Dạng 1: Rút gọn biểu thức

I/ Biểu thức số học

Phương pháp:

Dùng các Phương pháp biến đổi căn thức (đưa ra ; đưa vào; ;khử; trục; cộng,trừ căn thức đồng dạng; rút gọn phân số…) để rút gọn biểu thức.

Bài tập: Thực hiện phép tính:

1) $2\sqrt{5}-\sqrt{125}-\sqrt{80}+\sqrt{605}$;

2) $\frac{10+2\sqrt{10}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}+\frac{8}{1-\sqrt{5}}$;

3) $\sqrt{15-\sqrt{216}}+\sqrt{33-12\sqrt{6}}$;

4) $\frac{2\sqrt{8}-\sqrt{12}}{\sqrt{18}-\sqrt{48}}-\frac{\sqrt{5}+\sqrt{27}}{\sqrt{30}+\sqrt{162}}$;

5) $\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}}+\sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}$;

6) $2\sqrt{\frac{16}{3}}-3\sqrt{\frac{1}{27}}-6\sqrt{\frac{4}{75}}$;

7) $2\sqrt{27}-6\sqrt{\frac{4}{3}}+\frac{3}{5}\sqrt{75}$;

8) $\frac{\sqrt{3-\sqrt{5}}.\left(3+\sqrt{5}\right)}{\sqrt{10}+\sqrt{2}}$

9) $\sqrt{8\sqrt{3}}-2\sqrt{25\sqrt{12}}+4\sqrt{\sqrt{192}}$;

10) $\sqrt{2-\sqrt{3}}\left(\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)$;

11) $\sqrt{3-\sqrt{5}}+\sqrt{3+\sqrt{5}}$;

12) $\sqrt{4+\sqrt{10+2\sqrt{5}}}+\sqrt{4-\sqrt{10+2\sqrt{5}}}$;

13) $\left(5+2\sqrt{6}\right)\left(49-20\sqrt{6}\right)\sqrt{5-2\sqrt{6}}$;

14) $\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}}+\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3}}}$;

15) $\frac{6+4\sqrt{2}}{\sqrt{2}+\sqrt{6+4\sqrt{2}}}+\frac{6-4\sqrt{2}}{\sqrt{2}-\sqrt{6-4\sqrt{2}}}$;

16) $\frac{{\left(\sqrt{5}+2\right)}^2-8\sqrt{5}}{2\sqrt{5}-4}$;

17) $\sqrt{14-8\sqrt{3}}-\sqrt{24-12\sqrt{3}}$;

18) $\frac{4}{\sqrt{3}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}-2}+\frac{6}{\sqrt{3}-3}$;

19) ${\left(\sqrt{2}+1\right)}^3-{\left(\sqrt{2}-1\right)}^3$

20) $\frac{\sqrt{3}}{1-\sqrt{\sqrt{3}+1}}+\frac{\sqrt{3}}{1+\sqrt{\sqrt{3}+1}}$.

II/ Biểu thức đại số

Phương pháp:
– Phân tích đa thức tử và mẫu thành nhân tử;
– Tìm ĐKXĐ (Nếu bài toán chưa cho ĐKXĐ)
– Rút gọn từng phân thức(nếu được)
– Thực hiện các phép biến đổi đồng nhất như:
+ Quy đồng(đối với phép cộng trừ) ; nhân ,chia.
+ Bỏ ngoặc: bằng cách nhân đơn ; đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức
+ Thu gọn: cộng, trừ các hạng tử đồng dạng.
+ Phân tích thành nhân tử – rút gọn

Chú ý: – Trong mỗi bài toán rút gọn thường có các câu thuộc các loại toán: Tính giá trị biểu thức; giải Phương trình; bất Phương trình; tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị nguyên; tìm giá trị nhỏ nhất ,lớn nhất…Do vậy ta phải áp dụng các Phương pháp giải tương ứng, thích hợp cho từng loại bài.

Ví dụ:    Cho biểu thức: $P=\left(\frac{1}{a-\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{a}-1}\right):\frac{\sqrt{a}+1}{a-2\sqrt{a}+1}$

a/ Rút gọn P.

b/ Tìm giá trị  của a để biểu thức P có giá trị nguyên.

Giải:

a/ Rút gọn P: 

– Phân tích:      $P=\left[\frac{1}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-1)}+\frac{1}{\sqrt{a}-1}\right]:\frac{\sqrt{a}+1}{{(\sqrt{a}-1)}^2}$

– ĐKXĐ:    $$$\{\begin{array}{l}a>0;\\ \sqrt{a}-1\ne 0\iff a\ne 1\end{array}$

– Quy đồng:   $P=\frac{1+\sqrt{a}}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-1)}.\frac{{(\sqrt{a}-1)}^2}{\sqrt{a}+1}$

–  Rút gọn:    $P=\frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}}.$

b/ Tìm giá trị của a để P có giá trị nguyên:

– Chia tử cho mẫu ta được:  $P=1-\frac{1}{\sqrt{a}}$ .

– Lý luận:  P nguyên$\iff \frac{1}{\sqrt{a}}$ nguyên $\iff \sqrt{a}$ là ước của 1 là$\pm 1$.$\Rightarrow \sqrt{a}=\{\begin{array}{l}-1(ktm)\\ 1\iff a=1\end{array}$

Vậy với  a = 1 thì biểu thức P có giá trị nguyên.

Bài tập:

Bài 1:  Cho biểu thức   $A=(\frac{\sqrt{x}}{2}-\frac{1}{2\sqrt{x}})(\frac{x-\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}-\frac{x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1})$

a. Rút gọn biểu thức A;

b. Tìm giá trị của x để A > – 6.

Bài 2:  Cho biểu thức  $B=\left(\frac{\sqrt{x}}{x-4}+\frac{2}{2-\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}+2}\right):\left(\sqrt{x}-2+\frac{10-x}{\sqrt{x}+2}\right)$

a) Rút gọn biểu thức B;

b) Tìm giá trị của x để A > 0.

Bài 3:  Cho biểu thức  $C=\frac{1}{\sqrt{x}-1}-\frac{3}{x\sqrt{x}+1}+\frac{1}{x-\sqrt{x}+1}$

a) Rút gọn biểu thức C;

b) Tìm giá trị của x để C < 1.

Bài 4:  Rút gọn biểu thức :      $D=\frac{x+2+\sqrt{x^2-4}}{x+2-\sqrt{x^2-4}}+\frac{x+2-\sqrt{x^2-4}}{x+2+\sqrt{x^2-4}}$

Bài5: Cho các biểu thức: $P=\frac{2x-3\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-2}$và $Q=\frac{\sqrt{x^3}-\sqrt{x}+2x-2}{\sqrt{x}+2}$

a) Rút gọn biểu thức P và Q;

b) Tìm giá trị của x để P = Q.

Bài 6: Cho biểu thức: $P=\frac{2x+2}{\sqrt{x}}+\frac{x\sqrt{x}-1}{\text{x}-\sqrt{x}}-\frac{x\sqrt{x}+1}{\text{x}+\sqrt{x}}$

a) Rút gọn biểu thức P

b) So sánh P với 5.

c) Với mọi giá trị của x làm P có nghĩa, chứng minh biểu thức $\frac{8}{\text{P}}$ chỉ nhận đúng một giá trị nguyên.

Bài 7: Cho biểu thức: $P=\left(\frac{3x+\sqrt{9x}-3}{x+\sqrt{x}-2}+\frac{1}{\sqrt{x}-1}+\frac{1}{\sqrt{x}+2}\right):\frac{1}{\text{x}-1}$

a) Tìm điều kiện để P có nghĩa, rút gọn biểu thức P;

b) Tìm các số tự nhiên x để $\frac{1}{\text{P}}$ là số tự nhiên;

c) Tính giá trị của P với x = 4 – 2$\sqrt{3}$.

Bài 8: Cho biểu thức : $P=\left(\frac{\sqrt{x}+2}{\text{x}-5\sqrt{x}+6}-\frac{\sqrt{x}+3}{\text{2}-\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-3}\right):\left(2-\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\right)$

a) Rút gọn biểu thức P;

b/Tìm x để $\frac{1}{\text{P}}\le -\frac{5}{2}$

Bài 9: Cho biểu thức : P =$\left(\frac{1-a\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}+\sqrt{a}\right).\left(\frac{1+a\sqrt{a}}{1+\sqrt{a}}-\sqrt{a}\right)$

a) Rút gọn P

b) Tìm a để P<$7-4\sqrt{3}$

Bài 10: Cho biểu thức: P =$\left(\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}-\frac{3x+3}{x-9}\right):\left(\frac{2\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-3}-1\right)$

a) Rút gọn P

b) Tìm x để P <$\frac{1}{2}$

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P

Bài 11: Cho biểu thức : P =$\left(\frac{x-3\sqrt{x}}{x-9}-1\right):\left(\frac{9-x}{x+\sqrt{x}-6}-\frac{\sqrt{x}-3}{2-\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+3}\right)$

a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của x để P<1

Bài 12: Cho biểu thức : P =$\frac{15\sqrt{x}-11}{x+2\sqrt{x}-3}+\frac{3\sqrt{x}-2}{1-\sqrt{x}}-\frac{2\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+3}$

a) Rút gọn P

b) Tìm các giá trị của x để P=$\frac{1}{2}$

c) Chứng minh P$\le \frac{2}{3}$

Bài 13: Cho biểu thức: P =$\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+m}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-m}-\frac{m^2}{4x-4m^2}$ với m > 0

a) Rút gọn P

b) Tính x theo m để P = 0.

c) Xác định các giá trị của m để x tìm được ở câu b thoả mãn điều kiện x >1

Bài 14: Cho biểu thức : P =$\frac{a^2+\sqrt{a}}{a-\sqrt{a}+1}-\frac{2a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}}+1$

a) Rút gọn P

b) Tìm a để P = 2

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P ?

Bài 15: Cho biểu thức P = $\left(\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{ab}+1}+\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{a}}{\sqrt{ab}-1}-1\right):\left(\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{ab}+1}-\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{a}}{\sqrt{ab}-1}+1\right)$

a) Rút gọn P

b) Tính giá trị của P nếu a =$2-\sqrt{3}$ và b =$\frac{\sqrt{3}-1}{1+\sqrt{3}}$

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu $\sqrt{a}+\sqrt{b}=4$

Bài 16: Cho biểu thức :$$ P =$\frac{a\sqrt{a}-1}{a-\sqrt{a}}-\frac{a\sqrt{a}+1}{a+\sqrt{a}}+\left(\sqrt{a}-\frac{1}{\sqrt{a}}\right)\left(\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}+\frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}+1}\right)$

a) Rút gọn P

b) Với giá trị nào của a thì P = 7

c) Với giá trị nào của a thì P > 6

Bài 17: Cho biểu thức:  P = ${\left(\frac{\sqrt{a}}{2}-\frac{1}{2\sqrt{a}}\right)}^2\left(\frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}+1}-\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}\right)$

a) Rút gọn P

b) Tìm các giá trị của a để P < 0

c) Tìm các giá trị của a để P = -2

Bài 18: Cho biểu thức: P =$\frac{{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}^2+4\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}.\frac{a\sqrt{b}-b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}$

a) Tìm điều kiện để P có nghĩa.

b) Rút gọn P

c) Tính giá trị của P khi a =$2\sqrt{3}$ và b =$\sqrt{3}$

Bài 19: Cho biểu thức :     P =$\left(\frac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}+\frac{1}{1-\sqrt{x}}\right):\frac{\sqrt{x}-1}{2}$

a) Rút gọn P

b) Chứng minh rằng P > 0 $\mathrm{\forall }$x $\ne 1$

Bài 20: Cho biểu thức : P =$\left(\frac{2\sqrt{x}+x}{x\sqrt{x}-1}-\frac{1}{\sqrt{x}-1}\right):\left(1-\frac{\sqrt{x}+2}{x+\sqrt{x}+1}\right)$

a) Rút gọn P

b) Tính $\sqrt{P}$ khi x =$5+2\sqrt{3}$

Bài 21: Cho biểu thức:  P =$1:\left(\frac{1}{2+\sqrt{x}}+\frac{\frac{3x}{2}}{4-x}-\frac{2}{4-2\sqrt{x}}\right):\frac{1}{4-2\sqrt{x}}$

a) Rút gọn P

b) Tìm giá trị của x để P = 20

Bài 22: Cho biểu thức : P =$\left(\frac{x-y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}+\frac{\sqrt{x^3}-\sqrt{y^3}}{y-x}\right):\frac{{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}^2+\sqrt{xy}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$

a) Rút gọn P

b) Chứng minh P $\ge 0$

Bài 23: Cho biểu thức :

P =$\left(\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{3\sqrt{ab}}{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}\right).\left[\left(\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\frac{3\sqrt{ab}}{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}}\right):\frac{a-b}{a+\sqrt{ab}+b}\right]$

a) Rút gọn P

b) Tính P khi a =16 và b = 4

Bài 24: Cho biểu thức: P =$1+\left(\frac{2a+\sqrt{a}-1}{1-a}-\frac{2a\sqrt{a}-\sqrt{a}+a}{1-a\sqrt{a}}\right).\frac{a-\sqrt{a}}{2\sqrt{a}-1}$

a) Rút gọn P

b) Cho P =$\frac{\sqrt{6}}{1+\sqrt{6}}$ tìm giá trị của a

c) Chứng minh rằng P >$\frac{2}{3}$

Bài 25: Cho biểu thức: P =$\left(\frac{x-5\sqrt{x}}{x-25}-1\right):\left(\frac{25-x}{x+2\sqrt{x}-15}-\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+5}+\frac{\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}-3}\right)$

a) Rút gọn P

b) Với giá trị nào của x thì P < 1

Bài 26: Cho biểu thức:  P =$\left(\frac{3\sqrt{a}}{a+\sqrt{ab}+b}-\frac{3a}{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\right):\frac{\left(a-1\right).\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{2a+2\sqrt{ab}+2b}$

a) Rút gọn P

b) Tìm những giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên

Bài 27: Cho biểu thức:    P =$\left(\frac{1}{\sqrt{a}-1}-\frac{1}{\sqrt{a}}\right):\left(\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-2}-\frac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a-1}}\right)$

a) Rút gọn P

b) Tìm giá trị của a để P >$\frac{1}{6}$

Bài 28: Cho biểu thức:  P =$\left[\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}\right).\frac{2}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right]:\frac{\sqrt{x^3}+y\sqrt{x}+x\sqrt{y}+\sqrt{y^3}}{\sqrt{x^{3}y}+\sqrt{x{y}^3}}$

a) Rút gọn P

b) Cho x.y=16. Xác định x,y để P có giá trị nhỏ nhất

Bài 29: Cho biểu thức:  P = $\frac{\sqrt{x^3}}{\sqrt{xy}-2y}-\frac{2x}{x+\sqrt{x}-2\sqrt{xy}-2\sqrt{y}}.\frac{1-x}{1-\sqrt{x}}$

a) Rút gọn P

b) Tìm tất cả các số nguyên dương x để y=625 và P<0,2

Bài 30:  Cho biểu thức:  P =$1:\left(\frac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}+1}{x-1}\right).$

a) Rút gọn P

b) So sánh P với 3