Điều kiện về nghiệm của phương trình bậc hai

Giải phương trình, tìm điều kiện về nghiệm của phương trình bậc hai là một nội dung quan trọng trong chương trình THCS, nhất là bồi dưỡng toán 9.

Các em cần phải nắm được các kiến thức về công thức nghiệm của PT bậc 2, Định lý Vi-ét các kiến thức có liên quan, các em cần có sự say mê, hứng thú với loại này và có điều kiện tiếp cận với nhiều dạng bài tập điển hình.

Các phương pháp tìm điều kiện về nghiệm của phương trình là :” Phương pháp so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với số 0” ;” Phương pháp so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với 1 số bất kỳ ”; “so sánh nghiệm của phương trình quy về phương trình bậc 2 ”.

A- Dấu của các nghiệm của phương trình bậc hai

Theo hệ thức Vi-ét nếu phương trình bậc hai $ a{{x}^{2}}+bx+c=0(a\ne 0)$: có nghiệm $ {{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thì $ S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{-b}{a};P={{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{c}{a}$.

Do đó điều kiện để một phương trình bậc 2 :

– Có 2 nghiệm dương là: $ \Delta \ge 0;P>0;S>0.$

– Có 2 nghiệm âm là: $ \Delta \ge 0;P>0;S<0.$

– Có 2 nghiệm trái dấu là: $ P<0$ (Khi đó hiển nhiên $ \Delta >0$).

B- So sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với một số

I/ So sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với số 0

Trong nhiều trường hợp ta cần so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với một số cho trước, trong đó có nhiều bài toán đòi hỏi tìm điều kiện để phương trình bậc 2: $ a{{x}^{2}}+bx+c=0(a\ne 0)$ có ít nhất một nghiệm không âm.

II/ So sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với một số bất kỳ

Trong nhiều trường hợp để so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với một số bất kỳ ta có thể quy về trường hợp so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với số 0:

III/ Điều kiện về nghiệm của phương trình quy về phương trình bậc 2

VD1: Tìm giá trị của m để phương trình sau có nghiệm.

$ {{x}^{4}}+m{{x}^{2}}+2n-4=0$  (1)

Giải:  Đặt $ {{x}^{2}}=y\ge 0$. Điều kiện để phương trình (1) có nghiệm là phương trình: $ {{y}^{2}}+my+2m-4=0$ có ít nhất một nghiệm không âm ,

Theo kết quả ở VD1 mục I , các giá trị của m cần tìm là: $ m\le 2$ .

Bài tập đề nghị:

Bài 1: Tìm các giá trị của m để tồn tại nghiệm không âm của phương trình: $ {{x}^{2}}-2x+(m-2)=0$

Bài 2: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm: $ {{x}^{2}}+2m\left| x-2 \right|-4x+{{m}^{2}}+3=0$

Bài 3: Tìm các giá trị của m để phương trình: $ (m-1){{x}^{2}}-(m-5)x+(m-1)=0$

có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn -1.

Bài 4: Tìm các giá trị của m để phương trình: $ {{x}^{2}}+mx+-1=0$ có ít nhất 1 nghiệm lớn hơn hoặc bằng -2.

Bài 5: Tìm các giá trị của m để tập nghiệm của phương trình: $ {{x}^{4}}-2(m-1){{x}^{2}}-(m-3)=0$

a) Có 4 phần tử.

b) Có 3 phần tử.

c) Có 2 phần tử.

d) Có 1 phần tử.