Đề thi HSG môn Toán lớp 9 tỉnh Lâm Đồng năm 2012-2013

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 Sở giáo dục và đào tạo tỉnh Lâm Đồng năm học 2012-2013. Thời gian làm bài 150 phút. Ngày thi 28/2/2013.

Bài 1: (2điểm).      Cho hàm số f(x) = x⁴ – 4x² +12x – 9.

a) Phân tích f(x) thành nhân tử

b) Giải phương trình f(x) = 0.

Bài 2: (2điểm).      Cho A = $(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}-\frac{1}{a-\sqrt{a}}):(\frac{1}{\sqrt{a}+1}+\frac{2}{a-1}).$

a) Rút gọn A.

b) Tính A khi a = 3 + 2$\sqrt{2}$

Bài 3: (2điểm).      Cho tam giác ABC. Gọi G là trọng tâm của tam giác.

a) So sánh diện tích các tam giác sau: GAB; GAC; GBC.

b) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng O là trực tâm của tam giác MNP.

Bài 4: (2điểm).      Cho hàm số f(x) = (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) + 1. Chứng minh rằng f(x) luôn có giá trị là số chính phương với mọi giá trị nguyên của x.

Bài 5: (2điểm).      Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB = a; BC = a$\sqrt{2}$. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AM vuông góc với BD.

Bài 6: (2điểm).      Giải hệ phương trình : $\{\begin{array}{l}4x-y=5\\ 16y^2-8xy+x^2-40xy+10x+25=0\end{array}$

Bài 7: (2điểm).      Chứng minh rằng với mọi x, y ta có: $9y^2+17x^2+6xy+8x+2>0$

Bài 8: (2điểm).      Tính giá trị biểu thức P = 28x⁵ – 2x⁴ – 2013x³ +14606x – 3454 khi $\frac{x}{x^2+x+1}=\frac{1}{4}$.

Bài 9: (2điểm).      Cho hình thoi ABCD có $\widehat{BAD}={120}^0$. Trên đoạn BC lấy điểm M sao cho $\widehat{BAM}={15}^0$. AM kéo dài cắt đường thẳng DC tại N. Chứng minh rằng: $\frac{3}{A{M}^2}+\frac{3}{A{N}^2}=\frac{4}{A{B}^2}$.

Bài 10: (2điểm).    Cho x, y là các số thỏa mãn: $(\sqrt{x^2+2013}+x)(\sqrt{y^2+2013}+y)=2013.$. Hãy tính giá trị biểu thức x + y.