Đề thi học sinh giỏi Toán 6 số 6

Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian chép đề)

Bài 1:(1,5đ)  Tìm x

a) 5^x = 125;                b) 3^2x = 81 ;                             c)  5^2x-3 – 2.5² = 5².3

Bài 2: (1,5đ)  Cho a là số nguyên. Chứng minh rằng: |a| < 5 ⇔ -5 < a < 5

Bài 3: (1,5đ) Cho a là một số nguyên. Chứng minh rằng:

a. Nếu a dương thì số liền sau a cũng dương.

b. Nếu a âm thì số liền trước a cũng âm.

c. Có thể kết luận gì về số liền trước của một số dương và số liền sau của một số âm?

Bài 4: (2đ)Cho 31 số nguyên trong đó tổng của 5 số bất kỳ là một số dương. Chứng minh rằng tổng của 31 số đó là số dương.

Bài 5: (2đ)

Cho các số tự nhiên từ 1 đến 11 được viết theo thứ tự tuỳ ý sau đó đem cộng mỗi số với số chỉ thứ tự của nó ta được một tổng. Chứng minh rằng trong các tổng nhận được, bao giờ cũng tìm ra hai tổng mà hiệu của chúng là một số chia hết cho 10.

Bài 6: (1,5đ)

Cho tia Ox. Trên hai nữa mặt phẳng đối nhău có bờ là Ox. Vẽ hai tia Oy và Oz sao cho góc xOy và xOz bắng 120⁰. Chứng minh rằng:

a. $ \widehat{xOy}=\widehat{xOz}=\widehat{yOz}$

b. Tia đối của mỗi tia Ox, Oy, Oz là phân giác của góc hợp bởi hai tia còn lại.

Đáp án đề số 6

Bài 1 (1,5đ)

a) 5^x = 125 5^x = 5³ => x = 3

b) 3^2x = 81 => 3^2x = 3⁴ => 2x = 4 => x = 2

c) 5^2x-3 – 2.5² = 5².3

5^2x: 5³ = 5².3 + 2.5²                                                             

5^2x: 5³ = 5².5

5^2x = 5².5.5³

5^2x = 5⁶ => 2x = 6 => x=3

Bài 2. Vì |a| là một số tự nhiên với mọi a ∈ Z nên từ |a| < 5 ta

=> |a| = {0,1,2,3,4}.

Nghĩa là a ={0,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4}. Biểu diễn trên trục số cácc số này đều  lớn hơn -5 và nhỏ hơn 5 do đó -5<a<5.

Bài 3.

a) Nếu a dương thì số liền sau cũng dương.

Ta có: Nếu a dương thì a>0  số liền sau a lớn hơn a nên cũng lớn hơn 0 nên là số dương

b) Nếu a âm thì số liền trước a cũng âm.

Ta có: Nếu a âm thì a<0 số liền trước a nhỏ hơn a nên cũng nhỏ hơn 0 nên là số âm.

Bài 4 (2đ). Trong các số đã cho ít nhất có 1 số dương vì nếu trái lại tất cả đều là số âm thì tổng của 5 số bất kỳ trong chúng sẽ là số âm trái với giả thiết.

Tách riêng số dương đó còn 30 số chia làm 6 nhóm. Theo đề bài tổng các số của mỗi nhóm đều là số dương nên tổng của 6 nhóm đều là số dương và do đó tổng của 31 số đã cho đều là số dương.

Bài 5 (2đ): Vì có 11 tổng mà chỉ có thể có 10 chữ số tận cùng đều là các số từ  0 , 1 ,2, …., 9 nên luôn tìm được hai tổng có chữ số tận cùng giống nhau nên hiệu của chúng là một số nguyên có tận cùng là 0 và là số chia hết cho 10.

Bài 6 (1,5đ).Ta có: $ \widehat{{{x}^{‘}}Oy}={{60}^{0}},\widehat{{{x}^{‘}}Oz}={{60}^{0}}$ và tia Ox’ nằm giữa hai tia Oy, Oz nên $ \widehat{yOz}=\widehat{yO{{x}^{‘}}}+\widehat{{{x}^{‘}}Oz}={{120}^{0}}$ vậy $ \displaystyle \widehat{xOy}=\widehat{yOz}=\widehat{zOx}$

Do tia Ox’ nằm giữa hai tia Oy, Oz và $ \widehat{{{x}^{‘}}Oy}=\widehat{{{x}^{‘}}Oz}$ nên Ox’ là tia phân giác của góc hợp bởi hai tia Oy, Oz.

Tương tự tia Oy’ (tia đối của Oy) và tia Oz’ (tia đối của tia Oz) là phân giác của góc xOz và xOy.