Đề thi học sinh giỏi quốc gia cấp 2 năm 1989-1990

Đây là bài thứ 4 of 9 trong series Đề thi học sinh giỏi Toán cấp 2 từ 1986-1995

Đây là Đề thi học sinh giỏi quốc gia cấp 2 năm 1989-1990 gồm 2 bảng A và B. Mỗi đề có tất cả 4 bài với 2 câu đại số và 2 câu hình học.

(Thời gian làm bài 180 phút)

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN TRUNG HỌC CƠ SỞ TOÀN QUỐC

BẢNG A

Bài 1: Trên mặt phẳng tọa độ (với đơn vị dài ở trục tung và trục hoành bằng nhau), ta gọi điểm M(x, y) là một điểm nguyênnếu cả x và y đều nguyên. Vẽ đường tròn có tâm O ở gốc tọa độ và bán kính R khác 0.

a) Chứng minh rằng số các “điểm nguyên” nằm trên đường tròn (O,R) chia hết cho 4.

b) Bán kính R phải thuộc tập hợp số nào để số các “điểm nguyên” nằm trên đường tròn khi
chia cho 8 thì có số dư là 4 ?

Bài 2: Giả sử x, y là các số tự nhiên khác 0, thỏa mãn phương trình 2x2+x=3y2+y (1) .

a) Chứng minh rằng: (x y), (2x + 2y + 1), (3x + 3y + 1) đều là các số chính phương.

b) Hãy tìm một nghiệm nguyên dương của phương trình (1).

Bài 3: Cho đường tròn tâm O và một điểm P nằm trong đường tròn đó. Qua P kẻ hai dây cung AB và CD vuông góc với nhau.

1. Chứng minh rằng:
a) PA.PB = PC.PD

b) Tổng PA2+PB2+PC2+PD2 có giá trị không đổi với bất cứ vị trí nào của P trong đường tròn đã cho.

2. Gọi chân các đường vuông góc hạ từ P xuống các cạnh AC, BC, BD và AD thứ tự là H, I, K, L; và gọi trung điểm của AC, BC, BD và AD thứ tự là M, N, R, Q. Chứng minh 8 điểm H, I, K, L, M, N, R, Q cùng nằm trên một đường tròn.

Bài 4: Cho tư giác ABCD nội tiếp trong đường tròn. Gọi độ dài các đoạn thẳng thứ tự như sau: AB = a, BC = b, CD = d, DA = d, AC = x, BD = y.

a) Chứng minh: xy = ac + bd xy=ad+bcab+cd

b) Tính độ dài các đường chéo của ABCD khi biết độ dài các cạnh của nó.

BẢNG B

Bài 1: Tìm tất cả các giá trị của số tự nhiên n để n + 7 chia hết cho n 2

Bài 2: Viết tất cả các số tự nhiên từ 1 đến 100 theo thứ tự từ nhỏ đến lớn thành số sau đây: 1234567891011 . . . 9899100

Bằng cách đặt một dấu (+) vào giữa hai chữ số nào đó của số trên ta được một tổng của hai số.

Chứng minh tổng hai số đó không chia hết cho 1989.

Bài 3: Với điều kiện nào của các số hửu tỉ dương: a, b, c, d thì căn thức a+b+c+d biễu diễn được thành tổng của ba căn thức x + y + t, trong đó x, y, t là các số hửu tỉ dương.

Hãy cho một thí dụ bằng số cụ thể.

Bài 4: Cho hình chữ nhật có bốn đỉnh A, B, C, D nằm hoàn toàn bên trong một đường tròn.Các tia DA, AB, BC, CD theo thứ tự cắt đường tròn ở P1,P2,P3,P4. Các tia AD, BA, CB, D theo thứ tự cắt đường tròn ở M1,M2,M3,M4.

a) Chứng minh: AP1+CP3=BM3+DM1 AM2+CM4=BP2+DP4

b) So sánh diện tích hai tứ giác P1P2P3P4 M1M2M3M4.

c) Chứng minh rằng nếu hai dây cung P1P2 P1P4 bằng nhau thì hai dây cung M1M2 M1M4 cũng bằng nhau.

Series Navigation<< Đề thi học sinh giỏi quốc gia cấp 2 năm 1988-1989Đề thi học sinh giỏi quốc gia cấp 2 năm 1990-1991 >>

1 Comment

Add a Comment
  1. Có đáp án chưa a

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *


Toán THCS © 2012 Liên hệ
tài liệu đại học