Đề thi học sinh giỏi quốc gia cấp 2 năm 1990-1991

Đây là Đề thi học sinh giỏi quốc gia cấp 2 năm 1990-1991 gồm 2 bảng A và B. Mỗi đề có tất cả 4 bài với 2 câu đại số và 2 câu hình học.

(Thời gian làm bài 180 phút)

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN TRUNG HỌC CƠ SỞ TOÀN QUỐC

BẢNG A

Bài 1: Cho 1991 điểm trên một mặt phẳng P. Biết rằng trong mỗi nhóm ba điểm bất kì của các điểm nói trên bao giờ cũng có thể chọn ra hai điểm có khoảng cách nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng trong các điểm nói trên có ít nhất 996 điểm nằm trong một đường tròn có bán kính bằng 1.

Bài 2: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Lấy A, B, C làm tâm dựng ba đường tròn có cùng bán kính là a. Hãy tính diện tích phần chung của ba hình tròn nói trên.

Bài 3: Cho hệ phương trình:

$ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x_{{}}^{2}+z_{{}}^{2}=9\\y_{{}}^{2}+t_{{}}^{2}=16\\xt+yz\ge 12\end{array} \right.$
Trong tập hợp nghiệm của hệ phương trình trên, hãy tìm nghiệm $ \displaystyle ({{x}_{0}},{{y}_{0}},{{z}_{0}},{{t}_{0}})$ sao cho tổng

$ \displaystyle ({{x}_{0}}+{{y}_{0}})$ đạt giá trị lớn nhất.

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông ở A. Gọi I là trung điểm của BC và D là điểm bất kì trên BC. Đường trung trực của AD cắt các đường trung trực của AB và AC theo thứ tự tại E, F.

a) Chứng minh năm điểm A, E, I, D, F cùng nằm trên một đường tròn.

b) Tam giác AEF và tam giác ABC có đồng dạng với nhau không ? Vì sao ?

c) Cho biết độ dài các cạnh góc vuông của tam giác ABC là b và c ; điểm D chạy trên đoạn BC và gọi độ dài của AD là x. Hãy chứng tỏ rằng diện tích S của tam giác AEF là một hàm số bậc hai của x. Tìm khoảng xác định của hàm số và giá trị nhỏ nhất của hàm số trong khoảng xác định đó

BẢNG B

Bài 1:
a) Tìm các số tự nhiên a và b thỏa mãn điều kiện:
(a, b) = 1; và $ \displaystyle \frac{5a+7b}{6a+5b}=\frac{29}{28}$

b) Chứng minh các công thức sau với a > 0, b > 0, và $ \displaystyle a_{{}}^{2}$ – b ≥ 0 :
$ \displaystyle \sqrt{a+\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a+\sqrt{a_{{}}^{2}-b}}}{2}+\frac{\sqrt{a-\sqrt{a_{{}}^{2}-b}}}{2}$

$ \displaystyle \sqrt{a-\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a+\sqrt{a_{{}}^{2}-b}}}{2}-\frac{\sqrt{a-\sqrt{a_{{}}^{2}-b}}}{2}$
Hãy áp dụng để rút gọn tổng:
$ \displaystyle \frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}}+\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{2} \sqrt{2+\sqrt{3}}}$

Bài 2: Giả sử a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác và giả sử rằng R = $ \displaystyle a_{{}}^{2}+b_{{}}^{2}+c_{{}}^{2}$, S = $ \displaystyle (a+b+c)_{{}}^{2}$. Chứng minh:
$ \displaystyle \frac{1}{3}\le \frac{R}{S}\le \frac{1}{2}$

Bài 3: Xem bài 2 Bảng A

Bài 4: Xem câu a và câu b bài 4 Bảng A (không có câu c)