Đề thi học sinh giỏi quốc gia cấp 2 năm 1993-1994

Đây là Đề thi học sinh giỏi quốc gia cấp 2 năm 1993-1994 gồm 2 bảng A và B. Mỗi đề có tất cả 4 bài với 2 câu đại số và 2 câu hình học.

(Thời gian làm bài 180 phút)

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN TRUNG HỌC CƠ SỞ TOÀN QUỐC

BẢNG A

Bài 1:
a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $ \displaystyle 7x_{{}}^{2}+13y_{{}}^{2}=1820$.

b) Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho tổng tất cả các ước nguyên tố của $ \displaystyle p_{{}}^{4}$ là một số chính
phương.

Bài 2:
a) Cho $ \displaystyle S=a_{{}}^{2}+b_{{}}^{2}+c_{{}}^{2}+d_{{}}^{2}+ac+bd$, trong đó ad – bc = 1
1. Chứng minh S ≥ √3
2. Tính giá trị của tổng $ \displaystyle \left( a+c \right)_{{}}^{2}+\left( b+d \right)_{{}}^{2}$, khi biết S = √3.

b) Giải hệ phương trình với các ẩn x, y, z sau đây:
$ \displaystyle \frac{xy}{ay+bx}=\frac{yz}{bz+cy}=\frac{zx}{cx+az}=\frac{x_{{}}^{2}+y_{{}}^{2}+z_{{}}^{2}}{a_{{}}^{2}+b_{{}}^{2}+c_{{}}^{2}}$ (trong đó a, b, c là các số cho trước).

Bài 3: Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, b, c thỏa mãn a > b > c, và O là điểm bất kì nằm trong tam giác đó. Các đướng thẳng AO, BO, CO thứ tự cắt các cạnh của tam giác tại P, Q, R.

Chứng minh rằng OP + OQ + OR < a.

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông ở C và có $ \displaystyle \widehat{A}<\widehat{B}$. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp và I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Cho biết tam giác BIO là một tam giác vuông. Tìm tỉ số giữa các cạnh của tam giác ABC.

BẢNG B

Bài 1: Xem bài 1 của Bảng A.

Bài 2:
a) Cho a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0, chứng minh rằng: $ \displaystyle a_{{}}^{4}+b_{{}}^{4}+c_{{}}^{4}+d_{{}}^{4}\ge abc(a+b+c)$
b) Xem phần b câu 2 bài 2 của Bảng A.

Bài 3: Cho tam giác ba góc nhọn ABC. Lấy điểm P ở trong tam giác ABC và trên các cạnh AC, BC ta lấy các điểm M và L tương ứng, sao cho: $ \displaystyle \widehat{PAC}=\widehat{PAB}$ và $ \displaystyle \widehat{PMC}=\widehat{PLC}=90_{{}}^{0}$.

a) Chứng minh đường trung trực của ML đi qua trung điểm D của cạnh AB.

b) Hỏi với điều kiện nào của tam giác ABC thì trung trực của ML cũng là trung trực của
cạnh AB ? Chứng minh điều đó.

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông ở C và có $ \displaystyle \widehat{A}<\widehat{B}$. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp và I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Cho biết tam giác BIO là một tam giác vuông.

a) Chứng minh tam giác BIO vuông ở I.

b) Tìm tỉ số giữa các cạnh của tam giác ABC.