Dạng bài tập: Tìm số dư – Số học 6

Tìm số dư là một dạng toán khó trong chương trình Số học 6. Để làm được dạng toán này thì các em cần phải thực hành giải nhiều bài tập.

Các em xem những ví dụ dưới đây rồi tự làm các bài tập tương tự.

Ví dụ 1: Tìm số dư khi chia 2¹⁰⁰

a) cho 9;            b) cho 25;           c) cho 125.

Giải:

a) Lũy thừa của 2 sát với một bội số của 9 là 2³ = 8 = 9-1

Ta có 2¹⁰⁰ =2( 2³)³³ = 2(9-1)³³=2(B(9-1))

= B( 9) -2= B(9)+ 7

Số dư khi chia 2¹⁰⁰ cho 9 là 7.

b) Lũy thừa của 2 sát với bội số của 25 là

2¹⁰ = 1024 =B(25) -1

Ta có  2¹⁰⁰= (2¹⁰)¹⁰ =(B(25) -1)¹⁰ =B(25) +1

Số dư khi chia 2¹⁰⁰ cho 25 là 1.

c) Dùng công thức Niu-tơn:

2¹⁰⁰ = (5 – 1)⁵⁰

=5⁵⁰-50.50⁴⁹+….+$ \displaystyle \frac{50.49}{2}$.5² -50.5+1.

Không kể phần hệ số của khai triển Niu-tơn thì 48 số hạng đầu đã chứa lũy thừa của 5 với sô mũ lớn hơn hoặc bằng 3 nên chia hết  cho 125, số hạng cuối là 1 .

Vậy 2¹⁰⁰ chia cho 125 dư 1.

Chú ý: Tổng quát hơn,ta chứng minh được rằng nếu một số tự nhiên n không chia hết cho 5 thì n¹⁰⁰ chia cho 125 có số dư là 1.

Thật vậy, n có dạng 5k ± 1,5k ± 2.Ta có

(5k ± 1)¹⁰⁰=(5k)¹⁰⁰ ±…+$ \displaystyle \frac{100.99}{2}$(5k)² ± 100.5k+1

= B(125) +1

(5k ± 2)¹⁰⁰=(5k)¹⁰⁰ ±…+$ \displaystyle \frac{100.99}{2}$(5k)².2⁹⁸ ± 100.5k .2⁹⁹+ 2¹⁰⁰

                                        = B(125) +2¹⁰⁰

Ta lại có 2¹⁰⁰ chia cho 125 dư 1

Do đó (5k ± 2)¹⁰⁰ chia cho 125 dư 1.

Ví dụ 2: Tìm ba chữ số tận cùng của 2¹⁰⁰ khi viết trong hệ thập phân.

Giải: Theo ví dụ trên ta có

2¹⁰⁰ = BS 125 +1,mà 2¹⁰⁰ là số chẵn, nên ba chữ số tận cùng của nó chỉ có thể là 126, 376, 626 hoặc 876.

Mà 2¹⁰⁰ chia hết cho8 nên ba chữ số tận cùng của nó phải chia hết cho 8.Trong 4 số trên chỉ có 376 thoả mãn điều kiện này.

Vậy ba chữ số tận cùng của 2¹⁰⁰ là 376.

Chú ý: Nếu n là số chẵn không chia hết cho 5 thì 3 chữ số tận cùng của n¹⁰⁰ là 376.

Ví dụ 3: Tìm 4 chữ số tận cùng của 5¹⁹⁹⁴ viết trong hệ thập phân.

Giải:

Cách 1. Ta thấy số tận cùng bằng 0625 nâng lên luỹ thừa nguyên dương bất kì vẫn tận cùng bằng 0625.Do đó

5¹⁹⁹⁴=5^4k+2 =25(5^4k)=25(0625)^k

= 25.(…0625)  = …..5625

Cách 2. Ta thấy 5^4k -1 chia hêt cho 5⁴ -1

= (5² -1)(5² +1) nên chia hết cho 16.

Ta có: 5¹⁹⁹⁴ = 5⁶( 5³³² -1) +5⁶

Do 5⁶ chia hết cho 5⁴, còn 5³³² -1 chia hết cho 16 nên 5⁶( 5³³² -1) chia hết cho 10000

Và 5⁶ = 15625.

Vậy 4 chữ số tận cùng của 5¹⁹⁹⁴ là 5

Bài tập tương tự

1.CMR với mọi số tự nhiên n thì 7ⁿ và 7ⁿ⁺⁴ có hai chữ số tận cùng như nhau.

+ Cho hs đặt câu hỏi: Khi nào hai số có hai chữ số tận cùng giống nhau?

– Khi hiệu của chúng chia hết cho 100

  Giải: Xét hiệu của 7^{n +4}– 7ⁿ = 7ⁿ( 7⁴ -1)

= 7ⁿ .2400

Do đó 7ⁿ⁺¹ và 7ⁿ có chữ số tận cùng giống nhau.

2.Tìm số dư của 22²²+55⁵⁵ cho 7.

+ Xét số dư của 22 và 55 cho 7?

Giải: Ta có  22²² + 55⁵⁵ =(B(7) +1)²² +(B(7) -1)⁵⁵

                                                               = B(7) +1+ B(7) -1

= B(7)

Vậy22²² + 55⁵⁵ chia hết cho 7