{{\sqrt{x}+3}}} \right)

a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của x để P<1

Bài 12: Cho biểu thức : P =\frac{{15\sqrt{x}-11}}{{x+2\sqrt{x}-3}}+\frac{{3\sqrt{x}-2}}{{1-\sqrt{x}}}-\frac{{2\sqrt{x}+3}}{{\sqrt{x}+3}}

a) Rút gọn P

b) Tìm các giá trị của x để P=\frac{1}{2}

c) Chứng minh P\le \frac{2}{3}

Bài 13: Cho biểu thức: P =\frac{{2\sqrt{x}}}{{\sqrt{x}+m}}+\frac{{\sqrt{x}}}{{\sqrt{x}-m}}-\frac{{{{m}^{2}}}}{{4x-4{{m}^{2}}}} với m > 0

a) Rút gọn P

b) Tính x theo m để P = 0.

c) Xác định các giá trị của m để x tìm được ở câu b thoả mãn điều kiện x >1

Bài 14: Cho biểu thức : P =\frac{{{{a}^{2}}+\sqrt{a}}}{{a-\sqrt{a}+1}}-\frac{{2a+\sqrt{a}}}{{\sqrt{a}}}+1

a) Rút gọn P

b) Tìm a để P = 2

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P ?

Bài 15: Cho biểu thức P = \left( {\frac{{\sqrt{a}+1}}{{\sqrt{{ab}}+1}}+\frac{{\sqrt{{ab}}+\sqrt{a}}}{{\sqrt{{ab}}-1}}-1} \right):\left( {\frac{{\sqrt{a}+1}}{{\sqrt{{ab}}+1}}-\frac{{\sqrt{{ab}}+\sqrt{a}}}{{\sqrt{{ab}}-1}}+1} \right)

a) Rút gọn P

b) Tính giá trị của P nếu a =2-\sqrt{3} và b =\frac{{\sqrt{3}-1}}{{1+\sqrt{3}}}

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu \sqrt{a}+\sqrt{b}=4

Bài 16: Cho biểu thức : P =\frac{{a\sqrt{a}-1}}{{a-\sqrt{a}}}-\frac{{a\sqrt{a}+1}}{{a+\sqrt{a}}}+\left( {\sqrt{a}-\frac{1}{{\sqrt{a}}}} \right)\left( {\frac{{\sqrt{a}+1}}{{\sqrt{a}-1}}+\frac{{\sqrt{a}-1}}{{\sqrt{a}+1}}} \right)

a) Rút gọn P

b) Với giá trị nào của a thì P = 7

c) Với giá trị nào của a thì P > 6

Bài 17: Cho biểu thức:  P = {{\left( {\frac{{\sqrt{a}}}{2}-\frac{1}{{2\sqrt{a}}}} \right)}^{2}}\left( {\frac{{\sqrt{a}-1}}{{\sqrt{a}+1}}-\frac{{\sqrt{a}+1}}{{\sqrt{a}-1}}} \right)

a) Rút gọn P

b) Tìm các giá trị của a để P < 0

c) Tìm các giá trị của a để P = -2

Bài 18: Cho biểu thức: P =\frac{{{{{\left( {\sqrt{a}-\sqrt{b}} \right)}}^{2}}+4\sqrt{{ab}}}}{{\sqrt{a}+\sqrt{b}}}.\frac{{a\sqrt{b}-b\sqrt{a}}}{{\sqrt{{ab}}}}

a) Tìm điều kiện để P có nghĩa.

b) Rút gọn P

c) Tính giá trị của P khi a =2\sqrt{3} và b =\sqrt{3}

Bài 19: Cho biểu thức :     P =\left( {\frac{{x+2}}{{x\sqrt{x}-1}}+\frac{{\sqrt{x}}}{{x+\sqrt{x}+1}}+\frac{1}{{1-\sqrt{x}}}} \right):\frac{{\sqrt{x}-1}}{2}

a) Rút gọn P

b) Chứng minh rằng P > 0 \forallx \ne 1

Bài 20: Cho biểu thức : P =\left( {\frac{{2\sqrt{x}+x}}{{x\sqrt{x}-1}}-\frac{1}{{\sqrt{x}-1}}} \right):\left( {1-\frac{{\sqrt{x}+2}}{{x+\sqrt{x}+1}}} \right)

a) Rút gọn P

b) Tính \sqrt{P} khi x =5+2\sqrt{3}

Bài 21: Cho biểu thức:  P =1:\left( {\frac{1}{{2+\sqrt{x}}}+\frac{{\frac{{3x}}{2}}}{{4-x}}-\frac{2}{{4-2\sqrt{x}}}} \right):\frac{1}{{4-2\sqrt{x}}}

a) Rút gọn P

b) Tìm giá trị của x để P = 20

Bài 22: Cho biểu thức : P =\left( {\frac{{x-y}}{{\sqrt{x}-\sqrt{y}}}+\frac{{\sqrt{{{{x}^{3}}}}-\sqrt{{{{y}^{3}}}}}}{{y-x}}} \right):\frac{{{{{\left( {\sqrt{x}-\sqrt{y}} \right)}}^{2}}+\sqrt{{xy}}}}{{\sqrt{x}+\sqrt{y}}}

a) Rút gọn P

b) Chứng minh P \ge 0

Bài 23: Cho biểu thức :

P =\left( {\frac{1}{{\sqrt{a}+\sqrt{b}}}+\frac{{3\sqrt{{ab}}}}{{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}}} \right).\left[ {\left( {\frac{1}{{\sqrt{a}-\sqrt{b}}}-\frac{{3\sqrt{{ab}}}}{{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}}}} \right):\frac{{a-b}}{{a+\sqrt{{ab}}+b}}} \right]

a) Rút gọn P

b) Tính P khi a =16 và b = 4

Bài 24: Cho biểu thức: P =1+\left( {\frac{{2a+\sqrt{a}-1}}{{1-a}}-\frac{{2a\sqrt{a}-\sqrt{a}+a}}{{1-a\sqrt{a}}}} \right).\frac{{a-\sqrt{a}}}{{2\sqrt{a}-1}}

a) Rút gọn P

b) Cho P =\frac{{\sqrt{6}}}{{1+\sqrt{6}}} tìm giá trị của a

c) Chứng minh rằng P >\frac{2}{3}

Bài 25: Cho biểu thức: P =\left( {\frac{{x-5\sqrt{x}}}{{x-25}}-1} \right):\left( {\frac{{25-x}}{{x+2\sqrt{x}-15}}-\frac{{\sqrt{x}+3}}{{\sqrt{x}+5}}+\frac{{\sqrt{x}-5}}{{\sqrt{x}-3}}} \right)

a) Rút gọn P

b) Với giá trị nào của x thì P < 1

Bài 26: Cho biểu thức:  P =\left( {\frac{{3\sqrt{a}}}{{a+\sqrt{{ab}}+b}}-\frac{{3a}}{{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}}}+\frac{1}{{\sqrt{a}-\sqrt{b}}}} \right):\frac{{\left( {a-1} \right).\left( {\sqrt{a}-\sqrt{b}} \right)}}{{2a+2\sqrt{{ab}}+2b}}

a) Rút gọn P

b) Tìm những giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên

Bài 27: Cho biểu thức:    P =\left( {\frac{1}{{\sqrt{a}-1}}-\frac{1}{{\sqrt{a}}}} \right):\left( {\frac{{\sqrt{a}+1}}{{\sqrt{a}-2}}-\frac{{\sqrt{a}+2}}{{\sqrt{{a-1}}}}} \right)

a) Rút gọn P

b) Tìm giá trị của a để P >\frac{1}{6}

Bài 28: Cho biểu thức:  P =\left[ {\left( {\frac{1}{{\sqrt{x}}}+\frac{1}{{\sqrt{y}}}} \right).\frac{2}{{\sqrt{x}+\sqrt{y}}}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}} \right]:\frac{{\sqrt{{{{x}^{3}}}}+y\sqrt{x}+x\sqrt{y}+\sqrt{{{{y}^{3}}}}}}{{\sqrt{{{{x}^{3}}y}}+\sqrt{{x{{y}^{3}}}}}}

a) Rút gọn P

b) Cho x.y=16. Xác định x,y để P có giá trị nhỏ nhất

Bài 29: Cho biểu thức:  P = \frac{{\sqrt{{{{x}^{3}}}}}}{{\sqrt{{xy}}-2y}}-\frac{{2x}}{{x+\sqrt{x}-2\sqrt{{xy}}-2\sqrt{y}}}.\frac{{1-x}}{{1-\sqrt{x}}}

a) Rút gọn P

b) Tìm tất cả các số nguyên dương x để y=625 và P<0,2

Bài 30:  Cho biểu thức:  P =1:\left( {\frac{{x+2}}{{x\sqrt{x}-1}}+\frac{{\sqrt{x}+1}}{{x+\sqrt{x}+1}}-\frac{{\sqrt{x}+1}}{{x-1}}} \right).

a) Rút gọn P

b) So sánh P với 3

Bài cùng series:Dạng 2: Đồ thị hàm số bậc nhất và bậc hai >>

Ghi chú:

Mọi thắc mắc, yêu cầu cần giải đáp, hỗ trợ giải toán vui lòng gửi về email toancap2.net@gmail.com hoặc inbox fanpage Toán cấp 2.

Và tham gia nhóm Giải toán cấp 2 để hỗ trợ nhau giải các bài toán lớp 6, 7, 8, 9: https://www.facebook.com/groups/2158306784220150

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Toán cấp 2 © 2012 Toán cấp 2