Một số loại bài chứng minh bất đẳng thức thường gặp

Bài 1:

* Cấu trúc: Cho đẳng thức A = B, chứng minh bất đẳng thức C > D

* Cách giải thường dùng: Dùng phép biến đổi tương đương

Ví dụ 1: Cho hai số a và b thoả mãn a – b = 1. Chứng minh rằng: a³ – b³ – ab ≥ $ \frac{1}{2}$

Giải:

Giả sử a³ – b³ – ab ≥ $ \frac{1}{2}$         (1)

⇔ (a – b)(a² + ab + b²) – ab ≥ $ \frac{1}{2}$

⇔ a² + ab + b² – ab ≥ $ \frac{1}{2}$              (vì  a – b = 1)

⇔ 2a² + 2b² ≥ 1

⇔ 2(b + 1)² + 2b² ≥ 1            (vì a = b + 1)

⇔ 2b² + 4b + 2 + 2b² ≥ 1

⇔ 4b² + 4b + 1 ≥ 0

⇔ (2b + 1)² ≥ 0              (2)

Vì BĐT (2) là BĐT đúng nên BĐT (1) là BĐT đúng

Vậy  a³ – b³ – ab ≥ $ \frac{1}{2}$  với a – b =1. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $ \left\{ \begin{array}{l}a=\frac{1}{2}\\b=-\frac{1}{2}\end{array} \right.$

Ví dụ 2: Cho a và b là hai số thực thoả mãn: a + b = 2.

Chứng minh rằng: $ {{a}^{4}}+{{b}^{4}}\ge {{a}^{3}}+{{b}^{3}}$

Giải

* Cách 1

Giả sử: $ {{a}^{4}}+{{b}^{4}}\ge {{a}^{3}}+{{b}^{3}}$ (1)

⇔ 2(a⁴ + b⁴) ≥ (a + b)(a³ + b³)           (vì a + b = 2)

⇔ 2a⁴ + 2b⁴ ≥  a⁴ + a³b + ab³ + b⁴

⇔ a⁴ + b⁴ – a³b – ab³ ≥ 0

⇔ (a- b)(a³ – b³) ≥ 0

⇔ (a – b)²(a² + ab + b²) ≥ 0  (2)

Vì (a – b)² ≥ 0 và a² + ab + b²  = (a + $ \frac{1}{2}$)² + $ \frac{3}{4}$ ≥ 0 nên BĐT (2) là BĐT đúng. Do đó BĐT (1) là BĐT đúng.

Vậy $ {{a}^{4}}+{{b}^{4}}\ge {{a}^{3}}+{{b}^{3}}$ với  a + b = 2.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1

* Cách 2:

Giả sử:   (1)

⇔ 2(a⁴ + b⁴) ≥ (a + b)(a³ + b³)           (vì a + b = 2)

⇔ 2a⁴ + 2b⁴ ≥  a⁴ + a³b + ab³ + b⁴

⇔ a⁴ + b⁴ – a³b – ab³ ≥ 0

⇔ (a- b)(a³ – b³) ≥ 0      (3)

Xét các trường hợp sau:

* TH: a > b suy ra a³ > b³

Do đó (a – b) > 0  và   ( a³ – b³) > 0 nên  BĐT (3) là BĐT đúng

* TH: a = b thì hiển nhiên BĐT (3) là BĐT đúng

* TH : a < b suy ra a³ < b³

Do đó (a – b) < 0  và   ( a³ – b³) < 0 nên  BĐT (3) là BĐT đúng

Vậy trong mọi trường hợp BĐT (3) luôn là BĐT đúng

Suy ra (1) là BĐT đúng. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1

Nhân xét:

–  Cách giải 2 ưu việt hơn cách giải 1 bởi vì nó có thể áp dụng để giải được bài toán tổng quát  (xét ở phần sau)

Bài 2:

* Cấu trúc: Cho BĐT C ≥ D, chứng minh A ≥ B.

* Cách giải :

– Xét biểu thức: (A – B) + (D – C) và biến đổi về dạng tổng các bình phương

– Chứng minh: (A – B) + (D – C) ≥ 0

– Dùng giả thiết C ≥ D để suy ra A ≥ B.

Ví dụ 1:

Cho  a + b ≥ 1.  Chứng minh: $ {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge \frac{1}{2}$

Giải

Xét biểu thức: M = $ \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-\frac{1}{2} \right)+\left( 1-a-b \right)$

= $ \displaystyle {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-a-b+\frac{1}{2}$

= $ \left( {{a}^{2}}-a+\frac{1}{4} \right)+\left( {{b}^{2}}-b+\frac{1}{4} \right)$

= $ {{\left( a-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( b-\frac{1}{2} \right)}^{2}}$

Vì $ {{\left( a-\frac{1}{2} \right)}^{2}}\ge 0$ và $ {{\left( b-\frac{1}{2} \right)}^{2}}\ge 0$ nên $ \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-\frac{1}{2} \right)+\left( 1-a-b \right)$ ≥ 0

mà a + b ≥ 1  suy ra 1 –  a – b ≤ 0. Do đó $ \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-\frac{1}{2} \right)\ge 0$

Vậy $ {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge \frac{1}{2}$  với a + b ≥ 1  . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $ a=b=\frac{1}{2}$.

Ví dụ 2: Cho a + b ≥ 2. Chứng minh rằng: $ {{a}^{4}}+{{b}^{4}}\ge {{a}^{3}}+{{b}^{3}}$

Giải

Xét biểu thức : N = $ \left( {{a}^{4}}+{{b}^{4}}-{{a}^{3}}-{{b}^{3}} \right)+\left( 2-a-b \right)$

= $ ({{a}^{4}}-{{a}^{3}}-a+1)+\left( {{b}^{4}}-{{b}^{3}}-b+1 \right)$

= (a – 1)(a³ – 1) + (b – 1)(b³ – 1)

= (a – 1)² (a² + a +1) + (b – 1)² (b² +  b + 1)

Vì (a – 1)² (a² + a +1) ≥ 0 và (b – 1)² (b² +  b + 1) ≥ 0

Suy ra $ \left( {{a}^{4}}+{{b}^{4}}-{{a}^{3}}-{{b}^{3}} \right)+\left( 2-a-b \right)$ ≥ 0

mà a + b ≥ 2 nên  2 – a – b ≤ 0 . Do đó $ \left( {{a}^{4}}+{{b}^{4}}-{{a}^{3}}-{{b}^{3}} \right)\ge 0$

Vậy: $ {{a}^{4}}+{{b}^{4}}\ge {{a}^{3}}+{{b}^{3}}$