Đề thi HSG môn Toán 6 huyện Quỳnh Lưu 2015-2016

Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán lớp 6, phòng giáo dục và đào tạo huyện Quỳnh Lưu, Nghệ An năm học 2015-2016. Thời gian làm bài: 120 phút.

Câu 1 (2 điểm)

a) Tính nhanh: 16 + (27 – 7.6) – (94.7 – 27. 99)

b) Tính tổng: A =

Câu 2 (2 điểm) Cho biểu thức:  M = 5 + 52 + 53 + … + 580. Chứng tỏ rằng:

a) M chia hết cho 6.

b) M không phải là số chính phương.

Câu 3 (2 điểm)

a) Chứng tỏ rằng: \displaystyle \frac{2n+5}{n+3},\left( n\in N \right) là phân số tối giản.

b) Tìm các giá trị nguyên của n để phân số B = \displaystyle \frac{2n+5}{n+3} có giá trị là số nguyên.

Câu 4 (1 điểm)  Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia số đó cho 3 dư 1; chia cho 4 dư 2; chia cho 5 dư 3; chia cho 6 dư 4 và chia hết cho 11.

Câu 5 (2 điểm) Trên cùng nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox vẽ 3 tia Oy, Oz, Ot sao cho \displaystyle \widehat{xOy}={{30}^{\circ }};\widehat{xOz}={{70}^{\circ }};\widehat{xOt}={{110}^{\circ }}

a) Tính \displaystyle \widehat{yOz}\displaystyle \widehat{zOt}

b) Trong 3 tia Oy, Oz, Ot tia nào nằm giữa 2 tia còn lại? Vì sao?

c) Chứng minh: Oz là tia phân giác của góc yOt.

Câu 6 (1 điểm)  Chứng minh rằng: \displaystyle \frac{1}{{{2}^{2}}}+\frac{1}{{{3}^{2}}}+\frac{1}{{{4}^{2}}}+...+\frac{1}{{{100}^{2}}}<1

Đáp án:

Câu 1  (Mỗi câu đúng, cho 1  điểm)

a) 16 + (27 – 7.6) – (94.7 – 27. 99)

= 16 + 27 – 7.6 – 94.7 + 27.99

= 16 + 27 + 27.99 – 7.6 – 94.7

= 16 + 27(99 + 1)  – 7.(6 + 94)

= 16 +27.100  – 7. 100

= 16 + 100(27- 7)   = 16 + 100.20 = 16 + 2000 = 2016

b) A = \frac{2}{{1.4}}+\frac{2}{{4.7}}+\frac{2}{{7.10}}+....+\frac{2}{{97.100}}

Ta có \frac{1}{{1.4}}=\frac{1}{3}(\frac{1}{1}-\frac{1}{4})\Rightarrow \frac{2}{{1.4}}=\frac{2}{3}(\frac{1}{1}-\frac{1}{4})

Tương tự:  \displaystyle \frac{2}{{4.7}}=\frac{2}{3}(\frac{1}{4}-\frac{1}{7});\frac{2}{{7.10}}=\frac{2}{3}(\frac{1}{7}-\frac{1}{{10}}); ……; \frac{2}{{97.100}}=\frac{2}{3}(\frac{1}{{99}}-\frac{1}{{100}})

⇒ A = \frac{2}{3}(\frac{1}{1}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{{10}}+.....+\frac{1}{{99}}-\frac{1}{{100}}) = \frac{2}{3}(\frac{1}{1}-\frac{1}{{100}})=\frac{2}{3}.\frac{{99}}{{100}}=\frac{{33}}{{50}}

Câu 2 (Mỗi câu đúng, cho 1 điểm)

a) Ta có: M = 5 + 52 + 53 + … + 580

= 5 + 52 + 53 + … + 580 = (5 + 52) + (53 + 54) + (55 + 56) +… + (579 + 580)

= (5 + 52) + 52.(5 + 52) + 54(5 + 52) + … + 578(5 + 52)

= 30 + 30.52 + 30.54 + … + 30.578 = 30 (1+ 52 + 54 + … + 578) \displaystyle \vdots 30

b) Ta thấy : M = 5 + 52 + 53 + … + 580 chia hết cho số nguyên tố 5.

Mặt khác, do: 52+ 53 + … + 580 chia hết cho 52 (vì tất cả các số hạng đều chia hết cho 52)

⇒ M = 5 + 52 + 53 + … + 580 không chia hết cho 52 (do 5 không chia hết cho 52)

⇒ M chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 52

⇒ M không phải là số chính phương.

(Vì số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì chia hết cho p2).

Câu 3 (Mỗi câu đúng, cho 1 điểm)

a) Chứng tỏ rằng: \displaystyle \frac{{2n+5}}{{n+3}},\left( {n\in N} \right)  là phân số tối giản.

Gọi d là ước chung của n + 3 và 2n + 5 với d ∈ N

⇒ n + 3 \vdots d và 2n + 5 \vdots d

⇒ (n + 3) – (2n + 5) \vdots d   Þ 2(n + 3) – (2n + 5)  \vdots d ⇔  1 \vdots d ⇒ d = 1 ∈ N

⇒ ƯC( n + 3 và 2n + 5) = 1

⇒ ƯCLN (n + 3 và 2n + 5) = 1 ⇒ \displaystyle \frac{{2n+5}}{{n+3}},\left( {n\in N} \right) là phân số tối giản.

b) Tìm các giá trị nguyên của n để phân số B = \displaystyle \frac{{2n+5}}{{n+3}} có giá trị là số nguyên.

Ta có:   \displaystyle \frac{{2n+5}}{{n+3}} = \displaystyle \frac{{2(n+3)-1}}{{n+3}}   = 2 – \displaystyle \frac{1}{{n+3}}

Để B có giá trị nguyên  thì  \displaystyle \frac{1}{{n+3}} nguyên.

\displaystyle \frac{1}{{n+3}}  nguyên ⇔ 1 \vdots(n +3) hay  n +3  là ước của 1.

Do Ư(1) = {±1}; Ta tìm được n = {-4 ; – 2}

Câu 4: Giải

Gọi số phải tìm là x.

Theo bài ra ta có x + 2 chia hết cho 3, 4, 5, 6.

⇒ x + 2 là bội chung của 3, 4, 5, 6

Mà BCNN(3; 4; 5; 6) = 60 nên x + 2 = 60.n .

Do đó x = 60.n – 2 ;  (n = 1; 2; 3…..)

Mặt khác x\vdots11 nên lần lượt cho n = 1; 2; 3…. Ta thấy n = 7 thì x = 418 \vdots11

Vậy số nhỏ nhất phải tìm là 418.

Câu 5 (Vẽ hình đúng, cho 0,5 điểm. Còn lại mỗi ý 0,5 điểm)

a) \displaystyle \widehat{{xOy}}<\widehat{{xOz}} (300 < 700)

⇒ Tia Oy nằm giữa 2 tia Ox và Oz

\displaystyle \widehat{{yOz}} = 700 – 300 = 400

\displaystyle \widehat{{xOz}}<\widehat{{xOt}} (700 < 1100)

⇒ Tia Oz nằm giữa 2 tia Ox và Ot

\displaystyle \widehat{{zOt}} = 1100 – 700 = 400

de-thi-hsg-mon-toan-6-huyen-quynh-luu-2015-2016

b) \displaystyle \widehat{{xOy}}<\widehat{{xOt}} (300 < 1100)

⇒ Tia Oy nằm giữa 2 tia Ox và Ot

\displaystyle \widehat{{yOt}} = 1100 – 300 = 800

Theo trên, \displaystyle \widehat{{yOz}} = 400

\displaystyle \widehat{{yOz}} < \displaystyle \widehat{{yOt}}   (400 < 800)

⇒ Tia Oz nằm giữa 2 tia Oy và Ot

c) Theo trên:

Tia Oz nằm giữa 2 tia Oy và Ot và có:

\displaystyle \widehat{{yOz}} = 400\displaystyle \widehat{{zOt}} = 400

⇒ Oz là tia phân giác của góc yOt.

Câu 6  Chứng minh rằng : \frac{1}{{{{2}^{2}}}}+\frac{1}{{{{3}^{2}}}}+\frac{1}{{{{4}^{2}}}}+…+\frac{1}{{{{{100}}^{2}}}}< 1

Ta có \frac{1}{{{{2}^{2}}}}<\frac{1}{{2.1}}=\frac{1}{1}\frac{1}{2}

\frac{1}{{{{3}^{2}}}}<\frac{1}{{2.3}}=\frac{1}{2}\frac{1}{3}

..

\frac{1}{{{{{100}}^{2}}}}<\frac{1}{{99.100}}=\frac{1}{{99}}\frac{1}{{100}}

\frac{1}{{{{2}^{2}}}}+\frac{1}{{{{3}^{2}}}}+…+  \frac{1}{{{{{100}}^{2}}}}<\frac{1}{1}\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\frac{1}{3}+ …+\frac{1}{{99}}\frac{1}{{100}}  = 1-\frac{1}{{100}} <1

Chú ý: Nếu học sinh làm theo cách khác đúng, vẫn cho điểm tối đa.

Toán cấp 2 © 2012 Toán cấp 2