Đề thi HSG môn Toán 6 huyện Quỳnh Lưu 2015-2016

Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán lớp 6, phòng giáo dục và đào tạo huyện Quỳnh Lưu, Nghệ An năm học 2015-2016. Thời gian làm bài: 120 phút.

Câu 1 (2 điểm)

a) Tính nhanh: 16 + (27 – 7.6) – (94.7 – 27. 99)

b) Tính tổng: A =

Câu 2 (2 điểm) Cho biểu thức:  M = 5 + 52 + 53 + … + 580. Chứng tỏ rằng:

a) M chia hết cho 6.

b) M không phải là số chính phương.

Câu 3 (2 điểm)

a) Chứng tỏ rằng: $ \displaystyle \frac{2n+5}{n+3},\left( n\in N \right)$ là phân số tối giản.

b) Tìm các giá trị nguyên của n để phân số B = $ \displaystyle \frac{2n+5}{n+3}$ có giá trị là số nguyên.

Câu 4 (1 điểm)  Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia số đó cho 3 dư 1; chia cho 4 dư 2; chia cho 5 dư 3; chia cho 6 dư 4 và chia hết cho 11.

Câu 5 (2 điểm) Trên cùng nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox vẽ 3 tia Oy, Oz, Ot sao cho $ \displaystyle \widehat{xOy}={{30}^{\circ }};\widehat{xOz}={{70}^{\circ }};\widehat{xOt}={{110}^{\circ }}$

a) Tính $ \displaystyle \widehat{yOz}$ và $ \displaystyle \widehat{zOt}$

b) Trong 3 tia Oy, Oz, Ot tia nào nằm giữa 2 tia còn lại? Vì sao?

c) Chứng minh: Oz là tia phân giác của góc yOt.

Câu 6 (1 điểm)  Chứng minh rằng: $ \displaystyle \frac{1}{{{2}^{2}}}+\frac{1}{{{3}^{2}}}+\frac{1}{{{4}^{2}}}+…+\frac{1}{{{100}^{2}}}<1$

Đáp án:

Câu 1  (Mỗi câu đúng, cho 1  điểm)

a) 16 + (27 – 7.6) – (94.7 – 27. 99)

= 16 + 27 – 7.6 – 94.7 + 27.99

= 16 + 27 + 27.99 – 7.6 – 94.7

= 16 + 27(99 + 1)  – 7.(6 + 94)

= 16 +27.100  – 7. 100

= 16 + 100(27- 7)   = 16 + 100.20 = 16 + 2000 = 2016

b) A = $ \frac{2}{{1.4}}+\frac{2}{{4.7}}+\frac{2}{{7.10}}+….+\frac{2}{{97.100}}$

Ta có $ \frac{1}{{1.4}}=\frac{1}{3}(\frac{1}{1}-\frac{1}{4})\Rightarrow \frac{2}{{1.4}}=\frac{2}{3}(\frac{1}{1}-\frac{1}{4})$

Tương tự:  $ \displaystyle \frac{2}{{4.7}}=\frac{2}{3}(\frac{1}{4}-\frac{1}{7});\frac{2}{{7.10}}=\frac{2}{3}(\frac{1}{7}-\frac{1}{{10}})$; ……; $ \frac{2}{{97.100}}=\frac{2}{3}(\frac{1}{{99}}-\frac{1}{{100}})$

⇒ A = $ \frac{2}{3}(\frac{1}{1}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{{10}}+…..+\frac{1}{{99}}-\frac{1}{{100}})$ = $ \frac{2}{3}(\frac{1}{1}-\frac{1}{{100}})=\frac{2}{3}.\frac{{99}}{{100}}=\frac{{33}}{{50}}$

Câu 2 (Mỗi câu đúng, cho 1 điểm)

a) Ta có: M = 5 + 52 + 53 + … + 580

= 5 + 52 + 53 + … + 580 = (5 + 52) + (53 + 54) + (55 + 56) +… + (579 + 580)

= (5 + 52) + 52.(5 + 52) + 54(5 + 52) + … + 578(5 + 52)

= 30 + 30.52 + 30.54 + … + 30.578 = 30 (1+ 52 + 54 + … + 578) $ \displaystyle \vdots $ 30

b) Ta thấy : M = 5 + 52 + 53 + … + 580 chia hết cho số nguyên tố 5.

Mặt khác, do: 52+ 53 + … + 580 chia hết cho 52 (vì tất cả các số hạng đều chia hết cho 52)

⇒ M = 5 + 52 + 53 + … + 580 không chia hết cho 52 (do 5 không chia hết cho 52)

⇒ M chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 52

⇒ M không phải là số chính phương.

(Vì số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì chia hết cho p2).

Câu 3 (Mỗi câu đúng, cho 1 điểm)

a) Chứng tỏ rằng: $ \displaystyle \frac{{2n+5}}{{n+3}},\left( {n\in N} \right)$  là phân số tối giản.

Gọi d là ước chung của n + 3 và 2n + 5 với d ∈ N

⇒ n + 3 $ \vdots $ d và 2n + 5 $ \vdots $ d

⇒ (n + 3) – (2n + 5) $ \vdots $ d   Þ 2(n + 3) – (2n + 5)  $ \vdots $ d ⇔  1 $ \vdots $ d ⇒ d = 1 ∈ N

⇒ ƯC( n + 3 và 2n + 5) = 1

⇒ ƯCLN (n + 3 và 2n + 5) = 1 ⇒ $ \displaystyle \frac{{2n+5}}{{n+3}},\left( {n\in N} \right)$ là phân số tối giản.

b) Tìm các giá trị nguyên của n để phân số B = $ \displaystyle \frac{{2n+5}}{{n+3}}$ có giá trị là số nguyên.

Ta có:   $ \displaystyle \frac{{2n+5}}{{n+3}}$ = $ \displaystyle \frac{{2(n+3)-1}}{{n+3}}$   = 2 – $ \displaystyle \frac{1}{{n+3}}$

Để B có giá trị nguyên  thì  $ \displaystyle \frac{1}{{n+3}}$ nguyên.

Mà $ \displaystyle \frac{1}{{n+3}}$  nguyên ⇔ 1 $ \vdots $(n +3) hay  n +3  là ước của 1.

Do Ư(1) = {±1}; Ta tìm được n = {-4 ; – 2}

Câu 4: Giải

Gọi số phải tìm là x.

Theo bài ra ta có x + 2 chia hết cho 3, 4, 5, 6.

⇒ x + 2 là bội chung của 3, 4, 5, 6

Mà BCNN(3; 4; 5; 6) = 60 nên x + 2 = 60.n .

Do đó x = 60.n – 2 ;  (n = 1; 2; 3…..)

Mặt khác x$ \vdots $11 nên lần lượt cho n = 1; 2; 3…. Ta thấy n = 7 thì x = 418 $ \vdots $11

Vậy số nhỏ nhất phải tìm là 418.

Câu 5 (Vẽ hình đúng, cho 0,5 điểm. Còn lại mỗi ý 0,5 điểm)

a) $ \displaystyle \widehat{{xOy}}<\widehat{{xOz}}$ (300 < 700)

⇒ Tia Oy nằm giữa 2 tia Ox và Oz

⇒ $ \displaystyle \widehat{{yOz}}$ = 700 – 300 = 400

$ \displaystyle \widehat{{xOz}}<\widehat{{xOt}}$ (700 < 1100)

⇒ Tia Oz nằm giữa 2 tia Ox và Ot

⇒ $ \displaystyle \widehat{{zOt}}$ = 1100 – 700 = 400

de-thi-hsg-mon-toan-6-huyen-quynh-luu-2015-2016

b) $ \displaystyle \widehat{{xOy}}<\widehat{{xOt}}$ (300 < 1100)

⇒ Tia Oy nằm giữa 2 tia Ox và Ot

⇒ $ \displaystyle \widehat{{yOt}}$ = 1100 – 300 = 800

Theo trên, $ \displaystyle \widehat{{yOz}}$ = 400

⇒ $ \displaystyle \widehat{{yOz}}$ < $ \displaystyle \widehat{{yOt}}$   (400 < 800)

⇒ Tia Oz nằm giữa 2 tia Oy và Ot

c) Theo trên:

Tia Oz nằm giữa 2 tia Oy và Ot và có:

$ \displaystyle \widehat{{yOz}}$ = 400;  $ \displaystyle \widehat{{zOt}}$ = 400

⇒ Oz là tia phân giác của góc yOt.

Câu 6  Chứng minh rằng : $ \frac{1}{{{{2}^{2}}}}$+$ \frac{1}{{{{3}^{2}}}}$+$ \frac{1}{{{{4}^{2}}}}$+…+$ \frac{1}{{{{{100}}^{2}}}}$< 1

Ta có $ \frac{1}{{{{2}^{2}}}}$<$ \frac{1}{{2.1}}$=$ \frac{1}{1}$-$ \frac{1}{2}$

$ \frac{1}{{{{3}^{2}}}}$<$ \frac{1}{{2.3}}$=$ \frac{1}{2}$-$ \frac{1}{3}$

..

$ \frac{1}{{{{{100}}^{2}}}}$<$ \frac{1}{{99.100}}$=$ \frac{1}{{99}}$-$ \frac{1}{{100}}$

⇒ $ \frac{1}{{{{2}^{2}}}}$+$ \frac{1}{{{{3}^{2}}}}$+…+  $ \frac{1}{{{{{100}}^{2}}}}$<$ \frac{1}{1}$-$ \frac{1}{2}$+$ \frac{1}{2}$-$ \frac{1}{3}$+ …+$ \frac{1}{{99}}$-$ \frac{1}{{100}}$  = 1-$ \frac{1}{{100}}$ <1

Chú ý: Nếu học sinh làm theo cách khác đúng, vẫn cho điểm tối đa.

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *