Đề thi Toán chọn đội tuyển học sinh giỏi cấp tỉnh năm 2009 – 2010 hay

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI – CẤP TỈNH NĂM HỌC 2009-2010. MÔN THI: TOÁN (Thời gian làm bài 150 phút)

Bài 1 (2,5 điểm) Giải các phương trình sau:

1. 3x² + 4x + 10 = 2$ \displaystyle \sqrt{14{{x}^{2}}-7}$
2. $ \displaystyle \sqrt[4]{4-{{x}^{2}}}-\sqrt[4]{{{x}^{4}}-16}+\sqrt{4x+1}+\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2y-3}=5-y$
3. x⁴ – 2y⁴ – x²y² – 4x² -7y² – 5 = 0; (với x ; y nguyên)

Bài 2: (2.5 điểm)

1. Tìm số tự nhiên n để n + 18 và n – 41  là hai số chính phương.
2. Căn bậc hai của 64 có thể viết dưới dạng như sau: $ \displaystyle \sqrt{64}=6+\sqrt{4}$

Hỏi có tồn tại hay không các số có hai chữ số có thể viết căn bậc hai của chúng dưới dạng như trên và là một số nguyên? Hãy chỉ ra toàn bộ các số đó.

Bài 3: (3,25 điểm)

Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng d không đi qua O cắt đường tròn (O) tại hai điểm A và B. Từ một điểm M tùy ý trên đường thẳng d và ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MN và MP với đường tròn (O), (P, N là hai tiếp điểm).

1. Chứng minh rằng: $ \displaystyle M{{N}^{2}}=M{{P}^{2}}=MA.MB$
2. Dựng vị trí điểm M trên đường thẳng d sao cho tứ giác MNOP là hình vuông.
3. Chứng minh rằng tâm của đường tròn đi qua 3 điểm M, N, P luôn chạy trên đường thẳng cố định khi  M di động trên đường thẳng d.

Bài 4: (1,5 điểm)

Trên mặt phẳng tọa độ xOy lấy điểm P(0; 1), vẽ đường tròn (K) có đường kính OP. Trên trục hoành lấy ba điểm M(a; 0);  N(b; 0), Q(c; 0). Nối PM; PN; PQ lần lượt cắt đường tròn (K) tại A; B ; C. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC theo a; b; c.

Bài 5: (0,75 điểm) Cho a, b, c > 0.

Chứng minh rằng: $ \displaystyle \frac{19b_{{}}^{3}-a_{{}}^{3}}{ab+5b_{{}}^{2}}+\frac{19c_{{}}^{3}-b_{{}}^{3}}{cb+5c_{{}}^{2}}+\frac{19a_{{}}^{3}-c_{{}}^{3}}{ac+5a_{{}}^{2}}\le 3(a+b+c)$