Bài tập chuyên đề Rút gọn có đáp án – Toán lớp 9

Toán cấp 2 chia sẻ một số bài tập chuyên đề Rút gọn có đáp án thuộc chương trình Toán lớp 9 giúp học sinh ôn tập cũng cố kiến thức chuẩn bị tốt cho các kì thi quan trọng.

*Chú ý: Các em có thể hỏi nhau những bài nào chưa hiểu ở phần comment bài viết.

Giải:

1)

• Ta thấy ${\displaystyle x=25}$ thoả mãn điều kiện $x\ge 0;x\ne 9$.
• Thay ${\displaystyle x=25}$ vào A ta được: $A=\frac{7}{\sqrt{25}+8}=\frac{7}{5+8}=\frac{7}{13}$.
• Vậy khi ${\displaystyle x=25}$ thì $A=\frac{7}{13}$

2) $\begin{array}{l}2)B=\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+3)+2\sqrt{x}-24}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}=\frac{x+5\sqrt{x}-24}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}\\ =\frac{(\sqrt{x}+8)(\sqrt{x}-3)}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}=\frac{\sqrt{x}+8}{\sqrt{x}+3}\end{array}$

Vậy

$\Rightarrow$ ĐPCM

3) ĐK: $x\ge 0;x\ne 9$    (*), ta có: $P=A.B=\frac{7}{\sqrt{x}+8}.\frac{\sqrt{x}+8}{\sqrt{x}+3}=\frac{7}{\sqrt{x}+3}>0,\mathrm{\forall }x\ge 0,x\ne 9$

+) Vì $x\ge 0$ nên $\sqrt{x}\ge 0\Rightarrow \sqrt{x}+3\ge 3\Rightarrow \frac{7}{\sqrt{x}+3}\le \frac{7}{3}$

+) Do đó: $0<P\le \frac{7}{3},\mathrm{\forall }x\ge 0,x\ne 9$.

+) Vậy $P\notin \mathbb{Z}\iff P\in \{1;2\}$

• TH1: $P=1\iff \frac{7}{\sqrt{x}+3}=1\iff 7=\sqrt{x}+3\iff \sqrt{x}=4\iff x=16$ (thoả mãn ĐK *)
• TH2: $P=2\iff \frac{7}{\sqrt{x}+3}=2\iff 7=2\sqrt{x}+6\iff \sqrt{x}=\frac{1}{2}\iff x=\frac{1}{4}$ (thoả mãn ĐK *)

Vậy P nguyên ${\displaystyle \iff x\in \{16;\frac{1}{4}\}}$

Giải:

1)

• Ta thấy ${\displaystyle x=9}$ thoả mãn điều kiện $x>0,x\ne 4$.
• Thay ${\displaystyle x=9}$ vào P ta được: $P=\frac{9+3}{\sqrt{9}-2}=\frac{12}{3-2}=12$.
• Vậy khi ${\displaystyle x=9}$ thì $P=12$

2) $\begin{array}{l}Q=\frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}-2)+5\sqrt{x}-2}{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-2)}=\frac{{\left(\sqrt{x}\right)}^2-3\sqrt{x}+2+5\sqrt{x}-2}{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-2)}\\ =\frac{{\left(\sqrt{x}\right)}^2+2\sqrt{x}}{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-2)}=\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-2)}\\ =\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}\end{array}$

Vậy

$\Rightarrow$ ĐPCM

3) ĐK: $x>0,x\ne 4$ (*)

$\frac{P}{Q}=\frac{x+3}{\sqrt{x}-2}.\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}}=\frac{x+3}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}+\frac{3}{\sqrt{x}}$

+) Áp dụng BĐT Cô – si cho hai số dương: $\sqrt{x}v\stackrel{`}{a}\frac{3}{\sqrt{x}}$, ta có:

${\displaystyle \begin{array}{l}\sqrt{x}+\frac{3}{\sqrt{x}}\ge 2\sqrt{\sqrt{x}.\frac{3}{\sqrt{x}}}=2\sqrt{3}\\ \Rightarrow \frac{P}{Q}\ge 2\sqrt{3};\mathrm{\forall }x>0,x\ne 4\end{array}}$

+) $\frac{P}{Q}=2\sqrt{3}\iff$dấu “=” trong BĐT Cô – si xảy ra $\iff \sqrt{x}=\frac{3}{\sqrt{x}}\iff {\left(\sqrt{x}\right)}^2=3\iff x=3$(tmđk*)

Vậy $x=3$ thì ${\displaystyle \frac{P}{Q}}$ đạt GTNN

Giải:

1) +) A xđ $\iff \{\begin{array}{l}x\ge 0\\ \sqrt{x}-1\ne 0\end{array}\iff x\ge 0,x\ne 1$

+) Ta thấy khi ${\displaystyle x=9}$ thoả mãn điều kiện: $x\ge 0,x\ne 1$

+) Thay ${\displaystyle x=9}$vào A, ta được:

$A=\frac{\sqrt{9}+1}{\sqrt{9}-1}=\frac{3+1}{3-1}=\frac{4}{2}=2$

+) Vậy khi ${\displaystyle x=9}$ thì $A=2$

2) $\begin{array}{l}P=\frac{x-2+\sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)}.\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=\frac{{\sqrt{x}}^2+\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)}.\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\\ =\frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+2)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)}.\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\end{array}$

Vậy $P==\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}};x\ge 0,x\ne 1$    $\Rightarrow$ ĐPCM

3) ĐK: $x\ge 0,x\ne 1$                (*)

${\displaystyle \begin{array}{l}2P=2\sqrt{x}+5\iff 2.\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}=2\sqrt{x}+5\\ \iff 2\sqrt{x}+2=2{\sqrt{x}}^2+5\sqrt{x}\iff 2{\sqrt{x}}^2+3\sqrt{x}-2=0\\ \iff 2(\sqrt{x}-\frac{1}{2})(\sqrt{x}+2)=0\\ \iff [\begin{array}{c}\sqrt{x}-\frac{1}{2}=0\\ \sqrt{x}+2=0\end{array}\iff [\begin{array}{c}\sqrt{x}=\frac{1}{2}\\ \sqrt{x}=-2\left(VN\right)\end{array}\\ \iff x=\frac{1}{4}(tmk\ast )\end{array}}$

Vậy ${\displaystyle x=\frac{1}{4}}$ thì $2P=2\sqrt{x}+5$

Giải:

1) +) $x=64$ thoả mãn điều kiện: $x>0$

+)  Thay $x=64$vào A, ta được:

$A=\frac{2+\sqrt{64}}{\sqrt{64}}=\frac{2+8}{8}=\frac{5}{4}$

+)  Vậy khi $x=64$ thì $A=\frac{5}{4}$

2) ${\displaystyle \begin{array}{l}B=\frac{(\sqrt{x}-1)\left(\sqrt{x+1}\right)+2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}\\ =\frac{{\sqrt{x}}^2-1+2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}=\frac{{\sqrt{x}}^2+2\sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}\\ =\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}\end{array}}$

Vậy: ${\displaystyle B=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1};x>0}$

3) ĐK: $x>0$                                (*)

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{A}{B}>\frac{3}{2}\iff \frac{2+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}.\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}>\frac{3}{2}\\ \iff \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}>\frac{3}{2}\end{array}}$

(Nhân cả hai vế với $2\sqrt{x}>0$)

$\begin{array}{l}\iff 2(\sqrt{x}+1)>3\sqrt{x}\\ \iff \sqrt{x}<2\\ \iff x<4\end{array}$

Kết hợp với (*) ta được: $0<x<4$  thì $\frac{A}{B}>\frac{3}{2}$

Giải:

1) +) A xđ $\iff x\ge 0$ .

+) Ta thấy $x=36$ thoả mãn điều kiện $x\ge 0$

+) Thay $x=36$ vào A ta được:

$A=\frac{\sqrt{36}+4}{\sqrt{36}+2}=\frac{6+4}{6+2}=\frac{10}{8}=\frac{5}{4}$

+) Vậy khi $x=36$ thì $A=\frac{5}{4}$

2) ${\displaystyle B=\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-4)+4(\sqrt{x}+4)}{(\sqrt{x}+4)(\sqrt{x}-4)}.\frac{\sqrt{x}+2}{x+16}}$

$\begin{array}{l}=\frac{{\sqrt{x}}^2-4\sqrt{x}+4\sqrt{x}+16}{x-16}.\frac{\sqrt{x}+2}{x-16}\\ =\frac{(x+16)(\sqrt{x}+2)}{(x-16)(x+16)}=\frac{\sqrt{x}+2}{x-16}\end{array}$

Vậy: $B=\frac{\sqrt{x}+2}{x-16};x>0,x\ne 16$

3) +) ĐK: $x>0,x\ne 16$

+) $B.(A-1)=\frac{\sqrt{x}+2}{x-16}.(\frac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}+2}-1)$

$=\frac{\sqrt{x}+2}{x-16}.\frac{\sqrt{x}+4-\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2}=\frac{2}{x-16}$

$B.(A-1)\in \mathbb{Z}\iff \frac{2}{x-16}\in \mathbb{Z}$ ⇔ $x-16\in$ $\{\pm 1;\pm 2\}$ (Vì khi $x\in \mathbb{Z}$ thì $x-16\in \mathbb{Z}$)

$\iff [\begin{array}{l}x-16=-1\\ x-16=1\\ x-16=-2\\ x-16=2\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=15\\ x=17\\ x=14\\ x=18\end{array}$  tất cả đều thoả mãn điều kiện: $x>0,x\ne 16$

Vậy $x\in \{14;15;17;18\}$ là các giá trị nguyên của x để $B.(A-1)$ nhận giá trị nguyên.

Giải:

1) +) $A=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x+5}\right)-10\sqrt{x}-5(\sqrt{x}-5)}{(\sqrt{x}-5)(\sqrt{x}+5)}$

${\displaystyle \begin{array}{l}=\frac{{\sqrt{x}}^2-10\sqrt{x}+25}{(\sqrt{x}-5)(\sqrt{x}+5)}\\ =\frac{{(\sqrt{x}-5)}^2}{(\sqrt{x}-5)(\sqrt{x}+5)}\\ =\frac{\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}+5}\end{array}}$

Vậy: $A=\frac{\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}+5};x\ge 0;x\ne 25$

2) +) Ta thấy $x=9$ thoả mãn điều kiện: $x\ge 0,x\ne 25$

+) Thay $x=9$ vào A, ta được:

$A=\frac{\sqrt{9}-5}{\sqrt{9}+5}=\frac{3-5}{3+5}=\frac{-2}{8}=\frac{-1}{4}$

Vậy khi $x=9$ thì $A=\frac{-1}{4}$

3) +) ĐK: $x\ge 0,x\ne 25$                     (*)

+) $A<\frac{1}{3}\iff \frac{\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}+5}<\frac{1}{3}$

(Nhân cả 2 vế với $3(\sqrt{x}+5)>0$)

${\displaystyle \begin{array}{l}\iff 3(\sqrt{x}-5)<\sqrt{x}+5\\ \iff 2\sqrt{x}<20\\ \iff \sqrt{x}<10\\ \iff x<100\end{array}}$

Kết hợp điều kiện (*), ta có: $\{\begin{array}{l}0\le x<100\\ x\ne 25\end{array}$   thì $A<\frac{1}{3}$

Giải:

1) +) Ta thấy $x=25$ thoả mãn đk: $x>0,x\ne 1$

2) +) $M=\frac{\sqrt{2}+2}{{(\sqrt{x}+1)}^2}-\frac{\sqrt{x}-2}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)}$

${\displaystyle \begin{array}{l}=\frac{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-1)-(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+1)}{{(\sqrt{x}+1)}^2.(\sqrt{x}-1)}\\ =\frac{(x+\sqrt{x}-2)-(x-\sqrt{x}-2)}{{(\sqrt{x}+1)}^2.(\sqrt{x}-1)}\\ =\frac{2\sqrt{x}}{{(\sqrt{x}+1)}^2.(\sqrt{x}-1)}\end{array}}$

+) $S=M.N=\frac{2\sqrt{x}}{{(\sqrt{x}+1)}^2.(\sqrt{x}-1)}.\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}$

$=\frac{2}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)}=\frac{2}{x-1}$

Vậy: $S=\frac{2}{x-1};x>0,x\ne 1$.

3) +) ĐK: $x>0,x\ne 1$                 (*)

+) $S<-1\iff \frac{2}{x-1}<-1$

$\begin{array}{l}\iff \frac{2}{x-1}+1<0\\ \iff \frac{2+x-1}{x-1}<0\\ \iff \frac{x+1}{x-1}<0\end{array}$

Vì: $x+1>1>0,\mathrm{\forall }x>0$ nên: $\frac{x+1}{x-1}<0\iff x-1<0\iff x<1$

+) Kết hợp điều kiện (*), ta được: $0<x<1$  thì $S<-1$

Giải:

1) +) Ta thấy $x=36$ thoả mãn ĐK: $x\ge 0,x\ne 1$

+) Thay $x=36$ vào B ta được: $B=\frac{\sqrt{36}+3}{\sqrt{36}+1}=\frac{6+3}{6+1}=\frac{9}{7}$

+) Vậy khi $x=36$thì $B=\frac{9}{7}$

2) +) $A=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\frac{1}{\sqrt{x}+2}-\frac{3\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x-1}\right)(\sqrt{x}+2)}$

$\begin{array}{l}=\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)+(\sqrt{x}-1)-3\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+2)}\\ =\frac{{\sqrt{x}}^2-1}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+2)}=\frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+2)}\\ =\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}\end{array}$

Vậy $A==\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2};x\ge 0,x\ne 1$

3) +) ĐK: $x\ge 0,x\ne 1$

$+)S=A.B=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}.\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+1}=\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+2}=1+\frac{1}{\sqrt{x}+2}$

$\begin{array}{l}\bullet )\mathrm{\forall }x\ge 0,x\ne 1:\\ \sqrt{x}\ge 0\Rightarrow \sqrt{x}+2\ge 0\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x}+2}\le \frac{1}{2}\Rightarrow 1+\frac{1}{\sqrt{x}+2}\le 1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\end{array}$

${\displaystyle \begin{array}{l}\bullet )S=\frac{3}{2}\iff 1+\frac{1}{\sqrt{x}+2}=\frac{3}{2}\iff \frac{1}{\sqrt{x}+2}=\frac{1}{2}\\ \iff \sqrt{x}+2=2\iff \sqrt{x}=0\iff x=0\end{array}}$

$\bullet )x=0$ thoả mãn đk: $x\ge 0,x\ne 1$

Vậy $x=0$ thì S = A.B đạt GTLN

$\iff 6>\sqrt{a}+2\iff \sqrt{a}<4\iff a<16$

Giải:

1) +) A xác định $\iff \{\begin{array}{l}a\ge 0\\ \sqrt{a}\ne 0\\ \sqrt{a}\ne 2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a>0\\ a\ne 4\end{array}(\ast )$

+) $A=\frac{(\sqrt{a}-2)+(\sqrt{a}+2)}{(\sqrt{a}+2)(\sqrt{a}-2)}.\frac{\sqrt{a}-2}{\sqrt{a}}$ = $\frac{2\sqrt{a}.(\sqrt{a}-2)}{(\sqrt{a}+2)(\sqrt{a}-2).\sqrt{a}}=\frac{2}{\sqrt{a}+2}$

Vậy với $A=\frac{2}{\sqrt{a}+2}$ với $a>0,a\ne 4$

2) +) ĐK: $a>0,a\ne 4$

+) $A>\frac{1}{3}\iff \frac{2}{\sqrt{a}+2}>\frac{1}{3}$ (nhân cả hai vế với $3(\sqrt{a}+2)>0$)

$\iff 6>\sqrt{a}+2\iff \sqrt{a}<4\iff a<16$

+) Kết hợp đk $a>0,a\ne 4$ ta được: $0<a<16,a\ne 4$

3) +) ĐK: $a>0,a\ne 4$

+) $B=\frac{9}{4}A=\frac{9}{4}.\frac{2}{\sqrt{a}+2}=\frac{9}{2(\sqrt{a}+2)}$

• Dễ thấy: $B>0;\mathrm{\forall }a>0,a\ne 4$
• $\mathrm{\forall }a>0,a\ne 4$

$\sqrt{a}>0\Rightarrow \sqrt{a}+2>2\Rightarrow 2(\sqrt{a}+2)>4\Rightarrow \frac{9}{2(\sqrt{a}+2)}<\frac{9}{4}=2,25$

• Vậy: $0<B<2,25;\mathrm{\forall }a>0,a\ne 4$

Do đó: $B\in \mathbb{Z}\iff B\in \{1;2\}$

-) TH1: ${\displaystyle B=1\iff \frac{9}{2(\sqrt{a}+2)}=1\iff 9=2\sqrt{a}+4\iff \sqrt{a}=\frac{5}{2}\iff a=\frac{25}{4}}$ (thoả mãn đk *)

-) TH2: $B=2\iff \frac{9}{2(\sqrt{a}+2)}=2\iff 9=4\sqrt{a}+8\iff \sqrt{a}=\frac{1}{4}\iff a=\frac{1}{16}$ (thoả mãn đk *)

Vây: $a\in \{\frac{1}{16};\frac{25}{4}\}$ thì $B\in \mathbb{Z}$

Giải:

1) +) Ta thấy $x=9-4\sqrt{5}={\sqrt{5}}^2-2.2.\sqrt{5}+2^2={(\sqrt{5}-2)}^2$ (thoả mãn Đk: $x\ge 0,x\ne 1$)

+) Thay ${\displaystyle x={(\sqrt{5}-2)}^2}$ hay $\sqrt{x}=|\sqrt{5}-2|=\sqrt{5}-2$ vào A, ta được:

${\displaystyle A=\frac{(\sqrt{5}-2)+1}{(\sqrt{5}-2)+5}=\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+3}=\frac{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}-3)}{{\sqrt{5}}^2-3^2}=\frac{8-4\sqrt{5}}{-4}=\sqrt{5}-2}$

Vậy: $A=\sqrt{5}-2$ khi ${\displaystyle x=9-4\sqrt{5}}$

2) +) $B=\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)+3(\sqrt{x}-1)+4-6\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}$

$\begin{array}{l}=\frac{{\sqrt{x}}^2-2\sqrt{x}+1}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}=\frac{{(\sqrt{x}-1)}^2}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}\\ =\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\end{array}$

Vậy: $B=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1};x\ge 0,x\ne 1$

3) +) ĐK: $x\ge 0,x\ne 1$

+) $S=A.B=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+5}.\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+5}=\frac{\sqrt{x}+5-6}{\sqrt{x}+5}=1-\frac{6}{\sqrt{x}+5}$

${\displaystyle \begin{array}{l}\bullet )\mathrm{\forall }x\ge 0,x\ne 1:\\ \sqrt{x}\ge 0\Rightarrow \sqrt{x}+5\ge 5\\ \Rightarrow \frac{6}{\sqrt{x}+5}\le \frac{6}{5}\\ \Rightarrow \frac{-6}{\sqrt{x}+5}\ge \frac{-6}{5}\\ \Rightarrow 1-\frac{6}{\sqrt{x}+5}\ge 1-\frac{6}{5}=\frac{-1}{5}\end{array}}$

$\bullet )$ Ta thấy $\sqrt{x}=0$ hay $x=0$ thì $S=\frac{-1}{5}$

Vậy GTNN của S là $\frac{-1}{5}$

Giải:

* Cách 1:

• Đk: $x\ge 0$
• TH1: $x=0\Rightarrow P=0\in \mathbb{Z}$$\Rightarrow$ nhận $x=0$
• TH2: $x>0$

+) Dễ thấy: $P>0,\mathrm{\forall }x>0$

+) $P=\frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}<\frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=3$

+) Vậy: $0<P<3$

Do đó: $P\in \mathbb{Z}\iff P\in \{1;2\}$

-) $P=1\iff \frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}=1\iff 3\sqrt{x}=\sqrt{x}+1\iff \sqrt{x}=\frac{1}{2}\iff x=\frac{1}{4}$ (loại vì $\frac{1}{4}\notin \mathbb{Z}$ )

-) ${\displaystyle P=2\iff \frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}=2\iff 3\sqrt{x}=2\sqrt{x}+2\iff \sqrt{x}=2\iff x=4}$ (nhận)

• KL: $x\in \{0;4\}$ thì $P\in \mathbb{Z}$

*) Cách 2: Với $x\in \mathbb{Z}$ ta chia 2 trường hợp sau:

• TH1: x là số chính phương $\Rightarrow \sqrt{x}\in \mathbb{Z}$ : ${\displaystyle P=\frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}=3-\frac{3}{\sqrt{x}+1}}$

Vì $\sqrt{x}+1\in \mathbb{Z}$  nên: $P\in \mathbb{Z}\iff \sqrt{x}+1\in$ Ư(3)

$\begin{array}{l}\iff \sqrt{x}+1\in \{\pm 1;\pm 3\}\\ \iff [\begin{array}{c}\sqrt{x}+1=-1\\ \sqrt{x}+1=1\\ \sqrt{x}+1=3\\ \sqrt{x}+1=-3\end{array}\iff [\begin{array}{c}\sqrt{x}=-2\\ \sqrt{x}=0\\ \sqrt{x}=2\\ \sqrt{x}=-4\end{array}\end{array}$

$\iff [\begin{array}{l}\sqrt{x}=0\\ \sqrt{x}=2\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x=4\end{array}$           (đều là các số chính phương)

• TH2: x không là số chính phương

$\Rightarrow \sqrt{x}$ là số vô tỉ    $\Rightarrow \sqrt{x}+1$ là số vô tỉ

$\Rightarrow \frac{-3}{\sqrt{x}+1}$ là số vô tỉ

$\Rightarrow 3-\frac{3}{\sqrt{x}+1}$là số vô tỉ

$\Rightarrow P\notin \mathbb{Z}$

Vậy: $x\in \mathbb{Z}$ để $P\in \mathbb{Z}$ là $x\in \{0;4\}$

Giải:

• ĐK: $x\ge 0,x\ne 4$ (*)
• $\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}=2\sqrt{x}-\frac{8}{3}$

${\displaystyle \begin{array}{l}\iff \sqrt{x}+2=(\sqrt{x}+1)(2\sqrt{x}-\frac{8}{3})\\ \iff 3(\sqrt{x}+2)=(\sqrt{x}+1)(6\sqrt{x}-8)\\ \iff 3\sqrt{x}+6=6x-2\sqrt{x}-8\\ \iff 6{\sqrt{x}}^2-5\sqrt{x}-14=0\\ \iff 6(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+\frac{7}{6})=0\\ \iff [\begin{array}{c}\sqrt{x}-2=0\\ \sqrt{x}+\frac{7}{6}=0\end{array}\iff [\begin{array}{c}\sqrt{x}=2\\ \sqrt{x}=\frac{-7}{6}<0\end{array}\end{array}}$

${\displaystyle \iff \sqrt{x}=2\iff x=4}$   (không thoả mãn đk (*))

• Vậy không có x thoả mãn yêu cầu bài toán

Giải:

• ĐK: $x\ge 0$
• Đặt $a=\sqrt{x}+1\ge 1$

+) $\sqrt{x}=a-1$

+) $P=\frac{{(a-1)}^2-3(a-1)-2}{a}$

$\begin{array}{l}=\frac{a^2-2a+1-3a+3-2}{a}\\ =\frac{a^2-5a+2}{a}=(a+\frac{2}{a})-5\end{array}$

+) Áp dụng BĐT Cô – si cho 2 số dương: a và $\frac{2}{a}$, ta có:

${\displaystyle a+\frac{2}{a}\ge 2\sqrt{a.\frac{2}{a}}=2\sqrt{2}\Rightarrow P\ge 2\sqrt{2}-5}$

+) Ta thấy khi $a=\frac{2}{a}$ tức là $a=\sqrt{2}$ thì $P=2\sqrt{2}-5$

• Vậy GTNN của $P=2\sqrt{2}-5$