20 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 8

CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ CHÍNH PHƯƠNG

A. Số chính phương:

1. Một số kiến thức:

Số chính phương: số bằng bình phương của một số khác

Ví dụ:

4 = 2²; 9 = 3²

A = 4n² + 4n + 1 = (2n + 1)² = B²

+ Số chính phương không tận cùng bởi các chữ số: 2, 3, 7, 8

+ Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4, chia hết cho 3 thì chia hết cho 9, chia

hết cho 5 thì chia hết cho 25, chia hết cho 2³ thì chia hết cho 2⁴,…

+ Số $ \displaystyle \underbrace{\text{11}…\text{1}}_{\text{n}}$ =  a thì $ \displaystyle \underbrace{\text{99}…\text{9}}_{\text{n}}$ = 9a ⇔ 9a + 1 = $ \displaystyle \underbrace{\text{99}…\text{9}}_{\text{n}}$  + 1 = 10ⁿ

B. Một số bài toán:
1. Bài 1:
Chứng minh rằng: Một số chính phương chia cho 3, cho 4 chỉ có thể dư 0 hoặc 1
Giải:
Gọi A = n² (n ∈ N)
a) xét n = 3k (k ∈ N) ⇒ A = 9k² nên chia hết cho 3

n = 3k ±1 (k ∈ N) A = 9k² ± 6k + 1, chia cho 3 dư 1

Vậy: số chính phương chia cho 3 dư 0 hoặc 1

b) n = 2k (k ∈ N) thì A = 4k² chia hết cho 4

n = 2k +1 (k ∈ N) thì A = 4k² + 4k + 1 chia cho 4 dư 1

Vậy: số chính phương chia cho 4 dư 0 hoặc 1

Chú ý:

+ Số chính phương chẵn thì chia hết cho 4

+ Số chính phương lẻ thì chia cho 4 thì dư 1( Chia 8 cũng dư 1)

2. Baøi 2: Soá naøo trong caùc soá sau laø soá chính phöông
3. a) M = 1992² + 1993² + 1994²
4. b) N = 1992² + 1993² + 1994² + 1995²
5. c) P = 1 + 9¹⁰⁰ + 94¹⁰⁰ + 1994¹⁰⁰
6. d) Q = 1² + 2² + …+ 100²
7. e) R = 1³ + 2³ + … + 100³

Giải:

a) Các cố 1993², 1994² chia cho 3 dư 1, còn 1992² chia hết cho 3 ⇒ M chia cho 3 dư 2 do đó M không phải là số chính phương.

b) N = 1992² + 1993² + 1994² + 1995² gồm tổng hai số chính phương chẵn chia hết cho 4, v hai số chính phương lẻ nên chia 4 dư 2 suy ra N không là số chính phương.

c) P = 1 + 9¹⁰⁰ + 94¹⁰⁰ + 1994¹⁰⁰ chia 4 dư 2 nên không là số chính phương

d) Q = 1² + 2² + …+ 100²

Số Q gồm 50 số chính phương chẵn chia hết cho 4, 50 số chính phương lẻ, mỗi số chia 4 dư 1 nên tổng 50 số lẻ đó chia 4 thì dư 2 do đó Q chia 4 thì dư 2 nên Q không là số chính phương.

e) R = 1³ + 2³ + … + 100³

Gọi A_k = 1 + 2 +… + k = $ \frac{\text{k(k + 1)}}{\text{2}}$  , A_{k – 1} = 1 + 2 +… + k = $ \frac{\text{k(k – 1)}}{\text{2}}$

Ta có: A_k² – A_{k -1}² = k³ khi đó:

1³ = A₁²

2³ = A₂² – A₁²

…………………

n³ = A_n² = A_{n – 1}²

Cộng vế theo vế các đẳng thức trên ta có:

1³ + 2³ + … +n³ = A_n² = $ {{\left[ \frac{\text{n(n + 1)}}{\text{2}} \right]}^{2}}={{\left[ \frac{100(100+1)}{2} \right]}^{2}}={{\left( 50.101 \right)}^{2}}$  là số chính phương.