Đề thi vào 10 môn Toán TP Hà Nội năm 2009 tới nay

Toàn bộ đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán tại thành phố Hà Nội từ năm 2009 tới năm nay được Toancap2.net tổng hợp lại.

Thời gian làm bài 120 phút.

Các em học sinh tự giải đề thi để chuẩn bị tốt cho kì thi tuyển sinh vào lớp 10 tại Hà Nội, các tỉnh khác tham khảo.

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán TP Hà Nội năm học 2009-2010

Bài I (2,5 điểm)

Cho biểu thức: $ A=\frac{x}{{x-4}}+\frac{1}{{\sqrt{x}-2}}+\frac{1}{{\sqrt{x}+2}}$ với x ≥ 0 và x ≠ 4

1) Rút gọn A

2) Tính giá trị của A khi x = 25

3) Tìm x để $ A=-\frac{1}{3}$

Bài II (2,5 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Hai tổ sản xuất cùng may một loại áo. Nếu tổ thứ nhất may trong 3 ngày, tổ thứ hai may trong 5 ngày thì cả hai tổ may được 1310 áo.Biết rằng trong một ngày tổ thứ nhất may được nhiều hơn tổ thứ hai là 10 chiếc áo. Hỏi mỗi tổ trong một ngày may được bao nhiêu chiếc áo?

Bài III (1,0 điểm)

Cho phương trình (ẩn x): x² – 2(m+1)x + m² + 2 = 0

1) Giải phương trình đã cho khi m = 1

2) Tìm giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm x₁; x₂ thoả mãn: $ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=10$

Bài IV (3,5 điểm)

Cho (O;R) và điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm).

1) Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp.

2) Gọi E là giao điểm của BC và OA. Chứng minh BE vuông góc với OA và OE.OA = R²

3) Trên cung nhỏ BC của (O;R) lấy điểm K bất kì (K khác B và C). Tiếp tuyến tại K của (O;R) cắt AB, AC theo thứ tự tại P và Q. Chứng minh tam giác APQ có chu vi không đổi khi K chuyển động trên cung nhỏ BC.

4) Đường thẳng qua O và vuông góc với OA cắt các đường thẳng AB, AC theo thứ tự tại M, N. Chứng minh PM + QN ≥ MN

Bài V (0,5 điểm)

Giải phương trình:

$ \sqrt{{{{x}^{2}}-\frac{1}{4}+\sqrt{{{{x}^{2}}+x+\frac{1}{4}}}}}=\frac{1}{2}\left( {2{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+2x+1} \right)$

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán TP Hà Nội năm học 2010-2011

Bài I (2,5 điểm)

Cho biểu thức : A = $ \frac{{\sqrt{x}}}{{\sqrt{x}+3}}+\frac{{2\sqrt{x}}}{{\sqrt{x}-3}}-\frac{{3x+9}}{{x-9}}$, với x$ \ge $0 và x$ \ne $9.

1) Rút gọn biểu thức A.

2) Tìm giá trị của x để $ \displaystyle A=\frac{1}{3}$

3) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A.

Bài II (2,5 điểm)

Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình:

Một mảnh đất hình chữ nhật có độ dài đường chéo là 13 m và chiều dài lớn hơn chiều rộng 7 m. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó.

Bài III (1,0 điểm)

Cho parabol (P): y = -x² và đường thẳng (d): y = mx – 1.

1) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt.

2) Gọi x₁, x₂ lần lượt là hoành độ các giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P). Tìm giá trị của m để: x₁²x₂ + x₂²x₁ – x₁x₂ = 3.

Bài IV (3,5 điểm)

Cho đường tròn (O) có đường kính AB = 2R và điểm C thuộc đường tròn đó (C khác A, B). Lấy điểm D thuộc dây BC (D khác B, C). Tia AD cắt cung nhỏ BC tại điểm E, tia AC cắt tia BE tại điểm F.

1) Chứng minh FCDE là tứ giác nội tiếp.

2) Chứng minh DA.DE = DB.DC.

3) Chứng minh $ \widehat{{CFD}}$ = $ \widehat{{OCB}}$.  Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE, chứng minh IC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

4) Cho biết DF = R, chứng minh tg$ \widehat{{AFB}}$ = 2.

Bài V ( 0,5 điểm)

Giải phương trình: $ \displaystyle {{x}^{2}}+4x+7=(x+4)\sqrt{{{{x}^{2}}+7}}$

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán TP Hà Nội năm học 2011-2012

Bài I (2,5 điểm)

Cho $ A=\frac{{\sqrt{x}}}{{\sqrt{x}-5}}-\frac{{10\sqrt{x}}}{{x-25}}-\frac{5}{{\sqrt{x}+5}}$    Với $ x\ge 0,x\ne 25$.

1) Rút gọn biểu thức A.

2) Tính giá trị của A khi x = 9.

3) Tìm x để $ A<\frac{1}{3}$.

Bài II (2,5 điểm)

Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Một đội xe theo kế hoạch chở hết 140 tấn hàng trong một số ngày quy định. Do mỗi ngày đội đó chở vượt mức 5 tấn nên đội đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 1 ngày và chở thêm được 10 tấn. Hỏi theo kế hoạch đội xe chở hàng hết bao nhiêu ngày?

Bài III (1,0 điểm)

Cho Parabol (P): $ y={{x}^{2}}$ và đường thẳng (d): $ y=2x-{{m}^{2}}+9$.

1) Tìm toạ độ các giao điểm của Parabol (P) và đường thẳng (d) khi m = 1.

2) Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung.

Bài IV (3,5 điểm)

Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Gọi d₁ và d₂ là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại hai điểm A và B.Gọi I là trung điểm của OA và E là điểm thuộc đường tròn (O) (E không trùng với A và B). Đường thẳng d đi qua điểm E và vuông góc với EI cắt hai đường thẳng d₁ và d₂ lần lượt tại M, N.

1) Chứng minh AMEI là tứ giác nội tiếp.

2) Chứng minh $ \angle ENI=\angle EBI$ và $ \angle MIN={{90}^{0}}$.

3) Chứng minh AM.BN = AI.BI .

4) Gọi F là điểm chính giữa của cung AB không chứa E của đường tròn (O). Hãy tính diện tích của tam giác MIN theo R khi ba điểm E, I, F thẳng hàng.

Bài V (0,5 điểm)

Với x > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $ M=4{{x}^{2}}-3x+\frac{1}{{4x}}+2011$.

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán TP Hà Nội năm học 2012-2013

Bài I (2,5 điểm)

1) Cho biểu thức $ \displaystyle A=\frac{{\sqrt{x}+4}}{{\sqrt{x}+2}}$. Tính giá trị của A khi x = 36

2) Rút gọn biểu thức $ \displaystyle B=\left( {\frac{{\sqrt{x}}}{{\sqrt{x}+4}}+\frac{4}{{\sqrt{x}-4}}} \right):\frac{{x+16}}{{\sqrt{x}+2}}$  (với $ \displaystyle x\ge 0;x\ne 16$)

3) Với các của biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị của x nguyên để giá trị của biểu thức B(A – 1) là số nguyên

Bài II (2,0 điểm). Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

          Hai người cùng làm chung một công việc trong $ \displaystyle \frac{{12}}{5}$ giờ thì xong. Nếu mỗi người làm một mình thì người thứ nhất hoàn thành công việc trong ít hơn người thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu thời gian để xong công việc?

Bài III (1,5 điểm)

1) Giải hệ phương trình: $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{x}+\frac{1}{y}=2\\\frac{6}{x}-\frac{2}{y}=1\end{array} \right.$

2) Cho phương trình: x² – (4m – 1)x + 3m² – 2m = 0 (ẩn x). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn điều kiện : $ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=7$

Bài IV (3,5 điểm)

Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. Bán kính CO vuông góc với AB, M là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC (M khác A, C); BM cắt AC tại H. Gọi K là hình chiếu của H trên AB.

1) Chứng minh CBKH là tứ giác nội tiếp.

2) Chứng minh $ \widehat{{ACM}}=\widehat{{ACK}}$

3) Trên đọan thẳng BM lấy điểm E sao cho BE = AM. Chứng minh tam giác ECM là tam giác vuông cân tại C

4) Gọi d là tiếp tuyến của (O) tại điểm A; cho P là điểm nằm trên d sao cho hai điểm P, C nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ AB và $ \frac{{AP.MB}}{{MA}}=R$. Chứng minh đường thẳng PB đi qua trung điểm của đoạn thẳng HK

Bài V (0,5 điểm). Với x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện $ x\ge 2y$, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $ M=\frac{{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}{{xy}}$

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán TP Hà Nội năm học 2013-2014

Bài I (2,0 điểm)

Với x > 0, cho hai biểu thức $ \displaystyle A=\frac{{2+\sqrt{x}}}{{\sqrt{x}}}$ và $ \displaystyle \text{B}=\frac{{\sqrt{\text{x}}-1}}{{\sqrt{\text{x}}}}+\frac{{2\sqrt{\text{x}}+1}}{{\text{x}+\sqrt{\text{x}}}}$.

1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 64.

2) Rút gọn biểu thức B.

3) Tìm x để $ \displaystyle \frac{A}{B}>\frac{3}{2}$.

Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình:

Quãng đường từ A đến B dài 90 km. Một người đi xe máy từ A đến B. Khi đến B, người đó nghỉ 30 phút rồi quay trở về A với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là 9 km/h. Thời gian kể từ lúc bắt đầu đi từ A đến lúc trở về đến A là 5 giờ. Tính vận tốc xe máy lúc đi từ A đến B.

Bài III (2,0 điểm)

1) Giải hệ phương trình: $ \displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {3(x+1)+2(x+2y)=4} \\ {4(x+1)-(x+2y)=9} \end{array}} \right.$

2) Cho parabol (P) : $ \displaystyle y=\frac{1}{2}{{x}^{2}}$ và đường thẳng (d) : $ \displaystyle \text{y}=\text{mx}-\frac{1}{2}{{\text{m}}^{2}}+\text{m}+1$.

a) Với m = 1, xác định tọa độ các giao điểm A, B của (d) và (P).

b) Tìm các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x₁, x₂ sao cho |x₁ – x₂| = 2.

Bài IV (3,5 điểm)

Cho đường tròn (O) và điểm A nằm bên ngoài (O). Kẻ hai tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) (M, N là các tiếp điểm). Một đường thẳng d đi qua A cắt đường tròn (O) tại hai điểm B và C (AB < AC, d không đi qua tâm O).

1) Chứng minh tứ giác AMON nội tiếp.

2) Chứng minh AN² = AB.AC.

Tính độ dài đoạn thẳng BC khi AB = 4 cm, AN = 6 cm.

3) Gọi I là trung điểm của BC. Đường thẳng NI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai T. Chứng minh MT // AC.

4) Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau ở K. Chứng minh K thuộc một đường thẳng cố định khi d thay đổi và thỏa mãn điều kiện đề bài.

Bài V (0,5 điểm)

Với a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c + ab + bc + ca = 6abc, chứng minh:

$ \displaystyle \frac{1}{{{{a}^{2}}}}+\frac{1}{{{{b}^{2}}}}+\frac{1}{{{{c}^{2}}}}\ge 3$

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán TP Hà Nội năm học 2014-2015

Bài I. (2,0 điểm).

1)  Tính giá trị biểu thức : $ \displaystyle A=\frac{{\sqrt{x}+1}}{{\sqrt{x}-1}}$ khi x = 9.

2)  Cho biểu thức $ \displaystyle P=\left( {\frac{{x-2}}{{x+2\sqrt{x}}}+\frac{1}{{\sqrt{x}+2}}} \right)\cdot \frac{{\sqrt{x}+1}}{{\sqrt{x}-1}}$ với $ \displaystyle x>0;x\ne 1$.

a) Chứng minh $ \displaystyle P=\frac{{\sqrt{x}+1}}{{\sqrt{x}}}$ .

b) Tìm giá trị của x để $ \displaystyle 2\text{P}=2\sqrt{x}+5$.

Bài II. (2,0 điểm). Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình:

Một phân xưởng theo kế hoạch cần phải sản xuất 1100 sản phẩm trong một số ngày quy định. Do mỗi ngày phân xưởng đó sản xuất vượt mức 5 sản phẩm nên phân xưởng đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 2 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày phân xưởng phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm?

Bài III. (2,0 điểm).

1) Giải hệ phương trình: $ \displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{4}{{x+y}}+\frac{1}{{y-1}}=5} \\ {\frac{1}{{x+y}}-\frac{2}{{y-1}}=-1} \end{array}} \right.$

2) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d) : y = – x + 6 và parabol (P): y = x².

a) Tìm tọa độ các giao điểm của (d) và (P).

b) Gọi A, B là giao điểm của (d) và (P). Tính diện tích tam giác OAB.

Bài IV. (3,5 điểm).

Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB cố định. Vẽ đường kính MN của đường tròn (O; R) (M khác A, M khác B). Tiếp tuyến của đường tròn (O; R) tại B cắt cắt các đường thẳng AM, An lần lượt tại các điểm Q, P.

1)  Chứng minh tứ giác AMBN là hình chữ nhật.

2)  Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn.

3) Gọi E là trung điểm của BQ. Đường thẳng vuông góc với OE tại O cắt PQ tại F. Chứng minh F là trung điểm của BP và ME // NF.

4) Khi đường kính MN quay quanh tâm O và thỏa mãn điều kiện đề bài, xác định vị trí của đương kính MN để tứ giác MNPQ có diện tích nhỏ nhất.

Bài V. (0,5 điểm).

Với a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$ \displaystyle Q=\sqrt{{2a+bc}}+\sqrt{{2b+ca}}+\sqrt{{2c+ab}}$

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán TP Hà Nội năm học 2015-2016

Bài I (2,0 điểm)

Cho hai biểu thức $ \displaystyle P=\frac{{x+3}}{{\sqrt{x}-2}}$  và $ \displaystyle Q=\frac{{\sqrt{x}-1}}{{\sqrt{x}+2}}+\frac{{5\sqrt{x}-2}}{{x-4}}$ với x>0, $ \displaystyle x\ne 4$

1) Tính giá trị của biểu thức P khi x = 9.

2) Rút gọn biểu thức Q.

3) Tìm giá trị của x để biểu thức $ \displaystyle \frac{P}{Q}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài II (2,0 điểm) Giái bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Một tàu tuần tra chạy ngược dòng 60km, sau đó chạy xuôi dòng 48km trên cùng một dòng sông có vận tốc của dòng nước là 2km/giờ. Tính vận tốc của tàu tuần tra khi nước yên lặng, biết thời gian xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng 1 giờ.

Bài III (2,0 điểm)

1) Giải hệ phương trình $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}2\left( {x+y} \right)+\sqrt{{x+1}}=4\\\left( {x+y} \right)-3\sqrt{{x+1}}=-5\end{array} \right.$

2) Cho phương trình : $ \displaystyle {{x}^{2}}-(m+5)x+3m+6=0$ (x là ẩn số).

a. Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi số thực m.

b. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x₁, x₂ là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác có độ dài cạnh huyền bằng 5.

Bài IV (3,5 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Lấy điểm C trên đoạn thẳng AO (C khác A, C khác O). Đường thẳng đi qua C và vuông góc với AB cắt nửa đường tròn tại K. Gọi M là điểm bất kì trên cung KB (M khác K, M khác B). Đường thẳng CK cắt các đường thẳng AM, BM lần lượt tại H và D. Đường thẳng BH cắt nửa đường tròn tại điểm thứ hai N.

1) Chứng minh tứ giác ACMD là tứ giác nội tiếp.

2) Chứng minh CA.CB=CH.CD.

3) Chứng minh ba điểm A, N, D thẳng hàng và tiếp tuyến tại N của nửa đường tròn đi qua trung điểm của DH.

Khi M di động trên cung KB, chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.

 Bài V(0,5 điểm) Với hai số thực không âm a, b thỏa  mãn $ \displaystyle {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4$, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

$ \displaystyle M=\frac{{ab}}{{a+b+2}}$

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán TP Hà Nội năm học 2016-2017

Bài I (2,0 điểm)

Cho hai biểu thức $ \displaystyle A=\frac{7}{{\sqrt{x}+8}}$  và $ \displaystyle B=\frac{{\sqrt{x}}}{{\sqrt{x}-3}}+\frac{{2\sqrt{x}-24}}{{x-9}}$ với x$ \ge $0, $ \displaystyle x\ne 9$

1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 25.

2) Chứng minh $ \displaystyle B=\frac{{\sqrt{x}+8}}{{\sqrt{x}+3}}$

3) Tìm giá trị của x để biểu thức P=A.Bcó giá trị là số nguyên.

Bài II (2,0 điểm) Giái bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 720 m². Nếu tăng chiều dài thêm 10 m và giảm chiều rộng 6 m thì diện tích mảnh vườn không đổi. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn.

Bài III (2,0 điểm)

1) Giải hệ phương trình $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\frac{{3x}}{{x-1}}-\frac{2}{{y+2}}=4\\\frac{{2x}}{{x-1}}+\frac{1}{{y+2}}=5\end{array} \right.$

2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxycho đường thẳng (d): y = 3x +m² – 1 và parabol (P): y=x².

a) Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt với mọi m.

b) Gọi x₁ và x₂ là hoành độ các giao điểm của (d) và (P). Tìm m để (x₁ + 1)( x₂+ 1) = 1.

Bài IV (3,5 điểm) Cho đường tròn (O)và điểm A nằm ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (O) (B là tiếp điểm) và đường kính BC. Trên đoạn thẳng CO lấy điểm I (I khác C, I khác O). Đường thẳng AI cắt (O) tại 2 điểm D và E (D nằm giữa A và E). Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng DE.

1) Chứng minh 4 điểm A, B, O, H cùng nằm trên một đường tròn

2) Chứng minh $ \frac{{AB}}{{AE}}=\frac{{BD}}{{BE}}$ .

3) Đường thẳng d đi qua điểm E song song với AO, d cắt BC tại điểm K. Chứng minh HK//DC.

4) Tia CD cắt Ao tại điểm P, tia EO cắt PB tại điểm F. Chứng minh tứ giác BECF là hình chữ nhật.

Bài V (0,5 điểm) Với các số thực x, y thỏa  mãn $ \displaystyle x-\sqrt{{x+6}}=\sqrt{{y+6}}-y$, tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x + y.

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán TP Hà Nội năm học 2017-2018

Bài I (2,0 điểm)

Cho hai biểu thức $ A=\frac{{\sqrt{x}+2}}{{\sqrt{x}-5}}$ và $ B=\frac{3}{{\sqrt{x}+5}}+\frac{{20-2\sqrt{x}}}{{x-25}}$ với $ x\ge 0,x\ne 25$.

1) Tính giá trị biểu thức $ A$ khi  $ x=9$.

2) Chứng minh rằng $ B=\frac{1}{{\sqrt{x}-5}}$.

3) Tìm tất cả các giá trị của $ x$ để $ A=B.\left| {x-4} \right|$.

Bài II (2,0 điểm)Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

Một xe ô tô và một xe máy cùng khởi hành từ $ A$ để đi đến $ B$ với vận tốc của mỗi xe không đổi trên toàn bộ quãng đường $ AB$ dài 120km. Do vận tốc xe ô tô lớn hơn vận tốc xe máy là 10km/h nên xe ô tô đến $ B$ sớm hơn xe máy 36 phút. Tính vận tốc của mỗi xe.

Bài III (2,0 điểm)

1) Giải hệ phương trình $ \left\{ \begin{array}{l}\sqrt{x}+2\sqrt{{y-1}}=5\\4\sqrt{x}-\sqrt{{y-1}}=2\end{array} \right..$

2) Trong mặt phẳng tọa độ $ Oxy$, cho đường thẳng $ \left( d \right):y=mx+5.$

a) Chứng minh đường thẳng $ \left( d \right)$ luôn đi qua điểm $ A\left( {0;5} \right)$ với mọi giá trị của $ m$.

b) Tìm tất cả các giá trị của $ m$ để đường thẳng $ \left( d \right)$ cắt parabol $ \left( P \right):y={{x}^{2}}$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là $ {{x}_{1}},{{x}_{2}}$ (với $ {{x}_{1}}<{{x}_{2}}$) sao cho $ \left| {{{x}_{1}}} \right|>\left| {{{x}_{2}}} \right|$.

Bài IV (3,5 điểm) Cho đường tròn $ \left( O \right)$ ngoại tiếp tam giác nhọn $ ABC$. Gọi $ M$ và $ N$ lần lượt là điểm chính giữa của cung nhỏ $ AB$ và cung nhỏ $ BC$. Hai dây $ AN$ và $ CM$ cắt nhau tại điểm $ I$.

Dây $ MN$ cắt các cạnh $ AB$ và $ BC$ lần lượt tại các điểm $ H$ và $ K$.

1) Chứng minh bốn điểm $ C,N,K,I$ cùng thuộc một đường tròn.

2) Chứng minh $ N{{B}^{2}}=NK.NM$.

3) Chứng minh tứ giác $ BHIK$ là hình thoi.

4) Gọi $ \displaystyle P,~Q$ lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp tam giác $ \displaystyle MBK$, tam giác $ \displaystyle MCK$và $ \displaystyle E$ là trung điểm của đoạn $ \displaystyle PQ$. Vẽ đường kính $ \displaystyle ND$ của đường tròn $ \left( O \right)$ . Chứng minh ba điểm $ \displaystyle D,E,K$ thẳng hàng.

Bài V (0,5 điểm)

Cho các số thực $ \displaystyle a,b,c$thay đổi luôn thỏa mãn: $ \displaystyle a\ge 1,b\ge 1,c\ge 1$ và $ \displaystyle ab+bc+ca=9$.

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức.

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán TP Hà Nội năm học 2018-2019

Bài I (2,0 điểm)

Cho hai biểu thức A = $ \displaystyle \frac{{\sqrt{x}+4}}{{\sqrt{x}-1}}$ và B = $ \displaystyle \frac{{3\sqrt{x}+1}}{{x+2\sqrt{x}-3}}-\frac{2}{{\sqrt{x}+3}}$ với x ≥ 0, x ≠ 1

1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9.

2) Chứng minh B = $ \displaystyle \frac{1}{{\sqrt{x}-1}}$

3) Tìm tất cả giá trị của x để $ \displaystyle \frac{A}{B}\ge \frac{x}{4}+5$.

Bài II (2,0 điểm)

Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằng 28 mét và độ dài đường chéo bằng 10 mét. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó theo đơn vị mét.

Bài III (2,0 điểm)

1) Giải hệ phương trình $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}4x-\left| {y+2} \right|=3\\x+2\left| {y+2} \right|=3\end{array} \right.$.

2) Trong mặt  phẳng  tọa  độ  Oxy,  cho  đường  thẳng (d): y = (m + 2)x + 3 và parabol (P): y = x².

a) Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.

b) Tìm tất cả các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có các hoành độ là các số nguyên.

Bài IV (3,5 điểm)

Cho đường tròn (O; R) với dây cung AB không đi qua tâm. Lấy S là một điểm bất kì trên tia đối của  tia  AB  (S khác A).  Từ  điểm  S  vẽ  hai  tiếp  tuyến  SC,  SD với  đường tròn (O; R) sao cho điểm C nằm trên cung nhỏ AB (C, D là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng AB.

1) Chứng minh năm điểm C, D, H, O, S thuộc đường tròn đường kính SO.

2) Khi SO = 2R, hãy tính độ dài đoạn thẳng SD theo R và tính số đo $ \displaystyle \widehat{{CSD}}$.

3) Đường thẳng đi qua điểm  A  và song song với đường thẳng  SC,  cắt đoạn thẳng  CD  tại điểm  K.  Chứng minh tứ giác  ADHK  là tứ giác nội tiếp và đường thẳng  BK  đi qua trung điểm của đoạn thẳng  SC.

4) Gọi  E  là  trung  điểm  của đoạn thẳng  BD  và  F  là hình chiếu vuông góc của điểm  E  trên đường thẳng  AD.  Chứng minh rằng, khi điểm  S  thay đổi trên tia đối của tia AB  thì điểm  F  luôn thuộc một đường tròn cố định.

Bài V (0,5 điểm)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = $ \displaystyle \sqrt{{1-x}}+\sqrt{{1+x}}+2\sqrt{x}$.