Đề thi chọn HSG Toán 9 huyện Đan Phượng 2018-2019

Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9, Phòng giáo dục và đào tạo huyện Đan Phượng, TP Hà Nội năm học 2018-2019.

Ngày thi 23/10/2018. Thời gian làm bài 150 phút.

Bài 1: (5 điểm)

1. Cho biểu thức: ${\displaystyle P=\frac{x\sqrt{x}+26\sqrt{x}-19}{x+2\sqrt{x}-3}-\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x-1}}+\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+3}}$

a) Rút gọn P

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P

2. Cho ${\displaystyle a=\sqrt[3]{2-\sqrt{3}}+\sqrt[3]{2+\sqrt{3}}}$. Chứng minh ${\displaystyle \frac{64}{{\left(a^2-3\right)}^3}-3a}$ là số nguyên

Bài 2: (4 điểm)

1. Giải phương trình ${\displaystyle x^2-x-4=2\sqrt{x-1}(1+x)}$

2. Nhà toán học De morgan (1806-1871) khi được hỏi tuổi đã trả lời: tôi x tuổi vào năm x². Hỏi năm x² đó ông bao nhiêu tuổi.

3. Tìm số tự nhiên A biết rằng trong ba mệnh đề sau có hai mệnh đề đúng và một mệnh đề sai:

a) A + 51 là số chính phương

b) Chữ số tận cùng bên phải của A là số 1

c) A – 38 là số chính phương

Bài 3: (4 điểm)

a) Tìm x và y biết ${\displaystyle 2x^2+4x-3y^3+5=0}$ và ${\displaystyle x^2{y}^2+2x+y^2=0}$

b) Tìm các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn ${\displaystyle x^{2}y+xy-2x^2-3x+4=0}$

Bài 4: (6 điểm)

1. Cho tam giác nhọn ABC. Các đường cao AH, BI, CK

a) Chứng minh rằng tam giác AKI đồng dạng với tam giác ACB;

Biết S_AKI = S_BKH = S_CHI. Chứng minh rằng ABC là tam giác đều.

2) Cho tam giác ABC là tam giác nhọn nội tiếp đường tròn (0; R) và đường cao AH = R√2 . Gọi M và N thứ tự là hình chiếu của H trên AB, AC. Chứng minh rằng 3 điểm M, O, N thẳng hàng.

Bài 5: (1 điểm)

Với 3 số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1, chứng minh:

${\displaystyle \frac{1-x^2}{x+yz}+\frac{1-y^2}{y+zx}+\frac{1-z^2}{z+xy}\ge 6}$