I/ Biểu thức số học
Phương pháp:
Dùng các Phương pháp biến đổi căn thức (đưa ra ; đưa vào; ;khử; trục; cộng,trừ căn thức đồng dạng; rút gọn phân số…) để rút gọn biểu thức.
Bài tập: Thực hiện phép tính:
1) $ 2\sqrt{5}-\sqrt{{125}}-\sqrt{{80}}+\sqrt{{605}}$;
2) $ \frac{{10+2\sqrt{{10}}}}{{\sqrt{5}+\sqrt{2}}}+\frac{8}{{1-\sqrt{5}}}$;
3) $ \sqrt{{15-\sqrt{{216}}}}+\sqrt{{33-12\sqrt{6}}}$;
4) $ \frac{{2\sqrt{8}-\sqrt{{12}}}}{{\sqrt{{18}}-\sqrt{{48}}}}-\frac{{\sqrt{5}+\sqrt{{27}}}}{{\sqrt{{30}}+\sqrt{{162}}}}$;
5) $ \sqrt{{\frac{{2-\sqrt{3}}}{{2+\sqrt{3}}}}}+\sqrt{{\frac{{2+\sqrt{3}}}{{2-\sqrt{3}}}}}$;
6) $ 2\sqrt{{\frac{{16}}{3}}}-3\sqrt{{\frac{1}{{27}}}}-6\sqrt{{\frac{4}{{75}}}}$;
7) $ 2\sqrt{{27}}-6\sqrt{{\frac{4}{3}}}+\frac{3}{5}\sqrt{{75}}$;
8) $ \frac{{\sqrt{{3-\sqrt{5}}}.\left( {3+\sqrt{5}} \right)}}{{\sqrt{{10}}+\sqrt{2}}}$
9) $ \sqrt{{8\sqrt{3}}}-2\sqrt{{25\sqrt{{12}}}}+4\sqrt{{\sqrt{{192}}}}$;
10) $ \sqrt{{2-\sqrt{3}}}\left( {\sqrt{5}+\sqrt{2}} \right)$;
11) $ \sqrt{{3-\sqrt{5}}}+\sqrt{{3+\sqrt{5}}}$;
12) $ \sqrt{{4+\sqrt{{10+2\sqrt{5}}}}}+\sqrt{{4-\sqrt{{10+2\sqrt{5}}}}}$;
13) $ \left( {5+2\sqrt{6}} \right)\left( {49-20\sqrt{6}} \right)\sqrt{{5-2\sqrt{6}}}$;
14) $ \frac{1}{{\sqrt{2}+\sqrt{{2+\sqrt{3}}}}}+\frac{1}{{\sqrt{2}-\sqrt{{2-\sqrt{3}}}}}$;
15) $ \frac{{6+4\sqrt{2}}}{{\sqrt{2}+\sqrt{{6+4\sqrt{2}}}}}+\frac{{6-4\sqrt{2}}}{{\sqrt{2}-\sqrt{{6-4\sqrt{2}}}}}$;
16) $ \frac{{{{{\left( {\sqrt{5}+2} \right)}}^{2}}-8\sqrt{5}}}{{2\sqrt{5}-4}}$;
17) $ \sqrt{{14-8\sqrt{3}}}-\sqrt{{24-12\sqrt{3}}}$;
18) $ \frac{4}{{\sqrt{3}+1}}+\frac{1}{{\sqrt{3}-2}}+\frac{6}{{\sqrt{3}-3}}$;
19) $ {{\left( {\sqrt{2}+1} \right)}^{3}}-{{\left( {\sqrt{2}-1} \right)}^{3}}$
20) $ \frac{{\sqrt{3}}}{{1-\sqrt{{\sqrt{3}+1}}}}+\frac{{\sqrt{3}}}{{1+\sqrt{{\sqrt{3}+1}}}}$.
II/ Biểu thức đại số
Phương pháp:
– Phân tích đa thức tử và mẫu thành nhân tử;
– Tìm ĐKXĐ (Nếu bài toán chưa cho ĐKXĐ)
– Rút gọn từng phân thức(nếu được)
– Thực hiện các phép biến đổi đồng nhất như:
+ Quy đồng(đối với phép cộng trừ) ; nhân ,chia.
+ Bỏ ngoặc: bằng cách nhân đơn ; đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức
+ Thu gọn: cộng, trừ các hạng tử đồng dạng.
+ Phân tích thành nhân tử – rút gọn
Chú ý: – Trong mỗi bài toán rút gọn thường có các câu thuộc các loại toán: Tính giá trị biểu thức; giải Phương trình; bất Phương trình; tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị nguyên; tìm giá trị nhỏ nhất ,lớn nhất…Do vậy ta phải áp dụng các Phương pháp giải tương ứng, thích hợp cho từng loại bài.
Ví dụ: Cho biểu thức: $ P=\left( {\frac{1}{{a-\sqrt{a}}}+\frac{1}{{\sqrt{a}-1}}} \right):\frac{{\sqrt{a}+1}}{{a-2\sqrt{a}+1}}$
a/ Rút gọn P.
b/ Tìm giá trị của a để biểu thức P có giá trị nguyên.
Giải:
a/ Rút gọn P:
– Phân tích: $ P=\left[ {\frac{1}{{\sqrt{a}(\sqrt{a}-1)}}+\frac{1}{{\sqrt{a}-1}}} \right]:\frac{{\sqrt{a}+1}}{{{{{(\sqrt{a}-1)}}^{2}}}}$
– ĐKXĐ: $ $$ \left\{ \begin{array}{l}a>0;\\\sqrt{a}-1\ne 0\Leftrightarrow a\ne 1\end{array} \right.$
– Quy đồng: $ P=\frac{{1+\sqrt{a}}}{{\sqrt{a}(\sqrt{a}-1)}}.\frac{{{{{(\sqrt{a}-1)}}^{2}}}}{{\sqrt{a}+1}}$
– Rút gọn: $ P=\frac{{\sqrt{a}-1}}{{\sqrt{a}}}.$
b/ Tìm giá trị của a để P có giá trị nguyên:
– Chia tử cho mẫu ta được: $ P=1-\frac{1}{{\sqrt{a}}}$ .
– Lý luận: P nguyên$ \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt{a}}}$ nguyên $ \Leftrightarrow \sqrt{a}$ là ước của 1 là$ \pm 1$.$ \Rightarrow \sqrt{a}=\left\{ \begin{array}{l}-1(ktm)\\1\Leftrightarrow a=1\end{array} \right.$
Vậy với a = 1 thì biểu thức P có giá trị nguyên.
Bài tập:
Bài 1: Cho biểu thức $ A =\left( \frac{\sqrt{x}}{2}-\frac{1}{2\sqrt{x}} \right)\left( \frac{x-\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}-\frac{x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1} \right)$
a. Rút gọn biểu thức A;
b. Tìm giá trị của x để A > – 6.
Bài 2: Cho biểu thức $ B =\left( {\frac{{\sqrt{x}}}{{x-4}}+\frac{2}{{2-\sqrt{x}}}+\frac{1}{{\sqrt{x}+2}}} \right):\left( {\sqrt{x}-2+\frac{{10-x}}{{\sqrt{x}+2}}} \right)$
a) Rút gọn biểu thức B;
b) Tìm giá trị của x để A > 0.
Bài 3: Cho biểu thức $ C =\frac{1}{{\sqrt{x}-1}}-\frac{3}{{x\sqrt{x}+1}}+\frac{1}{{x-\sqrt{x}+1}}$
a) Rút gọn biểu thức C;
b) Tìm giá trị của x để C < 1.
Bài 4: Rút gọn biểu thức : $ D =\frac{{x+2+\sqrt{{{{x}^{2}}-4}}}}{{x+2-\sqrt{{{{x}^{2}}-4}}}}+\frac{{x+2-\sqrt{{{{x}^{2}}-4}}}}{{x+2+\sqrt{{{{x}^{2}}-4}}}}$
Bài5: Cho các biểu thức: $ P =\frac{{2x-3\sqrt{x}-2}}{{\sqrt{x}-2}}$và $ Q =\frac{{\sqrt{{{{x}^{3}}}}-\sqrt{x}+2x-2}}{{\sqrt{x}+2}}$
a) Rút gọn biểu thức P và Q;
b) Tìm giá trị của x để P = Q.
Bài 6: Cho biểu thức: $ P =\frac{{2x+2}}{{\sqrt{x}}}+\frac{{x\sqrt{x}-1}}{{\text{x}-\sqrt{x}}}-\frac{{x\sqrt{x}+1}}{{\text{x}+\sqrt{x}}}$
a) Rút gọn biểu thức P
b) So sánh P với 5.
c) Với mọi giá trị của x làm P có nghĩa, chứng minh biểu thức $ \frac{8}{\text{P}}$ chỉ nhận đúng một giá trị nguyên.
Bài 7: Cho biểu thức: $ P =\left( {\frac{{3x+\sqrt{{9x}}-3}}{{x+\sqrt{x}-2}}+\frac{1}{{\sqrt{x}-1}}+\frac{1}{{\sqrt{x}+2}}} \right):\frac{1}{{\text{x}-1}}$
a) Tìm điều kiện để P có nghĩa, rút gọn biểu thức P;
b) Tìm các số tự nhiên x để $ \frac{1}{\text{P}}$ là số tự nhiên;
c) Tính giá trị của P với x = 4 – 2$ \sqrt{3}$.
Bài 8: Cho biểu thức : $ P =\left( {\frac{{\sqrt{x}+2}}{{\text{x}-5\sqrt{x}+6}}-\frac{{\sqrt{x}+3}}{{\text{2}-\sqrt{x}}}-\frac{{\sqrt{x}+2}}{{\sqrt{x}-3}}} \right):\left( {2-\frac{{\sqrt{x}}}{{\sqrt{x}+1}}} \right)$
a) Rút gọn biểu thức P;
b/Tìm x để $ \frac{1}{\text{P}}\le -\frac{5}{2}$
Bài 9: Cho biểu thức : P =$ \left( {\frac{{1-a\sqrt{a}}}{{1-\sqrt{a}}}+\sqrt{a}} \right).\left( {\frac{{1+a\sqrt{a}}}{{1+\sqrt{a}}}-\sqrt{a}} \right)$
a) Rút gọn P
b) Tìm a để P<$ 7-4\sqrt{3}$
Bài 10: Cho biểu thức: P =$ \left( {\frac{{2\sqrt{x}}}{{\sqrt{x}+3}}+\frac{{\sqrt{x}}}{{\sqrt{x}-3}}-\frac{{3x+3}}{{x-9}}} \right):\left( {\frac{{2\sqrt{x}-2}}{{\sqrt{x}-3}}-1} \right)$
a) Rút gọn P
b) Tìm x để P <$ \frac{1}{2}$
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài 11: Cho biểu thức : P =$ \left( {\frac{{x-3\sqrt{x}}}{{x-9}}-1} \right):\left( {\frac{{9-x}}{{x+\sqrt{x}-6}}-\frac{{\sqrt{x}-3}}{{2-\sqrt{x}}}-\frac{{\sqrt{x}-2}}{{\sqrt{x}+3}}} \right)$
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của x để P<1
Bài 12: Cho biểu thức : P =$ \frac{{15\sqrt{x}-11}}{{x+2\sqrt{x}-3}}+\frac{{3\sqrt{x}-2}}{{1-\sqrt{x}}}-\frac{{2\sqrt{x}+3}}{{\sqrt{x}+3}}$
a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị của x để P=$ \frac{1}{2}$
c) Chứng minh P$ \le \frac{2}{3}$
Bài 13: Cho biểu thức: P =$ \frac{{2\sqrt{x}}}{{\sqrt{x}+m}}+\frac{{\sqrt{x}}}{{\sqrt{x}-m}}-\frac{{{{m}^{2}}}}{{4x-4{{m}^{2}}}}$ với m > 0
a) Rút gọn P
b) Tính x theo m để P = 0.
c) Xác định các giá trị của m để x tìm được ở câu b thoả mãn điều kiện x >1
Bài 14: Cho biểu thức : P =$ \frac{{{{a}^{2}}+\sqrt{a}}}{{a-\sqrt{a}+1}}-\frac{{2a+\sqrt{a}}}{{\sqrt{a}}}+1$
a) Rút gọn P
b) Tìm a để P = 2
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P ?
Bài 15: Cho biểu thức P = $ \left( {\frac{{\sqrt{a}+1}}{{\sqrt{{ab}}+1}}+\frac{{\sqrt{{ab}}+\sqrt{a}}}{{\sqrt{{ab}}-1}}-1} \right):\left( {\frac{{\sqrt{a}+1}}{{\sqrt{{ab}}+1}}-\frac{{\sqrt{{ab}}+\sqrt{a}}}{{\sqrt{{ab}}-1}}+1} \right)$
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P nếu a =$ 2-\sqrt{3}$ và b =$ \frac{{\sqrt{3}-1}}{{1+\sqrt{3}}}$
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu $ \sqrt{a}+\sqrt{b}=4$
Bài 16: Cho biểu thức :$ $ P =$ \frac{{a\sqrt{a}-1}}{{a-\sqrt{a}}}-\frac{{a\sqrt{a}+1}}{{a+\sqrt{a}}}+\left( {\sqrt{a}-\frac{1}{{\sqrt{a}}}} \right)\left( {\frac{{\sqrt{a}+1}}{{\sqrt{a}-1}}+\frac{{\sqrt{a}-1}}{{\sqrt{a}+1}}} \right)$
a) Rút gọn P
b) Với giá trị nào của a thì P = 7
c) Với giá trị nào của a thì P > 6
Bài 17: Cho biểu thức: P = $ {{\left( {\frac{{\sqrt{a}}}{2}-\frac{1}{{2\sqrt{a}}}} \right)}^{2}}\left( {\frac{{\sqrt{a}-1}}{{\sqrt{a}+1}}-\frac{{\sqrt{a}+1}}{{\sqrt{a}-1}}} \right)$
a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị của a để P < 0
c) Tìm các giá trị của a để P = -2
Bài 18: Cho biểu thức: P =$ \frac{{{{{\left( {\sqrt{a}-\sqrt{b}} \right)}}^{2}}+4\sqrt{{ab}}}}{{\sqrt{a}+\sqrt{b}}}.\frac{{a\sqrt{b}-b\sqrt{a}}}{{\sqrt{{ab}}}}$
a) Tìm điều kiện để P có nghĩa.
b) Rút gọn P
c) Tính giá trị của P khi a =$ 2\sqrt{3}$ và b =$ \sqrt{3}$
Bài 19: Cho biểu thức : P =$ \left( {\frac{{x+2}}{{x\sqrt{x}-1}}+\frac{{\sqrt{x}}}{{x+\sqrt{x}+1}}+\frac{1}{{1-\sqrt{x}}}} \right):\frac{{\sqrt{x}-1}}{2}$
a) Rút gọn P
b) Chứng minh rằng P > 0 $ \forall $x $ \ne 1$
Bài 20: Cho biểu thức : P =$ \left( {\frac{{2\sqrt{x}+x}}{{x\sqrt{x}-1}}-\frac{1}{{\sqrt{x}-1}}} \right):\left( {1-\frac{{\sqrt{x}+2}}{{x+\sqrt{x}+1}}} \right)$
a) Rút gọn P
b) Tính $ \sqrt{P}$ khi x =$ 5+2\sqrt{3}$
Bài 21: Cho biểu thức: P =$ 1:\left( {\frac{1}{{2+\sqrt{x}}}+\frac{{\frac{{3x}}{2}}}{{4-x}}-\frac{2}{{4-2\sqrt{x}}}} \right):\frac{1}{{4-2\sqrt{x}}}$
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của x để P = 20
Bài 22: Cho biểu thức : P =$ \left( {\frac{{x-y}}{{\sqrt{x}-\sqrt{y}}}+\frac{{\sqrt{{{{x}^{3}}}}-\sqrt{{{{y}^{3}}}}}}{{y-x}}} \right):\frac{{{{{\left( {\sqrt{x}-\sqrt{y}} \right)}}^{2}}+\sqrt{{xy}}}}{{\sqrt{x}+\sqrt{y}}}$
a) Rút gọn P
b) Chứng minh P $ \ge 0$
Bài 23: Cho biểu thức :
P =$ \left( {\frac{1}{{\sqrt{a}+\sqrt{b}}}+\frac{{3\sqrt{{ab}}}}{{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}}} \right).\left[ {\left( {\frac{1}{{\sqrt{a}-\sqrt{b}}}-\frac{{3\sqrt{{ab}}}}{{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}}}} \right):\frac{{a-b}}{{a+\sqrt{{ab}}+b}}} \right]$
a) Rút gọn P
b) Tính P khi a =16 và b = 4
Bài 24: Cho biểu thức: P =$ 1+\left( {\frac{{2a+\sqrt{a}-1}}{{1-a}}-\frac{{2a\sqrt{a}-\sqrt{a}+a}}{{1-a\sqrt{a}}}} \right).\frac{{a-\sqrt{a}}}{{2\sqrt{a}-1}}$
a) Rút gọn P
b) Cho P =$ \frac{{\sqrt{6}}}{{1+\sqrt{6}}}$ tìm giá trị của a
c) Chứng minh rằng P >$ \frac{2}{3}$
Bài 25: Cho biểu thức: P =$ \left( {\frac{{x-5\sqrt{x}}}{{x-25}}-1} \right):\left( {\frac{{25-x}}{{x+2\sqrt{x}-15}}-\frac{{\sqrt{x}+3}}{{\sqrt{x}+5}}+\frac{{\sqrt{x}-5}}{{\sqrt{x}-3}}} \right)$
a) Rút gọn P
b) Với giá trị nào của x thì P < 1
Bài 26: Cho biểu thức: P =$ \left( {\frac{{3\sqrt{a}}}{{a+\sqrt{{ab}}+b}}-\frac{{3a}}{{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}}}+\frac{1}{{\sqrt{a}-\sqrt{b}}}} \right):\frac{{\left( {a-1} \right).\left( {\sqrt{a}-\sqrt{b}} \right)}}{{2a+2\sqrt{{ab}}+2b}}$
a) Rút gọn P
b) Tìm những giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên
Bài 27: Cho biểu thức: P =$ \left( {\frac{1}{{\sqrt{a}-1}}-\frac{1}{{\sqrt{a}}}} \right):\left( {\frac{{\sqrt{a}+1}}{{\sqrt{a}-2}}-\frac{{\sqrt{a}+2}}{{\sqrt{{a-1}}}}} \right)$
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của a để P >$ \frac{1}{6}$
Bài 28: Cho biểu thức: P =$ \left[ {\left( {\frac{1}{{\sqrt{x}}}+\frac{1}{{\sqrt{y}}}} \right).\frac{2}{{\sqrt{x}+\sqrt{y}}}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}} \right]:\frac{{\sqrt{{{{x}^{3}}}}+y\sqrt{x}+x\sqrt{y}+\sqrt{{{{y}^{3}}}}}}{{\sqrt{{{{x}^{3}}y}}+\sqrt{{x{{y}^{3}}}}}}$
a) Rút gọn P
b) Cho x.y=16. Xác định x,y để P có giá trị nhỏ nhất
Bài 29: Cho biểu thức: P = $ \frac{{\sqrt{{{{x}^{3}}}}}}{{\sqrt{{xy}}-2y}}-\frac{{2x}}{{x+\sqrt{x}-2\sqrt{{xy}}-2\sqrt{y}}}.\frac{{1-x}}{{1-\sqrt{x}}}$
a) Rút gọn P
b) Tìm tất cả các số nguyên dương x để y=625 và P<0,2
Bài 30: Cho biểu thức: P =$ 1:\left( {\frac{{x+2}}{{x\sqrt{x}-1}}+\frac{{\sqrt{x}+1}}{{x+\sqrt{x}+1}}-\frac{{\sqrt{x}+1}}{{x-1}}} \right).$
a) Rút gọn P
b) So sánh P với 3
hayy