Một số loại bài chứng minh bất đẳng thức thường gặp

Bài 1:

* Cấu trúc: Cho đẳng thức A = B, chứng minh bất đẳng thức C > D

* Cách giải thường dùng: Dùng phép biến đổi tương đương

Ví dụ 1: Cho hai số a và b thoả mãn a – b = 1. Chứng minh rằng: a³ – b³ – ab ≥ $\frac{1}{2}$

Giải:

Giả sử a³ – b³ – ab ≥ $\frac{1}{2}$         (1)

⇔ (a – b)(a² + ab + b²) – ab ≥ $\frac{1}{2}$

⇔ a² + ab + b² – ab ≥ $\frac{1}{2}$              (vì  a – b = 1)

⇔ 2a² + 2b² ≥ 1

⇔ 2(b + 1)² + 2b² ≥ 1            (vì a = b + 1)

⇔ 2b² + 4b + 2 + 2b² ≥ 1

⇔ 4b² + 4b + 1 ≥ 0

⇔ (2b + 1)² ≥ 0              (2)

Vì BĐT (2) là BĐT đúng nên BĐT (1) là BĐT đúng

Vậy  a³ – b³ – ab ≥ $\frac{1}{2}$  với a – b =1. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{2}\\ b=-\frac{1}{2}\end{array}$

Ví dụ 2: Cho a và b là hai số thực thoả mãn: a + b = 2.

Chứng minh rằng: $a^4+b^4\ge a^3+b^3$

Giải

* Cách 1

Giả sử: $a^4+b^4\ge a^3+b^3$ (1)

⇔ 2(a⁴ + b⁴) ≥ (a + b)(a³ + b³)           (vì a + b = 2)

⇔ 2a⁴ + 2b⁴ ≥  a⁴ + a³b + ab³ + b⁴

⇔ a⁴ + b⁴ – a³b – ab³ ≥ 0

⇔ (a- b)(a³ – b³) ≥ 0

⇔ (a – b)²(a² + ab + b²) ≥ 0  (2)

Vì (a – b)² ≥ 0 và a² + ab + b²  = (a + $\frac{1}{2}$)² + $\frac{3}{4}$ ≥ 0 nên BĐT (2) là BĐT đúng. Do đó BĐT (1) là BĐT đúng.

Vậy $a^4+b^4\ge a^3+b^3$ với  a + b = 2.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1

* Cách 2:

Giả sử:   (1)

⇔ 2(a⁴ + b⁴) ≥ (a + b)(a³ + b³)           (vì a + b = 2)

⇔ 2a⁴ + 2b⁴ ≥  a⁴ + a³b + ab³ + b⁴

⇔ a⁴ + b⁴ – a³b – ab³ ≥ 0

⇔ (a- b)(a³ – b³) ≥ 0      (3)

Xét các trường hợp sau:

* TH: a > b suy ra a³ > b³

Do đó (a – b) > 0  và   ( a³ – b³) > 0 nên  BĐT (3) là BĐT đúng

* TH: a = b thì hiển nhiên BĐT (3) là BĐT đúng

* TH : a < b suy ra a³ < b³

Do đó (a – b) < 0  và   ( a³ – b³) < 0 nên  BĐT (3) là BĐT đúng

Vậy trong mọi trường hợp BĐT (3) luôn là BĐT đúng

Suy ra (1) là BĐT đúng. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1

Nhân xét:

–  Cách giải 2 ưu việt hơn cách giải 1 bởi vì nó có thể áp dụng để giải được bài toán tổng quát  (xét ở phần sau)

Bài 2:

* Cấu trúc: Cho BĐT C ≥ D, chứng minh A ≥ B.

* Cách giải :

– Xét biểu thức: (A – B) + (D – C) và biến đổi về dạng tổng các bình phương

– Chứng minh: (A – B) + (D – C) ≥ 0

– Dùng giả thiết C ≥ D để suy ra A ≥ B.

Ví dụ 1:

Cho  a + b ≥ 1.  Chứng minh: $a^2+b^2\ge \frac{1}{2}$

Giải

Xét biểu thức: M = $(a^2+b^2-\frac{1}{2})+(1-a-b)$

= ${\displaystyle a^2+b^2-a-b+\frac{1}{2}}$

= $(a^2-a+\frac{1}{4})+(b^2-b+\frac{1}{4})$

= ${(a-\frac{1}{2})}^2+{(b-\frac{1}{2})}^2$

Vì ${(a-\frac{1}{2})}^2\ge 0$ và ${(b-\frac{1}{2})}^2\ge 0$ nên $(a^2+b^2-\frac{1}{2})+(1-a-b)$ ≥ 0

mà a + b ≥ 1  suy ra 1 –  a – b ≤ 0. Do đó $(a^2+b^2-\frac{1}{2})\ge 0$

Vậy $a^2+b^2\ge \frac{1}{2}$  với a + b ≥ 1  . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a=b=\frac{1}{2}$.

Ví dụ 2: Cho a + b ≥ 2. Chứng minh rằng: $a^4+b^4\ge a^3+b^3$

Giải

Xét biểu thức : N = $(a^4+b^4-a^3-b^3)+(2-a-b)$

= $(a^4-a^3-a+1)+(b^4-b^3-b+1)$

= (a – 1)(a³ – 1) + (b – 1)(b³ – 1)

= (a – 1)² (a² + a +1) + (b – 1)² (b² +  b + 1)

Vì (a – 1)² (a² + a +1) ≥ 0 và (b – 1)² (b² +  b + 1) ≥ 0

Suy ra $(a^4+b^4-a^3-b^3)+(2-a-b)$ ≥ 0

mà a + b ≥ 2 nên  2 – a – b ≤ 0 . Do đó $(a^4+b^4-a^3-b^3)\ge 0$

Vậy: $a^4+b^4\ge a^3+b^3$