Đề thi thử vào 10 môn Toán Trung tâm Bồi dưỡng Văn hóa Hà Nội – Amsterdam đợt 1 ngày 24/3/2019. Thời gian làm bài: 120 phút.
Câu I (2,5 điểm).
Cho biểu thức A = $ \left( {\frac{{\sqrt{x}}}{{\sqrt{x}-1}}-\frac{{\sqrt{x}}}{{x-\sqrt{x}}}} \right):\frac{{\sqrt{x}+1}}{{{{x}^{2}}-x}}$ với x > 0, x ≠ 1
1) Rút gọn biểu thức A
2) Tìm các giá trị của x để A < 0
3) Tính giá trị của A khi x = $ 2+\sqrt{{3+2\sqrt{2}}}-\sqrt{{3-2\sqrt{2}}}$
Câu II (2,0 điểm).
Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Tháng giêng năm 2019 hai tổ I và II sản xuất được 500 chi tiết máy; tháng hai do có cải tiến kỹ thuật tổ I vượt mức 20% và tổ II vượt mức 10% so với tháng giêng, vì vậy hai tổ đã sản xuất được 570 chi tiết máy. Hỏi tháng giêng mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy?
Câu III (1,5 điểm).
Cho phương trình: x2 + (2m – 1)x + m2 – 2m + 2 = 0, (1) (m là tham số)
1) Giải phương trình (1) khi m = 2
2) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm âm phân biệt.
Câu IV (3,5 điểm).
Trên tia phân giác At của $ \widehat{{xAy}}={{60}^{0}}$ lấy điểm O cố định (O khác A) và vẽ đường tròn (O;R) tiếp xúc với Ax tại điểm B, tiếp xúc với Ay tại điểm C. Từ một điểm M di động trên cung nhỏ BC (M khác B và C), vẽ MI $ \bot $ AB, MK$ \bot $AC, MP $ \bot $BC (I $ \in $ AB, K$ \in $ AC, P$ \in $ BC).
1) Chứng minh: AIMK là tứ giác nội tiếp đường tròn.
2) Chứng minh: $ \widehat{{\text{MPK}}}\text{ = }\widehat{{\text{MBC}}}$
3) Chứng minh số đo góc IPK là đại lượng không đổi khi M di động trên cung nhỏ BC.
4) Xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để biểu thức
(MI2 + MK2 – 2MP2) đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu V (0,5 điểm).
Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn: a2b + b2c + c2a = 3
Chứng minh: $ \frac{{ab+bc+ca}}{{2({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}})}}+\frac{1}{6}\left( {\frac{a}{{bc}}+\frac{b}{{ca}}+\frac{c}{{ab}}} \right)\ge \frac{{a+b+c}}{3}$