Đề thi học sinh giỏi quốc gia cấp 2 năm 1992-1993

Đây là Đề thi học sinh giỏi quốc gia cấp 2 năm 1992-1993 gồm 2 bảng A và B. Mỗi đề có tất cả 4 bài với 2 câu đại số và 2 câu hình học.

(Thời gian làm bài 180 phút)

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN TRUNG HỌC CƠ SỞ TOÀN QUỐC

BẢNG A

Bài 1:
a) Chứng minh nếu $ \displaystyle {{a}_{1}},{{a}_{2}}$ là các nghiệm của phương trình $ \displaystyle x_{{}}^{2}+px+1=0$ và $ \displaystyle {{b}_{1}},{{b}_{2}}$ là các nghiệm của phương trình $ \displaystyle x_{{}}^{2}+qx+1=0$ thì
$ \displaystyle ({{a}_{1}}-{{b}_{1}})({{a}_{2}}-{{b}_{1}})({{a}_{1}}+{{b}_{2}})({{a}_{2}}+{{b}_{2}})=q_{{}}^{2}-p_{{}}^{2}$

b) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình sau:
1! + 2! + 3! + . . . + x! = $ \displaystyle y_{{}}^{2}$

Bài 2: Cho x, y là các số nguyên khác 0.
Chứng minh rằng nếu $ \displaystyle x_{{}}^{2}$ – yz = a, $ \displaystyle y_{{}}^{2}$ – zx = b, $ \displaystyle z_{{}}^{2}$ – xy = c thì tổng (ax + by + cz) chia hết cho tổng (a + b + c).

Bài 3: Qua điểm O bất kì bên trong tam giác ABC vẽ ba đường thẳng tương ứng song song với ba cạnh của tam giác đó.

a) Chứng minh $ \displaystyle \frac{{{a}_{1}}}{a}+\frac{{{b}_{1}}}{b}+\frac{{{c}_{1}}}{c}=2$, trong đó $ \displaystyle {{a}_{1}},{{b}_{1}},{{c}_{1}}$ là các đoạn thẳng gồm giữa các cạnh và theo thứ tự song song với các cạnh a, b, c của tam giác.

b) Tính giá trị của biểu thức $ \displaystyle P=\frac{a’}{a}+\frac{b’}{b}+\frac{c’}{c}$, trong đó a‘, b‘, c’ là các đoạn thẳng theo thứ tự nằm trên các cạnh a, b, c và gồm giữa các đường thẳng nói trên.

Bài 4: Một nước có 80 sân bay mà khoảng cách giữa hai sân bay nào cũng khác nhau. Mỗi máy bay cất cánh từ một sân bay và bay đến sân bay nào đó gần nhất.

Chứng minh rằng trên bất kì sân bay nào cũng không thể có quá 5 máy bay bay đến.

BẢNG B

Bài 1:
a) Không giải phương trình, hãy tính hiệu các lập phương của các nghiệm lớn và nghiệm nhỏ của phương trình bậc hai sau:
$ \displaystyle x_{{}}^{2}-\frac{\sqrt{85}}{4}x+1\frac{5}{16}=0$
b) Với giá trị nguyên nào của k, các nghiệm của phương trình $ \displaystyle kx_{{}}^{2}+(2k-1)x+k-2=0$ là các số hữu tỉ ?.

Bài 2: Xem bài 2 Bảng A

Bài 3: Xem câu a bài 3 Bảng A

Bài 4: Trong tam giác ABC có ba goc nhọn, lấy một điểm P bất kì. Chứng minh rằng khoảng cách lớn nhất trong các khoảng cách từ P đến các đỉnh A, B, C không nhỏ hơn 2 lần khoảng cách bé nhất trong các khoảng cách từ P đến các cạnh của tam giác đó.